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广东省梅州市皇华中学2013届高三上学期第二次质检数学理试题



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高三级数学(理科)质检试题 2012 年 12 月
一.选择题。(每小题 5 分,共 40 分) 1.集合 A ? {x | y ? 1 ? x 2 , x ? Z } ,则 (
2


3 4

A. i ? A B. i ? A C. i ? A D. i ? A 2.已知函数 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x ,x∈R,则 f ( x ) 是( )

? ? C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 3.已知函数 f ( x) ? lg | x | , x ? R 且 x ? 0 ,则 f (x) 是( )

A.最小正周期为 ? 的奇函数

B.最小正周期为 ? 的偶函数

A.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 C.奇函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

B.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增 D.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

4.设数列 {an } 是公差为为 0 的等差数列,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 , S2 , S4 成等比数 列,则 A.3

a4 ? a1
B.4 C.6

( D.7



5.“ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? x ? m 有零点”的( )

A.充分非必要条件 C.必要非充分条件

B.充要条件 D.非充分必要条件

6.已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) ,如果向量 a ? ? b 与 b 垂直,则 | 2a ? ?b | 的值为 ( ) A.1 B. 5 C. 5 D. 5 5

? x ? 3, ?2 y ? x, ? 7.已知 x , y 满足 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是( ?3x ? 2 y ? 6, ?3 y ? x ? 9 ?
A.

).

15 2

B.

9 2

C.

9 4

D. 2

⒏定义

a b a b b c d 其中 a , , , ? ?? 1 , 1 , 2 , 3 , 4? , 且互不相等. 则 ? ad ? bc , c d c d
)

的所有可能且互不相等的值之和等于( A. 2012 B. ? 2012 C. 0

D.以上都不对

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二.填空题。(每小题 5 分,共 30 分) 9. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a5 ? 9 ,则 S6 = .

10.在 ?ABC 中,已知 a,b,c 分别为 ?A , ?B , ? C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积.若向

? ? ?? ? ? ? ? 量 p ?(4,a2 ? b2 ? c2 ) q ?(1,S )满足 p // q ,则 ? C = ,
11.



?

0

?1

1 ? x 2 dx ?

.

12.设抛物线 C : y 2 ? 4 x 的准线与对称轴相交于点 P , 过点 P 作抛物线 C 的切线,切线方程是
f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立,则 f (3) ? f (2009 ? ) .
14.如图,圆 O 的直径 AB ? 8 , C 为圆周上一点,




13.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,且对任意 x ? R 都有

BC ? 4 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作直线 l 的垂线 AD , D
为垂足, AD 与圆 O 交于点 E ,则线段 AE 的长为 .

三.解答题(共 80 分)

15. (本小题满分 12 分)已知函数 (1)求 f(x)的最大值; (2)设△ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a、b,若 B=2A,且 求角 C 的大小. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , S 是该三角形的面积, (1) a ? (2sin 若 度数; (2)若 a ? 8 , B ? ?,

?

B cos ,sin B 2

cos ? B )

B

,b ? (sin B ? cos B, 2sin

?

? ? B ) ,a / / b ,求角 B 的 2

2? , S ? 8 3 ,求 b 的值. 3

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你的首选资源互助社区 第 14 题图

17.已知数列 ?an ? 是首项为2,公比为 (1)求数列 ?an ? 的通项 an 及 Sn ;

1 的等比数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. 2

(2)设数列 {bn ? an } 是首项为-2,第三项为2的等差数列,求数列 ?bn ? 的通项公式 及其 前 n 项和 Tn . 18.已(本小题满分 14 分)知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a, (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求函数 f(x)在该区间上的最小值. 19.(本题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 是 首 项 为 a? (a? ? ?) , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 且

S1 , S 2 , S 3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 2n

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R). x ?1

9 时,如果函数 g( x) ? f ( x)? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x)与 1 的大小;

1 1 1 1 (n ? N* ). (3)求证: ln(n ? 1)? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1

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高三级数学(理科)质检试题参考答案 2012 年 12 月
15.解: (1) f ( x) ? sin x ? cos( x ? 2分

?
6

) ? sin x ?

3 1 cos x ? sin x 2 2

??????

? 3 ? ? ? 1 ? 3? sin x ? cos x ? ? 3 sin( x ? ) . (注: 也可以化为 3 cos( x ? ) ) ? ? 2 ? 6 3 2 ? ?
4分 所 以

f (x)











3.

??????????????????????6 分 (注:没有化简或化简过程不全正确,但结论正确,给 4 分)

(2)因为 b ? 2a f ( A ? 7分

?
6

) ,由(1)和正弦定理,得 sin B ? 2 3 sin 2 A .??????

2 又 B ? 2A , 所以 sin 2 A ? 2 3 sin A , n 即s i

A cs A ? 3n o s i

2

A,

??????

9分 而 A 是三角形的内角, 所以 sin A ? 0 , c A ? 3 s A ,tan A ? 故 os i n 11 分 所以 A ? 12 分

3 , ?????? 3

?
6

,B ? 2 A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2



??????????????

16.解:(1)? a / /b

?

?

? 4 cos B ? sin 2

? 4 cos B ?

1 ? cos B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 0 2

B ? cos 2 B ? 0 2
? cos B ? 1 2

? ?B ? (0,1800 )
(2)? S ? 8 3

??B ? 60? ????????6 分
1 ? ac sin B ? 8 3 ????????7 分 2 得 c ? 4 ????????8 分

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 82 ? 42 ? 2 ? 8 ? 4cos1200 ????????10 分

?b ? 4 7 ????????12 分
18.解:(1)f′(x)=-3x2+6x+9,令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3,所以函数 f(x)的单调递 减区间为(-∞,-1),(3,+∞); 令 f′(x)>0,解得-1<x<3,所以函数 f(x)的单调递增区间为(-1,3). (2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

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所以 f(2)>f(-2). 因为在区间(-1,3)上,f′(x)>0,所以 f(x)在(-1,2)上单调递增. 又由于 f(x)在(-2,-1)上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2, 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2, 因此 f(-1)=-7,即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 17. 解:(1)∵数列 ?an ? 是首项 a1 ? 2 ,公比 q ? ∴ an ? 2 ? ( )

1 的等比数列 2

1 2

n ?1

? 2 2? n ,-------------- ------------3 分

Sn ?

2(1 ?

1 ) 2n ? 4(1 ? 1 ) .------------------------------7 分 1 2n 1? 2
2 ? ( ?2) ? 2 ---- ------ 8 分 2

(2)依题意得数列 {bn ? an } 的公差 d ? ∴ bn ? an ? ?2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 4

∴ bn ? 2n ? 4 ? 22?n ---------------------------------9 分 设数列 {bn ? an } 的前n项和为 P n 则 Pn ?

n(?2 ? 2n ? 4) ? n(n ? 3) --------------------------------10 分 2 1 ) ? n 2 ? 3n ? 4 ? 22? n .--------- 14 分 n 2

∴ Tn ? Pn ? S n ? n(n ? 3) ? 4(1 ?

19. 解 : ( Ⅰ ) ∵ S1 ? a1 , S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? 2 , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 6 , -------------------------------2 分 由 S1 , S2 , S3 成等差数列得, 2 S2 ? 解 得

S1 ? S3 ,即 2 2a1 ? 2 ? a1 ? 3a1 ? 6 ,


a1 ? 1



an ? 2n ? 1



---------------------------------------4 分 ( Ⅱ )

bn ?

an 2n ? 1 1 ? n ? (2n ? 1)( ) n n 2 2 2



---------------------------------------6 分

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法 1: Tn ? 1? ( ) ? 3 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ? ? (2 n ? 1) ? ( ) ,
1 2 3 n

1 2

1 2

1 2

1 2



①? ②

1 1 12 13 14 3 ) ? 得 , Tn ? 1? ( ) ? ? ( ? ?5 ( ? ) ? 2 2 2 2 2

1 n ? 2 ? 3 )n ?( n ? (?2 ( ) 2

1? 1 n 1 ),( ) 2

① ? ②得, Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? 2 ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? (2n ? 1) ? ( 1 ) n ?1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2? 2 1 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2 4 2n ? 1 2n ? 3 ? n ? 3? . n 2 2 2n



---------------------------------------10 分 ∴Tn ? 3 ? -------------------------14 分

20.解:(1)当 a ?

9 9 时, f ( x) ? ln x ? ,定义域是 (0,??) , 2 2( x ? 1)

f ?( x) ?

1 1 9 (2 x ? 1)(x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 . ?2 分 ? ? 2 x 2( x ? 1) 2 2 x( x ? 1) 2

1 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 1 1 ? 函数 f (x) 在 (0, ) 、 (2,??) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减. 4 分 2 2 1 3 ? f (x) 的极大值是 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值是 f (2) ? ? ln 2 . 2 2

?当 0 ? x ?

? 当 x ? ?0 时, f (x) ? ?? ; 当 x ? ?? 时, f (x) ? ?? , ? 当 g (x) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ?
(2)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ?

3 ? ln 2 .?????5 分 2

2 ,定义域为 (0,??) . x ?1 2 ? 1, 令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ? x ?1

? h?( x) ?

1 2 x2 ? 1 ? ? ? 0, x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
?????????7 分

? h(x) 在 (0,??) 上是增函数.
①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ;

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②当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ;

③当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 . ?????????????9 分 (3)(法一)根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? 令x ?

2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? . x ?1 x ?1

k ?1 k ?1 1 ? ,则有 ln , k k 2k ? 1
n

? ? ln
k ?1

n

k ?1 n 1 . ?????12 分 ?? k k ?1 2k ? 1

? ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

k ?1 , k
??????????????14 分

? ln( n ? 1) ?

1 1 1 ? ??? . 3 5 2n ? 1

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 ? 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. ????????10 分 3 1 1 1 设当 n ? k 时,命题成立,即 ln( k ? 1) ? ? ? ? ? . 3 5 2k ? 1 k ?2 1 1 1 k ?2 ? n ? k ? 1 时, n ? 1) ? ln(k ? 2) ? ln(k ? 1) ? ln ln( ? ? ?? ? ? ln . k ?1 3 5 2k ? 1 k ?1 2 x ?1 ? 1 ,即 ln x ? 根据(2)的结论,当 x ? 1 时, ln x ? . x ?1 x ?1 k ?2 k ?2 1 ? 令x? ,则有 ln , k ?1 k ? 1 2k ? 3 1 1 1 1 ? 则有 ln(k ? 2) ? ? ? ? ? ,即 n ? k ? 1 时命题也成立.?????13 分 3 5 2k ? 1 2k ? 3
因此,由数学归纳法可知不等式成立. (法三)如图,根据定积分的定义, 得 ????????????14 分 y

n 1 1 1 1 ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? dx .??11 分 1 2x ? 1 5 7 2n ? 1 n 1 1 n 1 ?? dx ? ? d (2 x ? 1) 1 2x ? 1 2 1 2x ? 1

o 123456 ?

n-1 n x



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