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1.1正弦定理和余弦定理应用



1.1正弦定理和余弦定理

高考对本章的考查趋势
(1)斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小 题或难度较小的解答题; (2)斜三角形的边角关系与解析几何、立体几何、实 际应用联系起来组成中档题。

余弦定理

(1)余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2

2 b ? c ? a ? 2ca cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

b ?c ?a (2)常见变形公式: cos A ? 2bc
2 2

2

(边角互化,求角,判别角)

正弦定理
a b c ? ? (1)正弦定理: sin A sin B sin C

? 2R

(其中R为该三角形外接圆的半径)

(2)常见变形公式: a ? 2 R sin A (角化边)

a (边化角) sin A ? 2R a : b : c ? sin A : sin B : sin C (比例)

问题一:三角形中的边角运算 问题二:三角形的形状判断 问题三:三角形的面积求解

三角形的边角运算
1、在△ABC中,已知b=12,A=300,B=1200,
则 a=

4 3。
,B=600,c=1, D. 不确定

2、在△ABC中,b= 3

则此三角形有( A ) A. 一解 B. 两解 C. 无解

c? 3、在△ABC中,若a=3,b=4,
则这个三角形中最大角为

37,

1200 。

4、已知△ABC中,a=4,b=6,C=600,

则 c=

2 7



可归纳出—— 解斜三角形的类型:
求角时要注意用“大 边对大角” 进行取舍。 正弦 ①已知两角和任一边,求其他两边和一角,用 定理

②已知两边和一边的对角,求第三边和其他两角,用 正弦 定理。 ③已知三边求三角,用 余弦 定理。

④已知两边和它的夹角,求第三边和其他两个角,用 余弦 定理。 要数形结合,画图分析边角关系,合理使用公式。

三角形的形状判断

(1)在△ABC中,acosA=bcosB,判断三角形的形状。

思路:转化成单一的角关系或边长的关系
(2)在△ABC中,a=5,b=6,c=8,△ABC的形状是( C ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能

a ?b ?c 25 ? 36 ? 64 1 cos C ? ? ?? ?0 2ab 2? 5? 6 20
2 2 2

三角形的面积求解
S ?ABC
S ?ABC

1 ? ? 底?高 2

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

S?ABC

1 ? (a ? b ? c)r (r是该三角形内切圆半径) 2

1、在△ABC中,已知sinA:sinB:sinC=5:7:8, 则B=

在?ABC中,A ? 1200 , AB ? 5, BC ? 7, 求?ABC的面积。
2 5 3、已知?ABC中,B ? 45 , AC ? 10, cos C ? . 5 (1)求该三角形面积;
0

(2)记AB中点为D,求中线CD的长.

小结
熟记:正、余弦定理及其变形,三角形面积公式,合理
采用公式(求边、外接圆半径、角、面积等)

活用:灵活运用定理,实现边角转化(判别三角形形状等)

注重:数形结合与转化思想

知识梳理:
1.在△ ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、 C,则有: π C A+ B ? (1)A+ B+C=π , = 2 2. 2 -cos (2)sin(A+ B)=sin C ,cos(A+ B)= , C tan(A+ B)= -tan C .

C C sin A+B cos A+ B 2. (3)sin = ,cos = 2 2 2

2.正弦定理及其变形 a b c (1) = = = 2R. sin A sin B sin C (2)a= 2Rsin A,b= 2Rsin B,c= 2Rsin C.
a b c (3)sin A= 2 R ,sin B= 2 R,sin C= 2 R .

(4)sin A∶sin B∶sin C= a∶b∶c
3.余弦定理及其推论 (1)a2=b2+c2-2bccos .A

.

(2)cos A= (3)在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为 直角 ;c2>a2+ b2?C 为 钝角 ;c2<a2+b2?C 为 锐角 .

b2 ? c2 ? a2 2bc .

课堂练习
1.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、

c,若c= 2
A.

,b6 =

,B=120°, 则a等于( D
B. 2 C.



6

3

D.

2

解析

b c 由正弦定理得 ? , sin B sin C

c ? sin B 2 sin 120? 1 ? sin C ? ? ? , b 6 2 ? C ? 30?,? A ? 180? ? 120? ? 30? ? 30?.? a ? c ? 2.

2.在△ABC中,A=60°,a=4 3 等 于( C ) A.45°或135° C.45° 解析


,b=4 2

, 则B

B.135°
a D.以上答案都不对 b ? , sin A sin B

由正弦定理得 4 3 4 2
sin 60? ? sin B

,? sin B ?

4 2 2 sin 60? ? . 4 3 2

又∵a>b,A=60°,∴B=45°.

3.下列条件判断三角形解的情况正确的是( D ) A.a ? 8, b ? 16, A ? 30 有两解;
?

B.b ? 18, c ? 20, B ? 60 有一解;
?

C.a ? 15, b ? 2, A ? 90? 无解; D.a ? 30, b ? 25, A ? 150 有一解.
?

4.在?ABC中, 若b ? 2 2, a ? 2, 且三角形有解, 则A的取值范围是( B )

? C. ? 0 ,90 ?
? ? ? ?

A. ? 0 ,30

B. ? 0 , 45 ? ? ? ? D. ? 30 , 60 ?
? ?

3.在VABC中,若A=30 ,a= 则
a ?b ?c sin A+sinB-sinC

o

3,

=___

答案: 2 3 提示:
a sin A

?

b sin B

?

c sin C

? 2 R,

原式=2R=2 3

练习 1.在?ABC中,若sinA=2sinB ? cosC, 且sin A=sin B+sin C, 试判断?ABC的形状.
2 2 2

余弦定理的应用 (一)
例1、在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, 且 cosB ? cosC b . 2a ? c

(1)求B的大小; (2)若b= 13 ,a+c=4,求△ABC的面积.

cosB b ?【分析】由 ,利用余弦定理转化 cosC 2a ? c 为边的关系求解.

2 2 2 a ? c b 【解析】 (1)由余弦定理知,cosB= 2ac 2 2 2 a ?b -c ,cosC= . 2ab cosB b ?将上式代入得 cosC 2a ? c a 2 ? c2 - b2 2ab b ·2 ?, 2 2 2ac a ? b -c 2a ? c

整理得a2+c2-b2=-ac,
2 2 2 a ? c b - ac 1 ∴cosB= ? ?- , 2ac 2a 2 2 ∵B为三角形的内角,∴B= π. 3

2 (2)将b= 13 ,a+c=4,B= ? 代入b2=a2+c23 2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
∴b2=16-2ac(1- 1 ),∴ac=3. 2 ∴S△ABC = 1 acsinB= 3 3 . 2 4

*对应演练*
在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,B=
a+c=4,求a.

2 ? ,b= 13 , 3

解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB

2 ? 3 =a2+c2+ac=(a+c)2-ac,
=a2+c2-2accos ∵a+c=4,b= 13 ,∴ac=3, 解得a=1或a=3.

a+c=4
ac=3,

余弦定理的应用 (二)
例2、已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于

两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B为两内角,试
判定这个三角形的形状.

【分析】先由已知条件得出三角形的边角关系.要 判定三角形的形状,只需将边角关系转化为边之间或 角之间的关系即可判定.

【解析】:方法一:设方程的两根为x1,x2,由韦达定理知 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB. 由题意有bcosA=acosB,由正弦定理得 2RsinBcosA=2RsinAcosB, ∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.

∵0<A<π,0<B<π,
∴-π<A-B<π.

∴A-B=0,即A=B.故△ABC为等腰三角形.

方法二:设方程的两根为x1,x2,由韦达定理知
x1+x2=bcosA,x1x2=acosB. 由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得
2 2 2 b2 ? c2 - a2 a ? c ? b b· =a· 2bc 2ac ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,

,

化简得a=b,∴△ABC为等腰三角形.

*对应演练*
在△ ABC 中,已知(a+b+c)(b+ c-a)=3bc,且 sin A= 2sin Bcos C,试确定△ABC 的形状.

解析:由(a+ b+c)(b+c-a)=3bc, 得 b2+ 2bc+ c2-a2=3bc, 2 2 2 b + c - a bc 1 即 a2= b2+ c2-bc,∴cos A= = = , 2bc 2bc 2 π ∴ A= .又 sin A= 2sin Bcos C. 3 a2+ b2-c2 a2+ b2-c2 ∴ a= 2b· = , 2ab a ∴ b2=c2, b= c,∴△ ABC 为等边三角形.

正、余弦定理证明三角恒等式(三)
2 2 2 tan A a +c -b 例 3 在△ABC 中,求证: = . tan B b2+c2-a2

sin A cos A sin Acos B 证明: 左边= = sin B sin Bcos A cos B 2 2 2 a +c -b a2+c2-b2 a 2ac = ·2 2 = =右边, b b +c -a2 b2+c2-a2 2bc
2 2 2 tan A a +c -b 所以 = . tan B b2+c2-a2

对应演练:

在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C

的对边, cos B c-bcos A 求证: = . cos C b-ccos A 2 2 a +c - b2 b(a2+c2-b2) 2ac 证明 : 方法一 左边= 2 2 2= a +b - c c(a2+b2-c2) 2ab b2+c2-a2 c- b· b(a2+c2- b2) 2bc 右边= 2 2 2= b +c -a c(a2+b2- c2) b- c· 2bc ∴等式成立. 2Rsin C-2Rsin B· cos A 方法二 右边= 2Rsin B-2Rsin C· cos A sin(A+ B)- sin Bcos A sin Acos B = = =左边 sin(A+ C)- sin Ccos A sin Acos C ∴等式成立.

正、余弦定理的综合应 用(四)
例4:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小; (2)若a= 3,求bc的最大值;
? asin(30 - C) 的值. (3)求 b-c

2 2 2 b ? c ? a ? bc 1 【解析】 (1)∵cosA= ? ?? 2bc 2bc 2

又∵A∈(0,180°),∴A=120°. (2)由a=
2+c2=3-bc, , 得 b 3

又∵ b2+c2-2bc ≥0 b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时取等号), ∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号). 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.

a b c ? ? ? 2R (3)由正弦定理得 sinA sinB sinC
? ? asin(30 C) 2RsinAsin( 30 - C) ∴ ? b-c 2RsinB - 2RsinC

3 1 3 ( cosC ? sinC) sinAsin(30 ? - C) 2 ? ? 2 2 ? sinB - sinC sin(60 - C) - sinC 3 3 cosC ? sinC) 1 4 4 ? ? 2 3 3 cosC ? sinC 2 2



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