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福建省南安市第一中学2015届高三上学期期末考试数学(理)试题



南安一中 2015 届高三上期末试卷(理科数学)2015.1
组卷:洪木山 审核:吴水荣 满分:150分 时间:120分钟 注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.

一、选择题:本大

题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确答案. 1.设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? ( D. ?3,0,1,2? S4 2.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 的值为( a3 A. ?3, 0? C. B. ?3,0,2?

?3,0,1?





A.

15 4

B.

15 2

C.

7 4

D.

7 2


3.已知复数 z1 ? cos 23? ? i sin 23? 和复数 z2 ? cos37? ? i sin 37? ,则 z1 ? z2 为(

A.

3 1 ? i 2 2

B.

1 3 ? i 2 2

C.

1 3 ? i 2 2


D.

3 1 ? i 2 2

4.设 0 ? b ? a ? 1 ,则下列不等式恒成立的是(

ab ? b ? 1 A.
2

2 ? 2 ?1 B.
b a

C. log 1 a ? log 1 b ? 0
2 2

D. loga 2 ? logb 2 ? 0 )

5.设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列四个命题中正确的是( A. “ m 垂直于 ? 内无数条直线”是“ m ? ? ”的充要条件; B. “存在一条直线 m , m //

? , m // ? ”是“ ? // ? ”的一个充分不必要条件; ? ”的必要不充分条件;

C.当 ? ? ? 时, “ m // ? ”是“ m ?

D.当 m ? ? 时, “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件. 6.三个学校分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排合影,则同校学生排在 一起的概率是( A. ) B.

1 30

1 15

C.

1 10

D.

1 5

7.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? sin x, x ? 0 ?e ? 1,  x ? 0
x

,若 f (2 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是(
2



A. (??, ?1) ? (2, ??)

B. (?2,1)

C. (?1, 2)

D. (??, ?2) ? (1, ??)

8.已知抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 0.5 .现采用随机模拟试验的方法估计抛 掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率:先由计算器产生 0 或 1 的随机数,用 0 表示正 面朝上,用 1 表示反面朝上;再以每三个随机数做为一组,代表这三次投掷的结果.经随 机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 101 000 111 011 010 010 101 001 010 111 100 001 100 100 011 000 111 101 ) D. 0.40 ) 110 101

据此估计,抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为( A. 0.30 B. 0.35 C. 0.375

9.函数 f ? x ? ? cos ? x 与 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为( A.2 10.已知双曲线 轴端 B.4 C.6 D.8

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , A1 , A2 为实轴顶点, F 是右焦点, B(0, b) 是虚 a 2 b2

点,若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi (i ? 1, 2) ,使得 ?PA i 1A 2 构成以 A 1 A2 为 斜边 的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是( A. ( 2, ??) B. ( )

5 ?1 , ??) 2

C. (1,

5 ?1 ) 2

D. ( 2,

5 ?1 ) 2

二、填空题:每小题 4 分,共 20 分. 11.某学校有三个学生社团:文学社、合唱社、摄影社,其中文学社有 36 人,学校要对这三个 社团的活动情况进行抽样调查,按分层抽样的方法从这三个社团成员中抽取 30 人,结果文 学社被抽出 12 人,则这三个社团共有______________人。 12.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,若 sin A ? 3 sin C , B ? 30? , b ? 2 ,则 △ ABC 的面积是 _____.

? x ? y, ? 13.设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x, 向量 a ?(2 x ? y, m) , b ?(?1, 1).若 a?//?b ,则实数 m 的最 ? x ? 1, ?
大值为
1 2 2


3 n ?2 ?1 n?1 Cn ? 85 , 则 (1 ? 2 x)n 的 所 有 项 的 系 数 和 为 n ?3

14. 若 Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? ?? 3 _____.

15.函数 f (a) ? (3m ? 2)a ? b ? 2m ,当 m ? ?0,1? 时, 0 ? f (a ) ? 1 恒成立, 则

9a2 ? b2 的最大值 ab

与最 小值之和为 _____.

三、解答题:本大题共 6 小题,其中第 21 题第 22 题 14 分,其他每题 13 分,共 80 分。 16.已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 , a1 , a 2 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?2n ? an ? 的前 n 项和 Sn .

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O , E 为线段 PC 上 一点, 且 AC ? BE , (Ⅰ)求证: PA // 平面 BED ; (Ⅱ)若 BC // AD , BC ?

2 , AD ? 2 2 , PA ? 3 且 AB ? CD

求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值

?? ? 18.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? 在同一半周期内的图象过点 O, P, Q , 其中 ?4 ?
O 为坐标原点, P 为函

数 f ( x) 图象的最高点, Q 为函数 f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴的交点. (Ⅰ)试判断 ?OPQ 的形状,并说明理由.
?? ? (Ⅱ)若将 ?OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 ? ? 0 ? ? ? ? 时,顶点 P ?, Q ? 恰好同时落在曲 2? ?

线

y

y?

k ,求实数 k 的值. ? x ? 0? 上(如图所示) x

P'

P

Q' O Q

x

19.已知抛物线 ? 的顶点为坐标原点,焦点为 F (0,1) . (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程;

(Ⅱ)若点 P 为抛物线 ? 的准线上的任意一点,过点 P 作抛物线 ? 的切线 PA 与 PB ,切点分 别为 A, B ,求证:直线 AB 恒过某一定点; (Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论,反思其解题过程,再对命题(Ⅱ)进行变式和推广.请写出一个 你 发现的真命题 ,不要求证明(说明:本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情 ... 给分) . 20.已知函数 f ? x ? ? ex sin x ? cos x, g ? x ? ? x cos x ? 2e x ,其中 e 是自然对数的底数.

π (Ⅰ)判断函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 内的零点的个数,并说明理由; 2 ? π? ? π? (Ⅱ)?x1 ? ?0, ? , ?x2 ? ?0, ? , 使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立, 试求实数 m 的取值范围; ? 2? ? 2?
(Ⅲ)若 x ? ?1 ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0 . 21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ?

?3 a? ? ? 的两个特征值为 6 和 1, ?2 b?
?1

(1)求 a , b 的值,并求每个特征值所对应的一个特征向量; (2)求矩阵 A 。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x?? ? ? 在平面直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?

2 ? r cos? 2 ( ? 为参数,r ? 0 ) , 以O 2 ? r sin ? 2

为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)写出圆 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,求 r 的值。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 若 a, b, c 为正实数且满足 a ? 2b ? 3c ? 6 , (1)求 abc 的最大值; (2)求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

?
4

) ? 1,

南安一中 2015 届高三上期末试卷(理科数学)答案
一、选择题:CABDD 二、填空题:11.90 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根分别为 1,2,依题意得 a1 ? 1 , a2 ? 2 . 所以 q ? 2 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2
n n ?1

CBBBD 12. 3 13.6 14.1 15.

64 5
2分

. ············· 4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 2n ? an ? n ? 2 , ····················· 5 分 所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ??? ? n ? 2n , ·········· ①
2 ? Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 , ····· ② 由①-②得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ?2n ? n ? 2n ?1 , ···················· 9 分



?Sn ?

2 ? 2n ? 2 ? n ? 2n?1 , ······················ 12 分 1? 2

所以 Sn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 .?? 13 分 17.? AC ? BD, AC ? BE, BD ? BE ? B ,? AC ? 平面BDE ,连接 OE , 所以 AC ? OE ,又 PA ? 平面ABCD ,? AC ? PA ,又 OE, PA 都是平面 PAC 中的直线,

? OE ∥ PA ,且 OE ? 平面BDE , PA ? 平面BDE ,? PA ∥ 平面BDE ?? 6 分
(2)? BC // AD , BC ?

2 , AD ? 2 2 且 AB ? CD

所以在等腰梯形中 OB ? OC ? 1, OA ? OD ? 2

E ? 平面 ABCD 由(1)知 O

,分别以 OB, OC , OE 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,

则 B(1,0,0), C (0,1,0), D(?2,0,0), P(0, ?2,3)

? ??? ? ? ? ??2 x ? y ? 0 ?n ? CD ? 0 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则 ? ? ??? ,所以 ? ? ?3 y ? 3z ? 0 ? ?n ? PC ? 0 ? ??? ? 取 x ? 1 ,则 y ? z ? ?2 , n ? (1, ?2, ?2) , PB ? (1, 2, ?3) ,设 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ??? ? ? PB ? n 14 14 则 sin ? ? ??? ,所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ?? 13 分 ? ? ? 14 14 PB n
18.解法一: (Ⅰ) ?OPQ 为等边三角形.
?? ? 理由如下:因为函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? ,所以 ?4 ?

2π ? 8 ,所以函数 f ( x) 的半周期为 4,所以 OQ ? 4 . 2 分 ? 4 又因为 P 为函数 f ( x) 图象的最高点,所以点 P 坐标为 (2, 2 3) ,所以 OP ? 4 , T?

4分

又因为 Q 坐标为 (4, 0) ,所以 PQ ? (2 ? 4)2 ? (2 3 ? 0)2 ? 4 ,所以 ?OPQ 为等边三角形. 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OP ? OQ ? 4 ,
? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) , ··· 7 分 所以点 P? , Q? 的坐标分别为 ? 4cos ? ? ? ?,4sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , 3 3 ?? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 k ? ? ?8sin2 ? ? ,9 ? (2 ? ? π) ,且 k ? 16sin cos 代入 y ? ,得 k ? 16cos ? ? ? sin ? ?? ? 3 8si ?n 3 3 x ? ? ? ? 分 2 ? 1 所以 sin 2? ? sin(2? ? π) ,结合 sin 2 (2? ) ? cos2 (2? ) ? 1 , 0 ? ? ? ,解得 sin 2? ? , 11 分 3 2 2 所以 k ? 4 ,所以所求的实数 k 的值为 4. ·················· 12 分 ?? ? 解法二: (Ⅰ) ?OPQ 为等边三角形.理由如下:因为函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? , ?4 ? 2π ? 8 ,所以函数 f ( x) 的半周期为 4,所以 OQ ? 4 , ········ 2 分 所以 T ? ? 4 因 为 P 为 函 数 f ( x) 的 图 象 的 最 高 点 , 所 以 点 P 坐 标 为 (2, 2 3) , 所 以 OP ? 4 , 所 以

OP ? OQ .
2 3 ? 3 ,所以 ?POQ ? 60? ,所以 ?OPQ 为等边三角形. 6 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OP ? OQ ? 4 ,所以点 P? , Q? 的坐标分别为

又因为直线 OP 的斜率 k ?

? ?? ? ?? k ? ? 4sin ? ) , 因为点 P? , Q? 在函数 y ? ( x ? 0) 的图象 4sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , ? 4cos ? ? ? ? , 3? 3 ?? x ? ? ? 上, ? ?? ? ?? ? 2 ? ?k ? 16 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? , ?k ? 8sin(2? ? π), 所以 ? , 所以 3 3 3 , ········· 9 分 ? ? ? ? ? ?k ? 16sin ? cos ? ?k ? 8sin 2? ? ?

2 2 2 消去 k 得, sin 2? ? sin(2? ? π) ,所以 sin 2? ? sin 2? cos π ? cos 2? sin π , 3 3 3 3 3 3 ? ? 1 cos 2? , 所以 sin 2? ? 所以 tan 2? ? , 又因为 0 ? ? ? , 所以 2? ? , 所以 sin 2? ? , 2 2 3 2 6 2 所以 k ? 4 .所以所求的实数 k 的值为 4. ·················· 12 分 解法三: (Ⅰ)同解法一或同解法二; k (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ?OPQ 为等边三角形.因为函数 y ? ( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称, x ? k 时,点 P? , Q? 恰在函数 y ? ( x ? 0) 的图象上. ····· 10 分 12 x ? ? 此时点 Q? 的坐标为 (4cos , 4sin ) , ··················· 11 分 12 12 ? ? ? 所以 k ? 16sin cos ? 8sin ? 4 ,所以所求的实数 k 的值为 4. ······· 12 分 12 12 6
由图象可知,当 ? ?

19.解: (Ⅰ)依题意可设抛物线 ? 的方程为: x2 ? 2 py ( p ? 0 ) . ······· 1 分 p 由焦点为 F (0,1) 可知 ? 1 ,所以 p ? 2 .所以所求的抛物线方程为 x 2 ? 4 y . ·· 3 分 2 ? x2 ? ? x2 ? 1 (Ⅱ)方法一:设切点 A 、 B 坐标分别为 ? x1 , 1 ? , ? x2 , 2 ? ,由(Ⅰ)知, y ? ? x . 4? ? 4? 2 ?

1 1 x1 , k2 ? y? x? x ? x2 , 2 2 2 1 2 1 1 2 1 故切线 PA、PB 的方程分别为 y ? x1 ? x1 ( x ? x1 ) , y ? x2 ? x2 ( x ? x2 ) ,··· 5 分 4 2 4 2 x1 ? x2 ? x? , ? x ?x 1 ? 2 联立以上两个方程,得 ? .故 P 的坐标为 ( 1 2 , x1 x2 ) , ······ 6 分 1 2 4 ?y ? x x 1 2 ? 4 ? 1 因为点 P 在抛物线 ? 的准线上,所以 x1 x2 ? ?1 ,即 x1 x2 ? ?4 . ········ 7 分 4 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程 x 2 ? 4 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,
则切线 PA、PB 的斜率分别为 k1 ? y? x? x ?
1

所以 x1 x2 ? ?4m ,即 ?4m ? ?4 ,所以 m ? 1 . ················ 8 分 故 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,故直线 AB 恒过定点 (0,1) . ············ 9 分
? x2 ? ? x2 ? 方法二:设切点 A 、 B 坐标分别为 ? x1 , 1 ? , ? x2 , 2 ? ,设 P ? m, ?1? , 4? ? 4? ? 易知直线 PA、PB 斜率必存在,可设过点 P 的切线方程为 y ? 1 ? k ? x ? m ? . ? y ? 1 ? k ? x ? m? , 由? 2 ,消去 y 并整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? km ? 1? ? 0 . ····· ① x ? 4 y , ?

因为切线与抛物线有且只有一个交点,所以 ? ? ? 4k ? ? 16(km ? 1) ? 0 ,整理得 k 2 ? mk ? 1 ? 0 ,
2

② 所以直线 PA、PB 斜率 k1 ,k2 为方程②的两个根,故 k1 ? k2 ? ?1 , ········ 5 分 另一方面,由 ? ? 0 可得方程①的解为 x ? 2k ,所以 x1 ? 2k1 , x2 ? 2k2 . ····· 6 分 假设存在一定点,使得直线 AB 恒过该定点,则由抛物线对称性可知该定点必在 y 轴 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x2 x2 上,设该定点为 C (0, c) ,则 CA ? ( x1 , 1 ? c) , CB ? ( x2 , 2 ? c) .所以 CA// CB , 4 4 2 x2 x12 xx 所以 x1 ( ? c ) ? ( ? c) x2 ? 0 ,整理得 c( x1 ? x2 ) ? 1 2 ( x2 ? x1 ) 所以 x1 ? x2 , 4 4 4 xx 4k k 所以 c ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? 1 所以直线 AB 过定点 ? 0,1? . ············ 9 分 4 4 (Ⅲ)结论一:若点 P 为直线 l : y ? t ( t ? 0 )上的任意一点,过点 P 作抛物线 ? : x2 ? 2 py ( p ? 0 )的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,则直线 AB 恒过定点 (0, ?t ) . ··· 13 分 结论二:过点 Q ? 0, m ? ( m ? 0 )任作一条直线交抛物线 ? : x2 ? 2 py ? p ? 0? 于 A, B 两点,分别 以点 A, B 为切点作该抛物线的切线,两切线交于点 P ,则点 P 必在定直线 y ? ?m 上.13 分 结 论 三 : 已 知 点 P 为 直 线 l : y ? kx? b上 的 一 点 , 若 过 点 P 可 以 作 两 条 直 线 与 抛 物 线

? : x 2 ? 2 py( p ? 0 )相切,切点分别为 A, B ,则直线 AB 恒过定点 ? pk , ?b ? . · 13 分
说明:①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论; ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变 π 20.解: (Ⅰ)函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1. 1 分 2

理由如下:因为 f ? x ? ? ex sin x ? cos x ,所以 f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x . 2 分

π π ,所以 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上是单调递增函数. 3 分 2 2 π π 因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f ( ) ? e 2 ? 0 ,根据函数零点存在性定理得 2 π 函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1. ················ 4 分 2 (Ⅱ)因为不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 等价于 f ( x1 ) ≥ m ? g ( x2 ) , π π 所以 ?x1 ?[0, ], ?x2 ?[0, ] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,等价于 2 2 ,即 f ( x1 )min ≥ m ? g ( x2 )max . ············ 6 分 f ( x1 )min ≥ ? m ? g ( x2 ) ?min
因为 0 ? x ?

π π 当 x ?[0, ] 时,f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x ? 0 , 故 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递增, 所以 x ? 0 2 2 时, f ? x ? 取得最小值 ?1 . ························ 7 分
又 g ? ? x ? ? cos x ? x sin x ? 2ex ,由于 0 ≤ cos x ≤1, x sin x ≥ 0, 2ex ≥ 2 ,

π 所以 g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减,因此, x ? 0 时, g ? x ? 取得最大值 ? 2 . 2 8分 ? 2 ? 1 .所以实数 m 的取值范围是 ??, ?1 ? 2 ? 所以 ?1≥ m ? ? 2 ,所以 m ≤9分 ?. (Ⅲ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 f ? x ? ? g ? x ? ,

?

?

?

只要证 e x sin x ? cos x ? x cos x ? 2e x ,只要证 e x sin x ? 2 ? ? x ? 1? cos x ,
ex cos x ? . ············ 10 分 x ? 1 sin x ? 2 ex cos x ? 下面证明 x ? ?1 时,不等式 成立. x ? 1 sin x ? 2

?

?

由于 sin x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,只要证

令 h ? x? ?

e x ? x ? 1? ? e x xe x ex ? ,则 , h x ? ? ? ? ? x ? ?1? 2 2 x ?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减;当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取得极小值也就是最小值为 1. 令k ?
cos x sin x ? 2

,其可看作点 A ? sin x,cos x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率,

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 ,由于点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以直线 AB 与圆
x ? y ? 1 相交或相切,当直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时,
2 2

?

?

直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 .故 x ? 0 时, k ?

2 ? 1 ? h ? 0 ? ; x ? 0 时, h ? x? ? 1≥ k . 2 ··································· 13 分

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立.

14 分

21. (Ⅰ) (1)依题 1,6 是关于 ? 的方程, f (? ) ? ?

a ? ?3 ? ? 2 ? ? ? ? (3 ? b)? ? 3b ? 2a ? 0 2 b ? ? ? ?

的两个根,由韦达定理有 ?

?b ? 3 ? 7 ?b ? 4 。 , 解得 ? ?3b ? a ? 6 ?a ? 3
? ? ?3 ? ?1? ? , 6 所对应的一个特征向量为 2 ? ? ?, ? ??2? ?1?

1 所对应的一个特征向量为 ?1 ? ?

1? ? 2 ? ? ? 3 2 ?1 (2)? det A ? 6 ,所以 A ? ? ? ?? 1 1 ? ? 3 2 ? ? ?
(Ⅱ) (1)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 ? sin(? ?
2

?
4

) ?1? r2 ? 0 ,

直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ? 2 ? 0

?
(2)圆 C 的圆心 C 到 l 的距离 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

?2

圆 C 上的点到 l 的距离的最大值为 d ? r ? 3 ,所以 r ? 1 (Ⅲ) (1)由均值不等式得: 6 ? a ? 2b ? 3c ? 3 3 a ? 2b ? 3c 当且仅当 a ? 2b ? 3c 即 a ? 2, b ? 1, c ?

? abc ?

4 3

4 2 时等号成立。所以 abc 的最大值为 3 3

(2)由柯西不等式得: a ?1 ? 2b ?1 ? 3c ?1 ? (a ?1 ? 2b ?1 ? 3c ?1)(1 ?1 ?1) ? 3 3 当且仅当 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 即 a ? 2, b ? 1, c ?

2 时等号成立 3

所以 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值为 3 3 。



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