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高考数学一轮复习:第7章 立体几何 第5讲



第七章
A组
一、选择题

第五讲
基础巩固
)

1.若平面 α⊥平面 β,平面 α∩平面 β=直线 l,则 ( A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α,β 都

垂直 [答案] D

[解析] 对于 A,垂直于平面 β 的平面与平面 α 平行或相交,故 A 错;对于 B,垂直于 直线 l 的直线与平面 α 垂直、斜交、平行或在平面 α 内,故 B 错;对于 C,垂直于平面 β 的 平面与直线 l 平行或相交,故 C 错;易知 D 正确. 2.设 α,β 是两个不同的平面,a,b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中真 命题是 ( )

A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β C.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β D.若 a,b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b [答案] C [解析] 与同一平面平行的两条直线不一定平行,所以 A 错误;与两条平行直线分别平 行的两个平面未必平行,所以 B 错误;如图(1),设 OA∥a,OB∥b,直线 OA,OB 确定的 平面分别交 α,β 于 AC,BC,则 OA⊥AC,OB⊥BC,所以四边形 OACB 为矩形,∠ACB 为二面角 α-l-β 的平面角,所以 α⊥β,C 正确;如图(2),直线 a,b 在平面 α 内的射影分 别为 m,n,显然 m⊥n,但 a,b 不垂直,所以 D 错误,故选 C.

图(1)

图(2)

3.设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的一个充分不必 要条件是 ( ) B.α⊥β,a?α,b?β D.a⊥α,b⊥α

A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α

1

[答案] C [解析] 对于 C,在平面 α 内存在 c∥b,因为 a⊥α,所以 a⊥c,故 a⊥b;A,B 中, 直线 a,b 可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D 中一定推出 a∥b. 4.如图所示,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC.则下列结论 不正确的是 ( )

A.CD∥平面 PAE B.DF⊥平面 PAF C.CF∥平面 PAB D.CF⊥平面 PAD [答案] D [解析] A 中,∵CD∥AF,AF?面 PAF,CD?面 PAF,∴CD∥平面 PAF 成立;B 中, ∵ABCDEF 为正六边形,∴DF⊥AF.又∵PA⊥面 ABCDEF,∴DF⊥平面 PAF 成立;C 中, CF∥AB,AB? 平面 PAB,CF?平面 PAB,∴CF∥平面 PAB;而 D 中 CF 与 AD 不垂直,故 选 D. 5.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折,在翻折过程中 ( )

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 [答案] B [解析] 对于 AB⊥CD,因为 BC⊥CD,可得 CD⊥平面 ACB,因此有 CD⊥AC.因为 AB =1,BC= 2,CD=1,所以 AC=1,所以存在某个位置,使得 AB⊥CD. 6.在边长为 2 的正三角形 ABC 中,D,E,M 分别是 AB,AC,BC 的中点,N 为 DE 的中点,将△ADE 沿 DE 折起至 A′DE 位置,使 A′M= 为 P,给出下列 4 个结论: ①A′N⊥平面 BCED;②NQ∥平面 A′EC; ③DE⊥平面 A′MN;④平面 PMN∥平面 A′EC. 其中正确的结论是 ( A.①②④ C.①②③ [答案] C [解析] 由题意可知 MN 与 CE 在同一平面内且不平行,所以一定有交点,即平面 PMN ) B.②③④ D.①③④ 6 ,设 MC 的中点为 Q,A′B 的中点 2

2

与平面 A′EC 有交点,所以不平行,④错误,所以选项 C 正确.

二、填空题 7.如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC 和△PAC 的 边所在的直线中,与 PC 垂直的直线有____________________;与 AP 垂直的直线有____________________. [答案] AB、BC、AC AB [解析] ∵PC⊥平面 ABC, ∴PC 垂直于直线 AB, BC, AC; ∵AB⊥AC, AB⊥PC, AC∩PC =C,∴AB⊥平面 PAC,∴与 AP 垂直的直线是 AB. 8.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点, 有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面 PDE;③AB⊥平面 PDE.其中正确论断的序号为 ____________________. [答案] ①② [解析] 如图,∵P-ABC 为正三棱锥,

∴PB⊥AC; 又∵DE∥AC,DE? 平面 PDE,AC?平面 PDE, ∴AC∥平面 PDE.故①②正确. 9 . 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , BB1 与 平 面 ACD1 所 成 角 的 余 弦 值 为 ____________________. [答案] 6 3

[解析] 画出图形,如图,BB1 与平面 ACD1 所成的角等于 DD1 与 平面 ACD1 所成的角,在三棱锥 D-ACD1 中,由三条侧棱两两垂直得 点 D 在底面 ACD1 内的射影为等边三角形 ACD1 的垂心即中心 H,连接 D1H,DH,则∠DD1H 为 DD1 与平面 ACD1 所成的角,设正方体的棱长 6 a 3 6 为 a,则 cos∠DD1H= = . a 3 10.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足____________________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写 一个你认为是正确的条件即可)

3

[答案] DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) [解析] 连接 AC,BD,则 AC⊥BD, ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD.而 PC? 平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD.

三、解答题 11.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,AB=AC,D,E 分别为 BC, BB1 的中点,四边形 BB1C1C 是正方形. 求证:(1)A1B∥平面 AC1D; (2)CE⊥平面 AC1D. [证明] (1)连接 A1C,交 AC1 于 O,连接 DO.因为 O 为 A1C 的 中点,D 为 BC 中点,所以 DO∥A1B.又 DO? 平面 AC1D,A1B?平面 AC1D,所以 A1B∥平面 AC1D. (2)在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC.在三棱 柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C.∵ 平面 BB1C1C∩平面 ABC=BC,∴AD⊥平面 BB1C1C.∵CE? 平面 BB1C1C,∴AD⊥CE.∵正方形 BB1C1C 中,D,E 分别为 BC,BB1 的中点,∴C1D⊥CE.又 ∵C1D∩AD=D,∴CE⊥平面 AC1D. 12.如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120° ,AE⊥EC,三棱锥 E-ACD 的体积为 求该三棱锥的侧面积. [答案] (1)略 (2)3+2 5 6 , 3

[解析] (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE.故 AC⊥平面 BED. 又 AC? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED.
4

(2)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° ,可得 AG=GC= 3 x x,GB=GD= . 2 2 3 x. 2 2 x. 2

因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG=

由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形,可得 BE=

1 1 6 6 由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE-ACD= × AC× GD× BE= x3= .故 x=2. 3 2 24 3 从而可得 AE=EC=ED= 6. 所以△EAC 的面积为 3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5.

B组

能力提升
)

1.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,命题 p:若 m∥n,m∥β, 则 n∥β, 命题 q: “m⊥β, n⊥β, n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件, 则下列结论正确的是 ( A.p∧(┐q)是真命题 C.(┐p)∧q 是假命题 [答案] B [解析] 对于命题 p,若 m∥n,m∥β,则 n 可能在平面 β 内,故命题 p 为假命题;对 于命题 q,若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则有 m⊥α,故命题 q 是真命题,故┐p 为真命题,┐q 为 假命题,故(┐p)∨q 是真命题,选 B. 2.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90° ,M 为 AB 的中点,PM 垂直于 △ABC 所在平面,那么 ( A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC [答案] C [解析] ∵M 为 AB 的中点, △ACB 为直角三角形, ∴BM=AM=CM, 又 PM⊥平面 ABC, ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故 PA=PB=PC. 3.已知某四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示. (1)若该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为____________________; (2)关于该四棱锥的下列结论中: ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形;
5

B.(┐p)∨q 是真命题 D.p∨q 是假命题

)

③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面. 所有正确结论的序号是____________________. 4 [答案] (1) 3 (2)①②③

[解析] (1)由三视图知,该几何体为底面是正方形的四棱锥,如图 1 4 所示,所以该四棱锥的体积为 × 2× 2× 1= .(2)由图可知 PQ⊥平面 3 3 ABCD, 则有 PQ⊥AB, 又 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 PBC, 于是侧面 PAB⊥ 侧面 PBC,同理可知侧面 PDC⊥侧面 PBC,故①正确;由上述易知 AB⊥PB,CD⊥PC,所 以△PAB,△PCD 为直角三角形,又四棱锥的侧视图为直角三角形,所以△PBC 为直角三 角形,故②正确;由图易判断平面 PAB 与平面 PAD 不垂直,故③正确.综上知①②③均正 确. 4.在如图所示的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB, AD∥EF,EF∥BC,BC=2,AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 是 BC 的中点. (1)求该多面体的体积; (2)求证:BD⊥EG; (3)在 BD 上是否存在一点 M,使 EM∥面 DFC,若存在,求出 BM 的长,若不存在,说 明理由. [答案] (1)6 (2)略 (3)存在,BM= 3 2

[解析] (1)把多面体的体积看作是三棱锥 D-ABE 与四棱锥 D-BCFE 的体积和,然后 结合已知条件求解; (2)过 D 作 DH∥AE 交 EF 于 H,则 DH⊥平面 BCFE,DH⊥EG,再证 BH⊥EG,从而 可证 EG⊥平面 BHD,故 BD⊥EG; (3)过 E 作 EN∥FC,交 BC 于 N,作 ER∥DF 交 DA 的延长线于 R,连接 NR 交 BD 于 M,连接 EM,由面面垂直的判定可得面 ENR∥面 DFC,从而得到 EM∥∥面 DFC.然后求 解三角形求得 BM 的长. (1)解:由 EF⊥平面 AEB,且 EF?平面 BCFE, 得平面 ABE⊥平面 BCFE,又 AE⊥EB, ∴AE⊥平面 BCFE, 再由 EF⊥平面 AEB,AD∥EF,可得 AD⊥平面 AEB, 1 1 1 4 ∴VD-AEB= × AE· DE· AD= × 2× 2× 2= ; 3 2 6 5 1 1 1 14 VD-BCFE= SBCFE· AE= × (3+4)× 2× 2= . 3 3 2 3
6

4 14 18 ∴多面体的体积为 CD-AEB+VD-BCEF= + = =6; 3 3 3 (2)证明:∵EF⊥平面 AEB,AE? 平面 AEB, ∴EF⊥AE,又 AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF? 平面 BCFE, ∴AE⊥平面 BCFE. 过 D 作 DH∥AE 交 EF 于 H,则 DH⊥平面 BCFE. ∵EG? 平面 BCFE,∴DH⊥EG. ∵AD∥EF,DH∥AE,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴EH=AD=2,即 EH=BG=2, 又 EH∥BG,EH⊥BE, ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴BH⊥EG. 又 BH∩DH=H,BH? 平面 BHD,DH? 平面 BHD,∴EG⊥平面 BHD. ∵BD? 平面 BHD,∴BD⊥EG. (3)解:过 E 作 EN∥FC,交 BC 于 N,作 ER∥DF 交 DA 的延长线于 R, 连接 NR 交 BD 于 M,连接 EM, ∵EN∥CF,∴EN∥面 DFC, ∵ER∥DF,∴ER∥面 DFC, ∴面 ENR∥面 DFC, 又 EM? 面 ENR,∴EM∥面 DFC. ∵ BN BM 1 1 = = ,∴BM= BD. DR MD 3 4

在 Rt△ABD 中,AD=2,AB=2 2, ∴BD=2 3,则 BM= 3 . 2 3 . 2

故在 BD 上是否存在一点 M,使 EM∥面 DFC,此时 BM=

[点拨]

本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与

转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 5.(2015· 重庆文)如图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平 π 面 ABC,∠ABC= ,点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC 2
7

=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC. (1)证明:AB⊥平面 PFE; (2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长. [答案] (1)略 (2)BC=3 或 3 3

[解析] (1)证明:如图,由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰三角形 PDC 的底边 DC 的 中点,故 PE⊥AC.因为平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PE? 平面 PAC, PE⊥AC,所以 PE⊥平面 ABC.因为 AB? 平面 ABC,所以 PE⊥AB.

π 因为∠ABC= ,EF∥BC,所以 AB⊥EF. 2 从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE,EF 都垂直, 所以 AB⊥平面 PFE. 1 (2)解:设 BC=x,则在 Rt△ABC 中,AB= AC2-BC2= 36-x2.从而 S△ABC= AB· BC 2 1 = x 36-x2. 2 AF AE 2 由 EF∥BC 知, = = ,得△AFE∽△ABC,故 AB AC 3 S△AFE 2 2 4 4 1 =( ) = ,S△AFE= S△ABC.由 AD= AE,得 9 9 2 S△ABC 3 1 14 2 S△AFD= S△AFE= · S△ABC= S△ABC. 2 29 9 四边形 DFBC 的面积 7 7 S 四边形 DFBC=S△ABC-S△AFD= S△ABC= x 36-x2. 9 18 由(1)知,PE⊥平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高. 在 Rt△PEC 中,PE= PC2-EC2= 42-22=2 3. 1 1 7 所以 VP-DFBC= · S · PE= · x 36-x2· 2 3=7. 3 DFBC 3 18 故 x4-36x2+243=0,解得 x2=9 或 x2=27. 因为 x>0,所以 x=3 或 x=3 3. 所以 BC=3 或 BC=3 3.

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