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第三章-函数的应用



3 第三章 函数的应用 一、选择题 1.下列方程在(0,1)内存在实数解的是( ). A.x2+x-3=0 B.+1=0 C.x+ln x=0 D.x2-lg x=0 2.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且一个零点是 2,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ). A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(2,+∞)

D.(-2,2) 3. 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是( ). A.{a|a>1} B.{a|a≥2} C.{a|0<a<1} D.{a|1<a<2} 4. 若函数 f(x)的图象是连续不断的, 且 f(0)>0, f(1)f(2)f(4)<0, 则下列命题正确的是( ). A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间(0,2)内有零点 D.函数 f(x)在区间(0,4)内有零点 5. 函数 f(x)=的零点个数为( ). A.0 B.1 C. 2 D.3 6. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ). A.y=|x-1|(0≤x≤2) B.y=-|x-1|(0≤x≤2) C.y=-|x-1|(0≤x≤2) D.y=1-|x-1|(0≤x≤2) 7.当 x∈(2,4)时,下列关系正确的是( ). A.x2<2x B.log2 x<x2 C.log2 x< D.2x<log2 x 8.某种动物繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y=alog2(x+1),设这种动物第 1 年有 100 只,则第 7 年它们繁殖到( ). A.300 只 B.400 只 C.500 只 D.600 只 9.某商场出售一种商品,每天可卖 1 000 件,每件可获利 4 元.据经验,若这种商品每件 每降价 0.1 元,则比降价前每天可多卖出 100 件,为获得最好的经济效益每件单价应降低 ( )元. A.2 元 B.2.5 元 C.1 元 D.1.5 元 10.某市的一家报刊摊点,从报社买进一种晚报的价格是每份是 0.20 元,卖出的价格是每 份 0.30 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元的价格退回报社.在一个月(30 天计算)里,有 20 天每天卖出量可达 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进的份数必 须相同,为使每月所获利润最大,这个摊主每天从报社买进( )份晚报. A.250 B.400 C.300 D.350 二、填空题 11.已知函数 f(x)=x2+ax+a-1 的两个零点一个大于 2,一个小于 2,则实数 a 的取值范 围是 . 12.用 100 米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈,欲使羊的活动范围最大,则应取矩形长

米,宽 米. 13.在国内投寄平信,将每封信不超过 20 克重付邮资 80 分,超过 20 克重而不超过 40 克 重付邮资 160 分,将每封信的应付邮资(分)表示为信重 x(0<x≤40)(克)的函数,其表达式 为 . 14.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立 方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比; 药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为 (a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1) 从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克 ) 与时间 t( 小时 )之间的函数关系式 为 . (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那从药 物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室. 15.已知 f(x)=(x+1)·|x-1|,若关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解,则实数 m 的取值范围 . 16.设正△ABC 边长为 2a,点 M 是边 AB 上自左至右的一个动点,过点 M 的直线 l 垂直与 AB ,设 AM = x ,△ABC 内位于直线 l 左侧的阴影面积为 y , y 表示成 x 的函数表达式 为 . 三、解答题 17.某农家旅游公司有客房 300 间,日房租每间为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次, 并提高租金,如果每间客房日房租每增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他 因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?

18.A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台,现决定支援 C 市 10 台机器,D 市 8 台机 器.已知从 A 市调运一台机器到 C 市的运费为 400 元,到 D 市的运费为 800 元;从 B 市调 运一台机器到 C 市的运费为 300 元,到 D 市的运费为 500 元. (1)若要求总运费不超过 9 000 元,共有几种调运方案? (2)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?

19.某地西红柿从 2 月 1 号起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元 /100 kg)与上市时间 t(距 2 月 1 日的天数,单位:天)的数据如下表: 时间 t 50 110 250 成本 Q 150 108 150 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化 关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logb t; (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本 Q 最低时的上市天数及最低种植成本.

20.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4 840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1 ),画面的 上、下各留 8 cm 空白,左、右各留 5 cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所 用纸张面积最小?

参考答案 一、选择题 1.C 解析:易知 A,B,D 选项对应的函数在区间(0,1)内的函数值恒为负或恒为正,当 x 是接近 0 的正数时,x+lnx<0;当 x 接近 1 时,x+lnx>0. 所以选 C. 2.D 解析:因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数且一个零点是 2,则另一个零点为-2,又在(- ∞,0]上是减函数,则 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-2,2). 3.A 解析:设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a1)有两个 零点, 就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 的图象有两个交点,由图象可知当 0 <a<1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0, 1),而直线 y=x+a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是{a|a>1}. 4.D 解析:因为 f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则 f(1),f(2),f(4)恰有一负两正或三个都是负的,函数 的图象与 x 轴相交有多种可能.例如,

所以函数 f(x)必在区间(0,4)内有零点,正确选项为 D. 5. C 解析:当 x≤0 时,令 x2+2x-3=0 解得 x=-3; 当 x>0 时,令-2+ln x=0,得 x=100,所以已知函数有两个零点,选 C. 还可以作出 f(x)的图象,依图判断. 6. B 解析:取特殊值 x=1,由图象知 y=f(1)=,据此否定 A,D,在取 x=0, 由图象知 y=f(0) =0,据此否 C,故正确选项是 B. 或者勾画选项 B 的函数图象亦可判断. 7.B 解析:当 x∈(2,4)时,x2∈(4,16),2x∈(4,16),log2 x∈(1,2),∈,显然 C、D 不正确, 但对于选项 A,若 x=3 时,x2=9>23=8,故 A 也不正确,只有选项 B 正确. 8.A 解析:由题意知 100=alog2(1+1),得 a=100,则当 x=7 时,y=100 log2(7+1)=100×3 =300. 9.D 解析:设每件降价 0.1x 元,则每件获利(4-0.1x)元,每天卖出商品件数为(1 000+100x). 经济效益:y=(4-0.1x)(1 000+100x) =-10x2+300x+4 000 =-10(x2-30x+225-225)+4 000 =-10(x-15)2+6 250. x=15 时,ymax=6 250. 每件单价降低 1.5 元,可获得最好的经济效益. 10.B 解析:若设每天从报社买进 x(250≤x≤400,x∈N)份,则每月共可销售(20x+10×250)份,

每份可获利润 0.10 元,退回报社 10(x-250)份,每份亏损 0.15 元,建立月纯利润函数 f(x), 再求 f(x)的最大值,可得一个月的最大利润. 设每天从报社买进 x 份报纸,每月获得的总利润为 y 元,则依题意,得 y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250)=0.5x+625,x∈[250,400] . ∵ 函数 y 在[250,400]上单调递增,∴ x=400 时,ymax=825(元). 即摊主每天从报社买进 400 份时,每月所获得的利润最大,最大利润为 825 元. 二、填空题 11.参考答案:(-∞,-1). 解析:函数 f(x)=x2+ax+a-1 的两个零点一个大于 2,一个小于 2,即 f(2)<0,可求实数 a 的取值范围是(-∞,-1). 12.参考答案:长宽分别为 25 米. 解析:设矩形长 x 米,则宽为(100-2x)=(50-x)米,所以矩形面积 y=x(50-x)=-x2+50 x =-(x-25)2+625,矩形长宽都为 25 米时,矩形羊圈面积最大. 13.参考答案:f(x)= 解析:在信件不超过 20 克重时,付邮资 80 分,应视为自变量在 0<x≤20 范围内,函数值 是 80 分;在信件超过 20 克重而不超过 40 克重时,付邮资 160 分,应视为自变量在 20<x ≤40 范围内,函数值是 160 分,遂得分段函数. 14.参考答案:(1) y=; (2)0.6. 解析:(1)据图象 0≤t≤0.1 时,正比例函数 y=kt 图象过点(0.1,1),所以,k=10, 即 y=10t;当 t>0.1 时,y 与 t 的函数 y=(a 为常数)的图像过点(0.1,1),即得 1=,所以 a=0.1,即 y=. (2)依题意得≤0.25,再由 y=lg x 是增函数,得(t-0.1)lg≤lg,∵ lg<0,即得 t-0.1≥0.5, 所以,t≥0.6.

15.参考答案:-1<m<. 解析:由 f(x)=(x+1)|x-1|= 得函数 y=f(x)的图象(如图). 按题意,直线 y=x+m 与曲线 y=(x+1)|x-1|有三个不同的公共点,求直线 y=x+m 在 y 轴上的截距 m 的取值范围. 由 得 x2+x+m-1=0. Δ =1-4(m-1)=5-4m,由Δ =0,得 m=,易得实数 m 的取值范围是-1<m<. 16.参考答案:y= 解析:当直线 l 平移过程中,分过 AB 中点前、后两段建立 y 与 x 的函数表达式. (1)当 0<x≤a 时,y=x·x= x2; (2)当 a<x≤2a 时,y=·2a·a-(2a-x)·(2a-x)=-x2+2ax-a2. 所以,y= 三、解答题 17.参考答案:每间客房日租金提高到 40 元. 解析:设客房日租金每间提高 2x 元,则每天客房出租数为 300-10x, 由 x>0,且 300-10x>0,得 0<x<30. 设客房租金总收入 y 元,y=(20+2x)(300-10x)=-20(x-10)2 +8 000(0<x<30), 当 x=10 时,ymax=8 000.即当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时,客房租金总 收入最高,为每天 8 000 元. 18.参考答案:设从 B 市调运 x(0≤x≤6)台到 C 市,则总运费 y=300x+500(6-x)+400(10-x)+800[8-(6-x)]=200x+8 600(0≤x≤6). (1)若 200x+8 600≤9 000,则 x≤2. 所以 x=0,1,2,故共有三种调运方案. (2)由 y=200x+8 600(0≤x≤6)可知,当 x=0 时,总运费最低,最低费用是 8 600 元. 19.参考答案:(1)根据表中数据,表述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数 决不是单调函数,这与函数 Q=at+b,Q=a·bt,Q=a·logb t 均具有单调性不符,所以, 在 a≠0 的前提下,可选取二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述. 把表格提供的三对数据代入该解析式得到: 解得 a=,b=-,c=. 所以,西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的函数关系是 Q=t2-t+. (2)当 t=-=150 天时,西红柿种植成本 Q 最低为 Q=×1502-×150+=100(元/100 kg). 20.参考答案:高为 88 cm,宽为 55 cm. 解析:设画面高为 x cm,宽为λ x cm,λ x2=4 840,设纸张面积为 S,有 S=(x+16)( λ x+10)=λ x2+(16 λ +10)x+160, 将λ =代入上式可得,S=10(x+)+5 000=10(-)2+6 760, 所以,=,即 x=88 cm 时,宽为λ x=55 cm,所用纸张面积最小.



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