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空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积题组一



空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积题组一
一、选择题 1. ( 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化 的可能图象是 ( )

正 视图

侧 视图

俯 视图

h

h

h

h

O

t

O

t

O

t

O

t

A. B. C. D. 【答案】B 【分析】可以直接根据变化率的含义求解,也可以求出函数的解析式进行判断。 【解析】容器是一个倒置的圆锥,由于水是均匀注入的,故水面高度随时间变化的变化率逐 渐减少,表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少,正确选项 B。 【考点】空间几何体、导数及其应用。 【点评】 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制, 重点是对函数变化率的考查, 这是一种回归基本概念的考查方式,值得注意。 2. (浙江省温州市啸秋中学 2011 学年第一学期高三会考模拟试卷)如右 图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为 A. 3? B. 2? C. ?
主视图 左视图

3 2

D. 4?
俯视图

答案 C. 3. ( 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,当正六棱柱的体 积最大(柱体体积=底面积 ? 高)时,其高的值为 A. 3 3 B. 2 3 C.





2 3 3

D. 3

【答案】B 【分析】根据正六棱柱和球的对称性,球心 O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点, 作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、 高和球的半径的关系, 在这个关系下求函数取得

最值的条件即可求出所要求的量。 【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面,如图。设球心为 O ,正六棱柱的上下底面中心 分别为 O1 , O2 , 则 O 是 O1 , O2 的中点。 设正六棱柱的底面边长为 a , 高为 2h , 则 a 2 ? h2 ? 9 。 正六棱柱的体积为 V ? 6 ?

3 2 3 3 3 3 a ? 2h ,即 V ? (9 ? 3h 2 ) ,得 (9 ? h 2 )h ,则 V ' ? 4 2 2

极值点 h ? 3 ,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大值点。故当正六棱柱的体积最 大,其高为 2 3 。

【考点】空间几何体、导数及其应用。 【点评】本题在空间几何体、导数的应用交汇处命制,解题的关键是建立正六棱柱体积的函 数关系式。 考生如果对选修系列四的 《不等式选讲》 较为熟悉的话, 求函数 V ? 的条件可以使用三个正数的均值不等式进行, 即

3 3 (9 ? h 2 )h 2

3 3 3 3 3 6 ? (9 ? h2 ) ? (9 ? h2 ) ? 2h2 ? V? (9 ? h2 )h ? (9 ? h2 ) ? (9 ? h2 ) ? 2h2 ? ? ? , 2 4 ? 3 2 2 ?
等号成立的条件是 9 ? h2 ? 2h2 ,即 h ? 3 。 4. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)如下图,某几何体的正视图与侧视 图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ( )

3

1 。则该几何体的俯视图可以是 2

答案 C. 5. (广东省汕头英华外国语学校 2011 届高三第三次月考理)四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个点,则这四个点不共面的概 率为 ( )A、

5 7

B、

7 10
4

C、

24 35

D、

47 答案 D. 从 70

10 个不同的点中任取 4 个点的不同取法共有 C10 =210 种, 它可分为两类: 4 点共面与不共面. 如图 10,4 点共面的情形有三种: 4 ①取出的 4 点在四面体的一个面内 (如图中的 AHGC 在面 ACD 内) , 这样的取法有 4C 6 种;

②取出的 4 面所在的平面与四面体的一组对棱平行(如图 中的 EFGH 与 AC、BD 平行) ,这种取法有 3 种(因为对棱共 3 组,即 AC 与 BD、BC 与 AD、AB 与 CD) ; ③取出的 4 点是一条棱上的三点及对棱中点(如图中的 AEBG) ,这样的取法共 6 种. 4 综上所述,取出 4 个不共面的点的不同取法的种数为 C10 ( 4C 6 +3+6)=141 种.
4

A

E

H

B F 图 10 ( ) G C

D

141 47 故所求的概率为 ,答案选 D. ? 210 70
6. (浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文)若右图是一 (A)圆锥(C)圆柱个几何体的三视图,则这个几何体是 (A) 圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 答案 C. 二、填空题

7. (福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷) 一 个空间几何体的三视图及部分数据如上图所示,则这个几何体 的体积是
答案

___

3 2
a 2 ? b2 . 2

8.( 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 在 Rt?ABC 中,若 ?C ? 900 , AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 外接圆半径 r ?

运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c ,则其外接球的半 径R= . 【答案】

a 2 ? b2 ? c2 。 2

【分析】 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球, 与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相 同的,这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。 【解析】作一个在同一个顶点处棱长分别为 a, b, c 的长方体,则这个长方体的体对角线的长 度是 a ? b ? c ,故这个长方体的外接球的半径是
2 2 2

a 2 ? b2 ? c2 ,这也是所求的三棱锥 2

的外接球的半径。 【考点】推理与证明。 【点评】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确,但出 现在高考试题或者模拟试题中类比推理, 不会设计成漫无目标的类比推理试题, 而是设计成 指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时,一定要在得出结论的 过程中注重演绎推理的应用,不要被表面现象所迷惑。 9.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)某几何体的三视图,其中正视图是 腰长为 2 的等腰三角形, 侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积





答案 S ? 2(? ? 3 ) 10.(浙江省菱湖中学 2011 届高三上学期期中考试理) 若某几何 体的三视图(单位: cm )如图所示, 则此几何体的体积是 答案:12. 11. (浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三第一次模拟考试试题 理) 一个几何体的三视图如图 3 所示,则该几何体的体积(单位: cm3 )为
cm3 .

cm3 .

图3 答案: ? ?

3 3

12. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文)已知某个几何体的三 视图如图所示,根据图中标出的 尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 答案:

cm3 .

4 . 3

13. (浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题理) 已知右图的三视图 中正方形的边长为 a ,则该几何体的体积是 答案

7 ? a3 24

正视图

侧视图

俯视图

14. (浙江省金丽衢十二校 2011 届高三第一次联考理)若某几何体的三视图(单位: cm ) 如右图所示,则该几何体的表面积为

cm 2 .

答案 7? 三、简答题

.

15.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)(本题满分 13 分) 如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC ∥平面 DEFG , AD ⊥平面 DEFG , AB ? AC , ED ? DG , B EF ∥ DG .且 AB ? AD ? DE ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: BF ∥平面 ACGD ; (Ⅱ)求二面角 D ? CG ? F 的余弦值; (Ⅲ) 求五面体 ABCDEFG 的体积. 答案 (本题满分 13 分) 解法一 向量法 E 由已知,AD、DE、DG 两两垂直,建立如图的坐标系,则 A(0,0,2) , B(2,0,2) ,C(0,1,2) ,E(2,0,0) ,G(0,2,0) ,F(2,1,0) (Ⅰ) BF ? (2,1, 0) ? (2, 0, 2) ? (0,1, ?2) , CG ? (0, 2, 0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2) ∴ BF ? CG ,所以 BF∥CG.又 BF ? 平面 ACGD,故 BF//平面 ACGD …4 分 (Ⅱ) FG ? (0, 2, 0) ? (2,1, 0) ? (?2,1, 0) ,设平面 BCGF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,

A

C

D F

G

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ?? ? n ? CG ? y ? 2z ? 0 ? 1 1 )而 平 面 ADGC 的 法 向 量 则 ? ?? ??? , 令 y ? 2 , 则 n1 ? ( 1 , 2 , , ? n ? FG ? ? 2 x ? y ? 0 ? ? 1 ?? ? ? n2 ? i ? (1, 0, 0)

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1? 1 6 ? = ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 2 2 2 2 2 2 6 | n1 | ? | n2 | 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ? 0
值为

故二面角 D-CG-F 的余弦

6 .9 分 6

(Ⅲ)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM, 则 V = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 .……………13 分 解法二设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则由已知条件易证四边形 DEFM 是平 行四边形, B 所以 MF//DE,且 MF=DE 又∵AB//DE,且 AB=DE ∴MF//AB,且 MF=AB ∴四边形 ABMF 是平行四边形,即 BF//AM, 又 BF ? 平面 ACGD 故 BF//平面 ACGD……………4 分 (利用面面平行的性质定理证明,可参照给分) (Ⅱ)由已知 AD⊥面 DEFG∴DE⊥AD ,DE⊥DG 即 DE⊥面 ADGC , E ∵MF//DE,且 MF=DE , ∴MF⊥面 ADGC 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则 显然∠MNF 是所求二面角的平面角. ∵在四边形 ADGC 中,AD⊥AC,AD⊥DG,AC=DM=MG=1 ∴ CD ? CG ? 5 , ∴MN= ? A C

1 2

1 2

D F

M

N G

2 5 5

在直角三角形 MNF 中,MF=2, A C

2 5 MN ? 5
∴ tan ?MNF =

2 6 MF = = 5 , cos ?MNF = 6 MN 2 5 5
6 …………9 分 6

N D M G

故二面角 D-CG-F 的余弦值为

(Ⅲ) V多面体ABC-DEFG = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 .……………13 分

1 2

1 2

16. (福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) (本题满分 13 分)

一个多面体的直观图和三视图如下:

2 2

D

C N
F M B

2 2
2

2

E

2 2

A

(其中 M , N 分别是 AF , BC 中点) (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求多面体 A ? CDEF 的体积. 答案 解: (1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且 AB ? BC ? BF ? 2 ,

DE ? CF ? 2 2 ,∴ ?CBF ? 90? . ---2 分 取 BF 中点 G ,连 MG, NG ,由 M , N 分别是 AF , BC 中点,可设: NG // CF , MG // EF ,
∴面 MNG // 面 CDEF ∴ MN // 面 CDEF … ---8 分 (2)作 AH ? DE 于 H ,由于三棱柱 ADE ? BCF 为直三棱柱 ∴ AH ? 面 DCEF , 且 AH ? 2 ∴ V A?CDEF ?

1 1 8 S CDEF ? AH ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ,---13 分 3 3 3



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