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2009年全国高中数学联合竞赛试题(湖南省)



2009 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
1.
? A 如图, M , N 分别为锐角三角形 ? ABC ( ? A ? ? B )的外接圆 ? 上弧 B C 、 ? C 的 中点.过点 C 作 P C ∥ M N 交圆 ? 于 P 点, I 为 ? ABC 的内心,连接 P I 并延长交圆 ? 于T . ⑴求证: M P ? M

T ? N P ? N T ;

A ⑵在弧 ? B (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A ,T , B ),记 ? A Q C ,△ Q C B 的

内心分别为 I 1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I 1 , I 2 , T 四点共圆. 【解析】 ⑴连 N I , M I .由于 P C ∥ M N , P ,C , M , N 共圆,故 P C M N 是等腰梯形.因 此 N P ? M C , PM ? N C .
P N I T A C M

B

连 A M , C I ,则 A M 与 C I 交于 I ,因为
? M IC ? ? M A C ? ? A C I ? ? M C B ? ? B C I ? ? M C I



所以 M C
NC ? NI

? MI

.同理



于是
NP ? MI , PM ? NI . 故四边形 M PN I 为平行四边形.因此 S △ P M T

? S △ PNT

(同底,等高).

又 P , N , T , M 四点共圆,故 ? T N P
S △ PM T ? 1 2
N T

? ? P M T ? 180 ? ,由三角形面积公式

P M ? M T sin ? P M T ? 1 2 P N ? N sTi n ? P N T

? S△ P

?

1 2

P N ? N Ti n? P M T s

于是 P M ? M T ? P N ? N T . ⑵因为 ? N C I 1 ? ? N C A ? ? A C I 1

? ? N Q C ? ? Q C I1 ? ? C I1 N



/

P N

C M I I2 I1 T Q

B

A

所以 N C ? N I 1 ,同理 M C 由⑴所证 M P
NT N I1 ? MT MI2
? NC

? MI2
? MC

.由 M P ? M T ,故

? NP ? NT



NT MP

?

MT NP



, NP



又因
? I1 N T ? ? Q N T ? ? Q M T ? ? I 2 M T




? I1 N T ∽ ? I 2 M T

. .

故 ? N T I1

? ? M T I 2 ,从而

? I 1 Q I 2 ? ? N Q M ? ? N T M ? ? I 1T I 2

2.

因此 Q , I 1 , I 2 , T 四点共圆. 求证不等式:
k ? 1 ? n ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ 2 ? k ?1 k ? 1 ?
x 1? x

,n

? 1 ,2,…

【解析】 证明:首先证明一个不等式: ⑴
? ln (1 ? x ) ? x

,x

?0



事实上,令
h ( x ) ? x ? ln(1 ? x )

, g (x) ?

ln (1 ? x ) ?

x 1? x



则对 x

?0


1 1? x ?0

h ?( x ) ? 1 ?

, g ?( x ) ?

1 1? x

?

1 (1 ? x )
2

?

x (1 ? x )
2

?0



于是
h ( x ) ? h (0) ? 0

, g ( x ) ? g (0) ? 0 . 得 .
? 1 2

在⑴中取 x ? ⑵
1

1 n

1? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? n ?1 n? n ? ?

令 xn

?

n

k k ?1
2

? ln n

,则 x1



k ?1

x n ? x n ?1 ?
?

1 ? ? ? ln ? 1 ? ? n ?1 n ?1? ? n
2

n n ?1
2

?

1 n

/

? ?

1 ( n ? 1) n
2

? 0
1 2
n ?1

因此 x n 又因为

? x n ? 1 ? ? ? x1 ?



ln n ? (ln n ? ln ( n ? 1)) ? (ln ( n ? 1) ? ln ( n ? 2 )) ? ? ? (ln 2 ? ln 1) ? ln 1 ?

? ln ? 1 ?
k ?1

? ?

1? ? k ?



从而
xn ?

?
n ?1

n

k k ?1
2

?

k ?1

? ln ? 1 ?
k ?1

n ?1

? ?

1? ? k ?

?

? k 1 ?? n ? ? ? k 2 ? 1 ? ln ? 1 ? k ? ? ? n 2 ? 1 ? ? ?? k ?1 ?
n ?1 2

??k
k ?1

n ?1

? ?

k
2

?1

?

1? ? k ?

? ??

1 ( k ? 1) k
1 n

k ?1

≥ ??

n ?1

1 ( k ? 1) k

k ?1

? ?1 ?

? ?1 .

3.

设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ 设 p 是 l 的任一素因子,只要证明: p ?C k . m 若 p ?k ! ,则由
k !C m ?
k

k

,使得 C k 与 l 互素. m

【解析】 证法一:对任意正整数 t ,令 m ? k ? t ? l ? ( k !) .我们证明 ? C k ,l ? ? 1 . m

? (m ? k ? i)
i ?1 k

k

? ?

? [ (i ?
i ?1 k

t l( k ! ) ]

?i
i ?1

? k !? m o d p

? ?1

?.
? k ? t ? l ? ( k !)
2

及 p ? | k ! ,且 p ? ? 1 ?k ! ,知 p ? | k !C k 且 p ? ?1 ?k !C k .从而 p ?C k . m m m 证法二:对任意正整数 t ,令 m ,我们证明 ? C k ,l ? ? 1 . m 设 p 是 l 的任一素因子,只要证明: p ?C k . m 若 p ?k ! ,则由
k !C m ?
k

? (m ? k ? i)
i ?1

k

? ?

? [ (i ?
i ?1 k

k

t l( k ! ) ]

2

?i
i ?1

? k !? m o d ? . p

即 p 不整除上式,故 p ?C k . m 若 p | k ! ,设 ?
k ?1

≥ 1 使 p | k ! ,但 p

?

? ?1

? !. p k

? ?1

| ( k !)

2

.故由

k !C m ?
k

? (m ? k ? i)
i ?1

/

? ?

? [ (i ?
i ?1 k

k

t l( k ! ) ]

2

?i
i ?1

? k ! ? m od p
?

? ?1

?

4.

及 p | k ! ,且 p ?k ! ,知 p ? | k !C k 且 p ? ?1 ?k !C k .从而 p ?C k . m m m 在非负数构成的 3 ? 9 数表
? ?1

? x1 ? P ?? x 2 ?x ? 3

1 1 1

x

1 2 2

x x x

1 3 2 3 3

x x

1 4 2 3

x

1 5 2 3

x x 5 x 5

1 6 2

x

1 7

x

x2 x

x 4 x 4

x 6

3 2

x 3

x 3 6

? x 8 1 ? x7 ? x 8 2 2 x 7 ? x3 8 3 ?

1 9 2 9 3 9

中每行的数互不相同, 6 列中每列的三数之和为 1,x1 7 前
x18 , x 3 8

? x 28 ? x39 ? 0

,x 2 7 ,x 3 7 ,

, x19 , x 2 9 均大于.如果 P 的前三列构成的数表
x
1 2 2

? x1 ? S ?? x 2 ?x ? 3

1 1 1

x2 x

3 2

x ?3 1 ? x ?2 3 x ?3 3 ? ? ? ? ? ?

? x1 k ? 满足下面的性质 ( O ) :对于数表 P 中的任意一列 ? x 2 k ?x ? 3k

(k

? 1 ,2,…,9)均存

在某个 i ? ?1 ,2 ,3? 使得 ⑶ x ik ≤ u i ? m in ? x i1 , x i 2 , x i 3 ? . 求证: (ⅰ)最小值 u i ? m in ? x i1 ,x i 2 ,x i 3 ? , i
?x 1k * ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x 2 k * ? ?x ? 3k* ? x1 1 x1 2 x 1k * ? S ? ? ? x21 x22 x2 k * ? ?x x x ? 31 32 3 k * ? ? ? ? ? ?
? 1 , 3 不是取自数表 S 2, ? 1 ,2,3 一定自数表 S

的不同列.

? ? ? ? ? ?

, k * ≠ 1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表

仍然具有性质 ( O ) . 【解析】 (ⅰ) 假设最小值 u i ? m in ? x i1 , x i 2 , x i 3 ? ,i 存在一列不含任何 u i .不妨设 u i 何两个元素都不等, 于是 u i 在⑶中取 k
? 2
? xi 2 ≠ xi 2

的不同列. 则

, i ? 1 ,2,3.由于数表 P 中同一行中的任 具有性质 ( O ) ,

,i

? 1 , 3. 2, 另一方面, 由于数表 S
0 0

,则存在某个 i0 ? ?1 ,2 ,3? 使得 x i 2 ≤ u i .矛盾.

(ⅱ)由抽届原理知 m in ? x11 , x12 ? , m in ? x 2 1 , x 2 2 ? , m in ? x 3 1 , x 3 2 ? 中至少有两个值取在同一列.不妨设 m in ? x 2 1 , x 2 2 ? ? x 2 2 , m in ? x 3 1 , x 3 2 ? ? x 3 2 . 由前面的结论知数表 S 的第一列一定含有某个 u i ,所以只能是 x1 1 第二列中也必含某个 u i , i
S ? 1 ,2.不妨设 x 22 ? u 2
? u1

.同样, 是数表

.于是 u 3

? x 33 ,即 u i

中的对角线上数字.

/

? x1 1 x1 2 x1 3 ? S ? ? x 21 x 22 x 23 ?x ? 31 x32 x33

? ? ? ? ?

记 M ? ?1 ,2 ,? ,9? ,令集合
I ? ? k ? M | x ik ? m in ? x i1 , x i 2 ? ,i ? 1 ,3?


? 1 ≥ x1 1 , x 3 2

显然 I ? ? k ? M | x1 k ? x11 , x 3 k ? x 32 ? 且 1,2 3 ? I .因为 x18 , x 3 8



所以 8 ? I . 故 I ≠ ? .于是存在 k * ? I 使得 x 2 k ? m ax ? x 2 k | k ? I ? .显然, k * ≠ 1 ,2,3.
*

下面证明 3 ? 3 数表
? x1 ? S? ? ? x 2 ? ?x ? 3
1

x

1 2 1k * 2

1

x2 x

1

3 2

x ? ? x ? 2k* ? x ? 3k* ?

具有性质 ( O ) . 从上面的选法可知 u i? :? 又由
m in x i 1 , x i 2 , x ik *

?

? ? m in ? x

i1

, x i 2 ? , ( i ? 1 ,3) .这说明

x1 k * ? m in ? x1 1 , x1 2 ? ≥ u 1 , x 3 k * ? m in ? x 3 1 , x 3 2 ? ≥ u 3
S


*

满 足 性 质 (O ) . 在 ⑶ 中 取 k ? k * , 推 得 x2 k ≤ u 2 , 于 是

? u 2 ? m in x 2 1 , x 2 2 , x 2 k *

?

?? x

2k*

.下证对任意的 k ? M ,存在某个 i
? 1 ,3
*

? 1 ,2,3
*

使

得 u i? ≥

x ik

.假若不然,则 x ik ? m in ? x i1 , x i 2 ? ,i

且 x 2 k ? x 2 k .这与 x 2 k 的

最大性矛盾.因此,数表 S ? 满足性质 ( O ) . 下证唯一性.设有 k ? M 使得数表
? x1 1 x1 2 x1 k ? ??x S ? 21 x 22 x 2 k ?x ? 31 x32 x3 k ? ? ? ? ?

具有性质 ( O ) ,不失一般性,我们假定
u 1 ? m i n x1 , x 1 2 x? 1 3 , ? ? 1 u 3 ? m i n x 3 , x 3 2 x? 3 3 , ? ? 1
x3 2 ? x
3 1

x

1 1

⑷ u 2 ? m in ? x 21 , x 22 , x 23 ? ? x 22
x
3 3

. .又由(ⅰ) .
? u 3 ? m in ? x 3 1 , x 3 2 , x 3 k ? ? x 3 k ? , 或者 ( b ) u 2 ? m in ? x 2 1 , x 2 2 , x 2 k ? ? x 2 k

由于 x 3 2

? ? x 3 1 , x 2 2 ? x 2 1 及(ⅰ),有 u 1 ? m in ? x1 1 , x1 2 , x1 k ? ? x1 1

知: 或者 ( a )

? 如果 ( a ) 成立,由数表 S 具有性质 ( O ) ,则
? u 1 ? m i n x 1, x1 , kx?1 ? ? 1 2 ? ⑸u2 x11 ,

? m in ? x 2 1 , x 2 2 , x 2 k ? ? x 2 2
3 2

, . 3
3? M
*

? u 3 ? m i n x 3 1, x ?

,x

k

?3 ?

x

k

由数表
? u i ≥ x ik *

? S

满 足 性 质 (O ) , 则 对 于

至少存在一个
? ? u1

i ? ?1 ,2 ,3?

使得

.由 k * ? I 及⑷和⑹式知, x1k ? x1 1

, x3 k ? x32
*

? ? u3

.于是只能有
*

? x2 k* ≤ u 2 ? x2 k

? .类似地,由 S ? 满足性质 ( O ) 及 k ? M 可推得 x 2 k ≤ u 2 ? x 2 k .从

而k* ? k .

/



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