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云南省2013年1月普通高中学业水平考试(数学试卷)



【考试时间:2013 年 1 月 14 日上午 8:30——10:10,共 100 分钟】

云南省 2013 年 1 月普通高中学业水平考试 数 学 试 卷
选择题(共 51 分) 一、选择题:本大题共 17 个小题,每小题 3 分,共 51 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1. 设集合 A =

{0,1, 2}, B = { 2,3, 4},则集合 A ? B 为等于( 1, A.{1,2} B.{0,1,2,3,4} C.{2,4} D.{0,3,4} ) )

2. 一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱柱 D.四棱锥
r r

正视图
r r

侧视图 )

俯视图

3. 已知向量 a=(3,4) , b=(x,3) ,若 a ^ b ,则 x 的值是( A.-4 4.已知 P( , A.
1 2

B. -

9 4

C.

9 4

D.4 )

1 3 ) 在角 a 的终边上,则 sin a 的值是( 2 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3 ) D.-2

5.已知两点 A(2,1), B (3,3) ,则直线 AB 的斜率是( A.2 6.已知 sin 2a = A.
24 25

B.

4 5

C.

1 2

3 ,则 cos 2a 的值为( ) 5 7 7 B. C. 25 25

D. -

4 5

7.将一个骰子掷一次,则向上的点数是 3 的倍数的概率是(
第 1 页 共 6 页



A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

8. 在 △ ABC
a = 3, ? A

中 , 行 , B, C 所 对 的 边 长 分 别 是 a, b, c , 若 A
45 , ,则 b 等于(

60鞍? B ,

) D. 2 )

A. 2 3

B. 2 2

C. 3

9.在 [- 1, 2]上随机取一个实数,则取到的实数是负数的概率为( A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.1 ) D.(2,3)

10.函数 f ( x) = 2x - 3 的零点所在区间是( A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) )

11.不等式 (x + 2)(x - 3)> 0 的解集是( A. {x - 2 < x < 3} C. {x - 3 < x < 2}

B. {x x < - 2或x > 3} D. {x x < - 3或x > 2} )

12.已知等比数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = 1, a4 = 8, 则S5 等于( A.2 B. 15 C. 31 )
骣 1 C. y = ? ÷ ? ÷ ?2 ÷ 桫
x

D.63

13.下列函数中,是偶函数的为(
1 A. y = x

B. y = x + 1

2

D. y = log2 x )
INPUT a b=a+1 a=b+1 PRINT a END

14.若 a 的输入值为 2,则右边程序运行结果是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

15.圆 x2 + y2 + 4x - 6 y + 9 = 0 的圆心坐标是( A.(2,3) B.(-2,-3)
??? ? ? ??? ? ?

C. (2,-3)
? ??? ? ?
??? ?

D. (-2,3)

16.若四边形 ABCD 中,设 AB = a, BC = b, AD = c, 则 CD 等于( A. c - (a + b)
? ? ?

B. b - (a + c)

?

?

第 2 页 共 6 页

C. a + b - c

?

?

?

D.

? ? ? a- b+ c

开始

17.已知一个算法的流程图如图所示,则输出结果 是( A.10 B. 90 C.720 )

i = 10, s = 1


i ? 9?
是 输出 s

s= s i

i = i- 1

结束

D.5040 非选择题(共 49 分) 二、 填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分。请把答案写在答题 卡相应的位置上。 18.已知圆 C 的圆心为(2,0),且圆 C 与直线 x 的方程为__________________________. 19.高二年级某班有 50 人,某次数学 测验的分数在 [50,100]内,现将这次数 学测验的分数分成如下 5 个组:
频率 组距

3 y + 2 = 0 相切,则圆 C

0.032 0.028

[50,60),[60,70),?,[90,100], 绘制成如图所 0.016
示的频率分布直方图,则分数在 [50,60) 0.008 内的人数是____________.

O

50

60

70

80

90 100

分数

20.某校高一、高二、高三年级各有学生 400 人、400 人、300 人,现按年 级分层抽样的方法从这个年级学生中一共抽取了 n 名学生了解该校学生的 视力情况。已知从高三年级抽取了 30 名学生,则 n 等于___________. 21.若 f ( x) = x2 + 2(a - 1) x - 3在[3, ) 上 是 增 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 + _______________.
第 3 页 共 6 页

ì 2x + y 4 ? ? 22.已知 x,y 满足约束条件 ? x - y 1 ,则 z = x + y 的最小值为________. í ? ? x- 2y 2 ? ? ?

三、解答题:本大题共 4 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 23. (本小题满分 8 分)已知 f ( x) = sin x + 3 cos x . ⑴求 f ( x) 的最小正周期;⑵求 f ( x) 的单调递增减区间.

24. (本小题满分 8 分) 如图, 在三棱锥 S-ABC 中,SA ^ 底面ABC, AB ^ AC 。 (1)求证: AB ^ 平面SAC ; (2)设 SA = AB = AC = 1, 求点 A 到平面 SBC 的距离。
S

A

C

25. (本小题满分 8 分)已知等差数列 {an }满足 a1 = 1, a2 + a3 + a4 = 9 。 (1)求数列 {an }的通项公式; (2)设数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,求数列 镲 睚
禳1 镲 的前 n 项和为。 镲n S 镲 铪

B

26. (本小题满分 10 分)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,P 是 AB 边上的点,AB=3,AD=2.
D C

(1) 设 AP=x, D DPE 的周长为 y,求函数 y=f(x)的解析式;E (2) 当 ?DPE 取得最大值时,求 AP 的值。
A
第 4 页 共 6 页

P

B

云南省 20113 年 1 月普通高中学业水平考试 数学参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 54 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 号 答 B D A C A B C D A C 案 B C B D D A B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 题 18 号 答
( x - 2)2 + y 2 = 4

19

20

21

22

4人

110

a?

2

2



三、解答题 23.(1) f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x ? ?
?2 ?1 ? 3 ?? ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? ? 2 3? ? ?

? f ( x) 的最小正周期 T=2

(2)由 2k? ? 得 2 k? ?
?

?
2

? x?

?
3

? 2 k? ?

3? (k ? Z ) 2

7 ? x ? 2k? ? ? 6 6

? 7 ? ? ? f ( x) 的递减区间是 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) 6 6 ? ?

第 5 页 共 6 页

24(1) ? SA ^ 底面ABC,AB \ SA ^ AB \ AB ^ 平面SAC
(2)Vs- ABC = VA- SBC =

平面ABC 平面SAC

? AB ^ AC , SA ? AC = A, SA, AC

1 1 1 1 SD ABC ?SA = 创 1 = 3 3 2 6 3 h 6

1 1 1 3 SD SBC ?h = 创 2? h 3 3 2 2 3 3

?Vs- ABC = VA- SBC \ h =

25(1) ? a2 + a3 + a4 = 9 \ a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = 9得d = 1即a n = n (2) Sn = \ Tn = n(n + 1) 1 2 1 1 , = = 2( ) 2 Sn n(n + 1) n n+ 1 1 1 1 1 + + +? S1 S 2 S3 Sn

轾 1 1 1 1 1 1 1 = 2 犏- ) + ( - ) + ( - ) + ? + ( (1 ) 犏 2 2 3 3 4 n n+ 1 臌 2n = n+ 1

26. (1) y = x2 + 1 + x2 + 4 + 1(0 < x 3)
cos ? DPE = 1PE 2 + PD 2 - DE 2 = 2 PE ?PD x2 + 2 x 2 + 1? x 2 + 4

3 4 x2 + 2 + 5 (2) x 4 ? x 2 + 2 ? 4(当且仅当x x \ cos 谐 DPE

2时取=)

6 ,即 DPE取得最大值,此时AP= 2 3

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