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2014高考数学知识考点精析



2012 高考数学知识考点精析(27 讲 77 页) 第一讲 集合的性质及其运算
1、研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如:

{x | y ? lg x} = {x / x ? 0} , { y | y ? lg x}= { y / y ? R} , {( x, y) | y ? lg x} 各不相同。
元素与集合的关系用“∈或?” ,集合与集合的关系用“?,?,?,?,?” 2、任何一个集合是它本身的一个子集,即 A ? A。规定空集是任何集合的子集,即 ? ? A, ? ? ? 。如果 A ? B, B ? A, A=B。 且 则 如果 A ? B 且 B 中至少有一个元素不在 A 中, A 叫 B 的真子集, 则 记作 A?B。 空集是任何非空集合的真子集。 3、含 n 个元素的集合 A 的子集有 2 个,非空子集有 2 -1 个,非空真子集有 2 -2 个。 集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,则从 A 到 B 的映射有 n 个。 4、重要性质: (1)A∪A=A,A∩A=A,A∩?=?,A∪?=A, A∩ CU A =?,A∪ CU A =U (2)A∩B ? A,A∩B ? B,A ? A∪B,B ? A∪B, (3) CU (A∩B)=( CU A)∪( CU B) , CU (A∪B)=( CU A)∩( CU B) (4)A∩B=A ? A ? B,A∪B=A ? B ? A 第二讲映射与函数概念、函数的定义域和图象 一、映射、函数的有关概念: 1、映射的定义:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作:f:A→B, 2、像与原像:如果给定一个集合 A 到集合 B 的映射,那么,和集合 A 中的 a 对应的集合 B 中的 b 叫做 a 的像,a 叫做 b 的原像。 3、映射 f:A→B 的特征: (1)存在性:集合 A 中任一元素在集合 B 中都有像, (2)惟一性:集合 A 中的 任一元素在集合 B 中的像只有一个, 方向性: A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射一般是不一样的 (3) 从 (4) 集合 B 中的元素在集合 A 中不一定有原象,若集合 B 中元素在集合 A 中有原像,原像不一定惟一。 4、函数: (1)定义(传统) :如果在某变化过程中有两个变量 x,y 并且对于 x 在某个范围内的每一个确定 的值,按照某个对应法则,y 都有唯一确定的值和它对应,那么 y 就是 x 的函数,x 叫做自变量,x 的取值 范围叫做函数的定义域,和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)函数的 集合定义:设 A,B 都是非空的数的集合,f:x→y 是从 A 到 B 的映射,那么,从 A 到 B 的 f:A→B,叫做 A 到 B 的函数,y=f(x),其中 x∈A,y∈B,原像集合 A 叫做函数 f(x)的定义域,像集合 C 叫做函数 f(x)的值 域。像集合 C ? B 5、构成函数的三要素:定义域,值域,对应法则。值域可由定义域唯一确定,因此当两个函数的定义域 和对应法则相同时,值域一定相同,它们可以视为同一函数。 二、求函数定义域的方法 1、求函数定义域的常用方法有: (1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零等。 (2) 根据实际问题的要求确定自变量的范围。 (3) 根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。 (4) 复合函数的定义域:如果 y 是 u 的函数,而 u 是 x 的函数,即 y=f(u),u=g(x),那么 y=f[g(x)]叫做函数 f
m

n

n

n

与 g 的复合函数,u 叫做中间变量,设 f(x)的定义域是 x∈M,g(x) 的定义域是 x∈N,求 y=f[g(x)]的定义 域时,则只需求满足 ?

? g ( x) ? M 的 x 的集合。设 y=f[g(x)]的定义域为 P,则 P ? N。 ?x ? N
第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数 一、函数的单调性:

1、定义:对于给定区间 D 上的函数 f(x),若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D,当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 ) <f(x 2 ),则称 f(x) 是区间上的增函数,当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 )> f(x 2 ),则称 f(x)是区间上的减函数。如果函数 y= f(x)在区间 上是增函数或减函数,就说函数 y= f(x)在区间 D 上具有(严格的)单调性,区间 D 称为函数 f(x)的单调区 间。

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 增 ? 减? x1 ? x2

任意 x 1 ,x 2 ∈D

2、函数单调性的证明方法:通常根据定义,其步骤是:1)任取 x 1 ,x 2 ∈D,且 x 1 <x 2 - f(x 2 )或作商

2)作差 f(x 1 )

f ?x2 ? f ?x2 ? (4)判定 f(x 1 )- f(x 2 )的符号,或比较 与 1 的大小, ? f ?x1 ? ? 0? ,并变形, f ?x1 ? f ?x1 ?
(注:逆命 ? x? ? 0 ? f ? x? 在D上递增,f / ? x ? ? 0 ? f ? x ? 在D上递减。

4)根据定义作出结论。 有时也根据导数。 x ? D, f
/

题不成立) 3、常见函数的单调性: (1) 一次函数 y=kx+b(k≠0) 1)当 k>0 时,f(x)在 R 上是增函数。2)当 k<0 时,f(x)在 R 上是减函 数。

b )上是减函 2a b b 数,在[- ,+∞)上是增函数,2) 当 a<0 时,函数 f(x)的图象开口向下,在(-∞,- )上是增 2a 2a b 函数,在[- ,+∞)是减函数。 2a k (3) 反比例函数 y= ?k ? 0 ? 1) 当 k>0 时,f(x)在(-∞,0)与(0,+∞)上都是减函数,2) 当 k<0 x
(2) 二次函数 y=ax +bx+c
2

1)当 a>o 时,函数 f(x)的图象开口向上,在(-∞,-

时,f(x)在(-∞,0)与(0,+∞)上都是增函数但要注意在(-∞,0)∪(0,+∞)上 f(x)没有单调性。 (4) 对钩函数: y ? ax ?

? ? b b? ? b ? a ? 0, b ? 0 ? ,增区间为 ? ??, ? ? , ? , ?? ? , ? ? x a? ? a ? ?

减区间为 ? ?

? ?

b ? ? b? , 0 ? , ? 0, ? 图象如右: ? ? a ? ? a?

可采用导数法判断。

(5) 指数函数y ? a x , a ??? 单调递增,0 ? a ?? 时,单调递减 (6) 对数函数y ? loga x, a ? 1 时单调递增,0 ? a ??时单调递减。 (7)三角函数:

? 3? ? ? ? ?? ? y=sinx的增区间是 ?- ? 2k? , ? 2k? ? ,减区间是 ? ? 2k? , ? 2 k? ? k ? Z 2 2 ? 2 ? ?2 ? y=cosx的增区间是 ? -? ? 2k? , 2k? ?的减区间是 ? 2k? , ? ? 2k? ? , k ? Z ? ? ? ? y=tanx的增区间是 ? - ? k? , ? k? ? ,cotx的减区间是 ? k? , ? ? k? ? 2 ? 2 ?
二、函数的奇偶性与周期性: 1、函数的奇偶性定义:对于函数 f(x)的定义域内的每一个值 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么称 f(x)为 偶函数,如果对每一个值 x 都有 f(-x)=-f(x) ,则称 f(x)为奇函数。 2、奇、偶函数的性质: (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (2)奇函数在关 于原点的对称区间上的单调性相同,偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。 (3)若奇函数有对称轴 x=a,则它有周期 T=4a,偶函数有对称轴 x=a,则它有周期 T=2a, (4)若奇函数在 x=0 处有定义则 f(0)=0 3、函数的奇、偶性类型: (1)奇函数:如 ?1? y ? kx, ? 2 ? y ?
2

k , ? 3? y ? x 2 n ?1 ? n ? N ?? 4 ? y ? sin x, ? 5 ? y ? tan x, x
2n

(2)偶函数:如 ?1? y ? x ? c, ? 2? y ? x , ?3? y ? cos x, ? 4? y ? x sin x, ?5? y ? x

?n ? z ?
??
? 3? ?

(3)非奇非偶函数:如

?1? y ? kx ? c ? kc ? 0 ?? 2 ? y ? ax 2 ? bx ? ab ? 0 ?? 3? y ? sin ? x ? ? ? 4? y ?
x ? 1 , ? 5 ? y ? a x , ? a ? 0, a ? 1?

(4)既是奇函数又是偶函数:仅有一类:在定义域关于原点的对称区间上恒有 f(x)=0. 4、定义:对于函数 f(x)的定义域内的每个值 x 都有 f(x+T)=f(x) (T?0),则称 f(x)为周期函数,T 为它的一个周期。若 T 为 f(x)的周期,则 kT 也是 f(x)的周期,k 为任一非 0 整数。 5、若 f (x) 满足 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,那么 f (x) 是周期函数,一个周期是 T=| a ? b |; 三、反函数: 1、 定义: 设式子 y=f(x)表示 y 是 x 的函数, 定义域为 A, 值域为 C, 从式子 y=f(x)中解出 x, 得到式子 x= ? (y), 如果对于 y 在 C 中的任何一个值, 通过式子 x= ? (y), 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, x 那么式子 x= ? (y) 就表示 y 是 x 的函数,这样的函数,叫做 y=f(x)的反函数,记作 x=f x=f
?1 ?1

(y),即 x= ? (y)=f

?1

(y),一般对调

(y)中的字母 x,y,把它改写成 y =f

?1

(x)
?1

2、求反函数的步骤是: (1)将 y=f(x)看成方程,解出 x=f

(y)(2)将 x,y 互换得 y =f

?1

(x)

(3)写出反函数的定义域, (可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定) (4)分段函数的反函数可以 分别求出各段函数的反函数再合成。

3、反函数的一些性质: (1)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,称为互调性, (2)定 义域上的单调函数必有反函数,且单调性相同(即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同) ,对 连续函数而言,只有单调函数才有反函数,但非连续的非单调函数也可能有反函数, (3)函数 y=f(x)的图 象与其反函数 y =f
?1

(x)的图象关于直线 y=x 对称, (4)函数 y=f(x)的图象与其反函数 y =f

?1

(x)的图象的

交点,当它们是递增时,交点在直线 y=x 上。当它们递减时,交点可以不在直线 y=x 上,

?1? ?1 1? 如 y ? ? ? 与y ? log 1 x互为反函数且有一个交点是 ? , ?,它不在直线y=x上 ? 16 ? ?2 4? 16
第四讲:函数图象的对称性与变换 一、 两个函数的图象的对称性: 1、y=f(x)与 y=-f(x)关于 x 轴对称。 2、y=f(x)与 y=f(-x)关于 y 轴对称。 3、 y=f(x)与 y=-f(-x)关于原点对称。 4、y=f(x)与 y=f
?1

x

(x)关于直线 y=x 对称,(或 y=f(x)与 x=f(y)关于直线 y=x 对称) 。

5、y=f(x)与 y=f(2a-x) {注:y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于直线 x=0 对称}关于直线 x=a 对称。 6、y=f(x)与 y=-f(2a-x)+2b 关于点(a,b)对称. 二、 一个函数的图象的对称性: 1、关于直线 x=a 对称时,f(x)=f(2a-x)或 f(a-x)=f(a+x),特例:a=0 时,关于 y 轴对称,此时 f (x)=f(-x)为偶函数。 2、y=f(x)关于(a,b)对称时,f(x)=2b-f(2a-x) ,特别 a=b=0 时, f(x)=-f(-x) ,即 f(x)关 于原点对称,f(x)为奇函数。 3、y=f(x)关于直线 y=x+b 对称时,由上面知 y=f(x)关于直线 y=x+b 对称的函数的解析式是 y=f (x+b) +b。它与 y=f(x)应是同一函数,所以:f(x)=f
?1 ?1

(x+b)+b。特别当 b=0 时,f(x)=f

?1

(x) ,即

一个函数关于直线 y=x 对称时,它的反函数就是它本身。 4、类似 4 有 y=f(x)关于直线 y=-x+b 对称时, f(x)=b-f (b-x) 。特别当 b=0 时,f(x)=-f (-x), f(x)关于直线 y=-x 对称. 5、若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的图像关于直线 x ? 三:图象平移与伸缩变换、翻折变换。 1、平移变换(向量平移法则) :y=f(x)按 a =(h,k)平移得 y=f(x-h)+k,即 F(x,y)=0 按 a =(h,k) 平移得 F(x-h,y-k)=0,当 m>0 时,向右平移,m<0 时,向左平移。当 n>0 时,向上平移,n<0 时向下平移。 对于“从 y=f(x)到 y=f(x-h)+k”是“左加右减,上加下减” ,对于平移向量“ a =(h,k) ”是“左负 右正,上正下负” 。 2、伸缩变换:将 y=f(x)的横坐标变为原来的 a 倍,纵坐标变为原来的 m 倍,得到 y ? mf ?
?1 ?1

a?b 对称, 2

? x? ? ?a?

? x / ? ax ? x/ ? ? y / ? mf ? ? 即 y ? f ? x? ? / ? y ? my ? ?a? ? ???????????????
3、翻折变换: (1)由 y=f(x)得到 y=|f(x)|,就是把 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴对 称的图象,即把 x 轴下方的部分翻到 x 轴上方,而原来 x 轴上方的部分不变。 (2) 由 y=f(x)得到 y=f(|x|) ,就是把 y=f(x)的图象在 y 轴右边的部分作关于 y 轴对称的图象,即把 y 轴右边的部分翻到 y 轴的左边,而原来 y 轴左边的部分去掉,右边的部分不变。 第五讲 指数函数、对数函数与幂函数 一、指数: 1、n 次方根的定义:如果一个数的 n 次方 a(n>1,n∈N )那么这个数叫做 a 的 n 次方根,即 x =a,则 x 叫做 a 的 n 次方根(n>1,n∈N )。 2、n 次方根的性质: (1)0 的 n 次方根是 0。即 n 0 =0(n>1,n∈N ), (2) (n a) n =a(n∈N ) (3)当 n 为奇数时, n an =a, 当 n 为偶数时, 3、分数指数幂的定义: (1) a (2) a
? m n
? ? ? ? n

n

an =|a|

m n

? n a m a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1
?

?

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

?a ? 0, m, n ? N

(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有 ,n ?1 ,

?

意义。 二、指数函数: 1、定义:形如 y=a (a>0,且 a≠1)的函数叫做指数函数。 2、指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象和性质: a>1 图象 0<a<1
x x

性质

(1) 定义域:R (3)

值域: (0,+∞)

(2) 都过点 (0,1) (1,a)

?? 1? x ? 0 ? ? a ?? 1? x ? 0 ? ?? 1? x ? 0 ? ?
x

?? 1? x ? 0 ? ? a ?? 1? x ? 0 ? ?? 1? x ? 0 ? ?
x

(4) 在 R 上是增函数 三、对数

在 R 上是减函数

1、 对数的定义: 如果 an ? b ? a ? 0, a ? 1? , 那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记做 loga N ? b ? a ? 0, a ? 1? , 由定义知负数和 0 没有对数。通常以 10 为底的对数叫做常用对数,记做 lg N ? log10 N 。以无理数 e= 2.71828?为底的对数叫做自然对数。记做 ln N ? loge N 。 2、对数的运算性质:

M ? log a M ? log a N . N n ? 3? log a M n ? n ? log a M , ? 4 ? log am b n ? log a b, ? M , N , a, b, n, m ? 0, a ? 1? m

?1? log a MN ? log a M ? log a N , ? 2 ? log a

3、对数的恒等式:

?1? log a 1 ? 0, ? 2 ? log a a ? 1, ? 3? a log ? 5? log a N ?

a

N

? N , ? 4 ? a logb N ? N logb a

log b N 1 , log a b ? , log a b ? log b c ? log a c, ? a, b, c, N ? 0, a, b ? 1? log b a log b a

四、对数函数: 1、定义:形如 y=log a x (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 2、对数函数的图象与性质: a>1 图 象 1 1 0<a<1

性 质

(1) (2) (3)

定义域: (0,+∞) ,值域为 R 过点(1,0)与(a,1)

?? 0? x ? 1? ? log a x ?? 0? x ? 1? ?? 0? x ? 1? ?
在(0,+∞)上是增函数
x

?? 0? x ? 1? ? log a x ?? 0? x ? 1? ?? 0? x ? 1? ?
在(0,+∞)上是减函数 (a>0,a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互

(4)

3、对数函数 y=log a x (a>0,a≠1)与指数函数 y=a

换,它们的对应法则是互逆的,其图象关于 y=x 对称。 4、对数有关的大小比较: (1)类似指数函数分为四类: 1)同底且大于 1,真数大的对数大。2)同底且 小于 1,真数大的对数小。 3)同真数且大于 1,在 x 轴同侧时,底大图低, (这一点与指数函数相反)4) 同真数且小于 1,在 x 轴同侧时,底大图高。 (2)基本思路:1)利用函数的单调性,2)作差或作商法,3) 利用中间量。4)化同底或化同指数。5)放缩法。 五、幂函数 1、幂函数的定义

形如:y ? x? ?? ? R,?为常数?的函数叫幂函数。
2、幂函数的图象与性质

(1)图象过点(1,1), (2)当? 为奇数时,是奇函数,当? 为偶数时,是偶函数, (4) ? 3?图象不经过第四象限。 掌握8类常见的幂函数的图象:y=x 0 , y=x y=x 3 , y=x 2 , y=x 3 , y=x ?1 , y=x ?2 ,
1 2

, y=x 2 ,

第六讲函数与方程、零点与二分法 1、

方程f ? x ? ? 0的解称为函数f ? x ?的零点。注意: 两个相同的根只能算一个零点, (1) (2)零点的表示方法不能用有序实数对 ? x, 0 ? . f ? x ? 在 ? a, b ? 上连续(即图象不间断),且f ? a ? f ? b ? ? 0,则f ? x ? 在 ? a, b ? 上至少有一个零点, 可能有无数个零点。f ? a ? f ? b ? ? 0,f ? x ? 在 ? a, b ? 上可能无零点也可能有无数个零点。

2、

3、 用二分法求零点只适用于零点左右附近的函数值异号的情况。 第七讲空间几何体 1、 棱柱、圆柱,棱锥、圆锥,棱台、圆台,球的概念与分类及性质。它们的表面积与体积的计算。 棱柱:(1)棱柱的概念:如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样 的多面体叫做棱柱。 (2)、棱柱的分类:1)按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜 棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,2)按底面边数的多少分类: 底面分别为三角形,四边形,五边形、、、 、、、分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,、 、、3)底面是平行四边形 的四棱柱叫平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。底面为矩形的直平行六面体叫长 方体,各棱长相等的长方体叫正方体。注正四棱柱一定是长方体,但长方体不一定是正四棱柱,直平行六 面体一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面体。 (3)、棱柱的性质:1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形, 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2)与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。3)过 棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4)棱柱的侧面积=直截面(垂直于侧棱的截面)的周长×侧 棱长,棱柱的体积=底面积×高。 (4)、平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的性质:1)平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分,2) 平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。 AC1 =AC1 = AB+AD+AA1

???? ???? 2 ? ?

?

??? ???? ???? ? ?

? ,3)长方体的一
2

条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。4)若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端 的三个相邻面所成的角分别为 ? , ? , ? ,则 Sin 点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? ,则 Sin
2 2

? +sin 2 ? +sin 2 ? =1,5)长方体的体对角线与共顶

? +sin 2 ? +sin 2 ? =2,6)长方体的对角线等于它的外

接球的直径。7)正方体的内切球的直径等于正方形的边长。和正方体各棱切的球的直径等于正方形的面 对角线。8){平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}; ? ? ? ? 圆柱:一个矩形绕着一边旋转一周所得的几何体。 棱锥:(1)棱锥的概念:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各个面是有一个公共顶点的三角形,那 么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面 叫棱锥的对角面。 (2)、锥的分类:按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥? (3)、棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积 的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。经过棱锥的高的中点且平行于底面的截面叫中截面,中截面 的面积是底面面积的 1/4。 (4)、正棱锥的概念与性质:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的 棱锥叫正棱锥。性质:1)正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的 高(叫侧高)也相等。2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径 R、底面 的半边长可组成四个直角三角形。

(5)、棱锥的体积公式:V=

1 Sh (S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高) 3

提醒:全面积(也称表面积)是各个表面面积之和,故棱柱的全面积=侧面积+2×底面积;棱锥的 全面积=侧面积+底面积。 圆锥:一个直角三角形绕着一边旋转一周所得的几何体。它的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长是底面 圆的周长。扇形的半径等于母线长。 棱台:一个棱锥被平行于底面的平面所截,夹在底面与截面间的几何体叫棱台。 圆台:一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所得的几何体。

S=? ? r1 ? r2 ? l母线,V=

1 1 S上 + S上 S下 +S下 h ? ? ? r12 ? r1r2 ? r22 ? h 3 3

?

?

球:(1)、球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体,简称球。定点叫做球心。定长叫 做球的半径。球面:与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。 (2)、球的截面:用一个平面去截球,截面是圆面。球心和截面圆的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 之 间的关系:r= R 2 ? d 2 。

大圆:球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆:球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。经 过球面上两点的大圆,当这两点与球心不共线时,有且只有一个。当这两点与球心共线时有无数个。 (3)球面距离:球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,叫做这两点的球面距离。它等于球心 角×半径。 (4)球的体积和表面积公式:V= ?R , S ? 4?R
3

4 3

2

(5)正四面体的边长为 a,则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为

6 6 2 ? 6 2 3? a, a, a, ? 正四面体的高为 a, 体积为 a ?, 4 12 4 ? 3 12 ? ? ?
正方体的边长为 a,则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为

? 3 1 2 ? 2 a, a, a, ? 各面的中心为顶点的八面体的边长为 a, 对角线为a ? ? ? 2 2 2 ? 2 ?
D1
A

O3 B1 O6

C1

A1
F O B G C E D

D1

C1 B1

O4 O5 D O1 A B

O2 C

A1

D A B

C

2、三视图与直观图的画法。 1) 、直观图的画法(斜二侧画法规则) :已知图形中平行于横轴和竖轴的线段,在直观图中保持长度不变, 平行于纵轴的线段,在直观图中其长度为原来的一半。原来平行的线段仍然平行,原来相交的线段仍然相 交,但角度可能发生变化。把直观图还原成原来水平放置的图形时,应先把与横轴成 45 的线段还原成与 横轴成直角的线段。 2) 、三视图的画法:正视图(从前向后看) 、俯视图(从上往下看) 、侧视图(从左往右看,也叫左视图) 。 第八讲 点、直线、平面的位置关系。 1、确定平面的 4 个公理或定理,(1)不共线的 3 点确定一个平面,(2)两条相交直线确定一个平面,(3)两条 平行直线确定一个平面,(4)一条直线和直线外一点确定一个平面。 确定直线在平面内的定理:如果直线上有两个点在平面内,则直线在平面内。 两个平面的公共点的个数定理:如果两个平面有一个公共点,则必有无数个公共点,且这些公共点的个数 在同一条直线上。此定理常用来判断空间三线共点。 2、点、线、面的位置关系的表示方法。 3、平行公理:平行于同一直线的两直线互相平行,它反应了平行线的传递性。注意:相交线和异面直线 没有传递性。 4、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。当一边 平行且方向相同而另一边的方向相反时,这两个角互补。可推广到空间:如果一个二面角的两个半平面和 另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同,那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方向相
0

同而另一个半平面的方向相反时,这两个二面角互补。 但注意:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补。不可推广到空间:如 果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直,那么这两个二面角相等或互补。

5、空间直线的位置关系: (1)相交直线:有且只有一个公共点。 (2)平行直线:在同一平面内,没有公 共点。 (3)异面直线:不在任何一个平面内,也没有公共点。两条异面直线的作图,常借助于辅助平面。 异面直线的判定:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。 异面直线所成的角(或夹角)的定义与求法:直线 a,b 是异面直线,经过空间一点 O,分别引直线 aˊ// a , b'//b,相交直线 a' ,b'所成的锐角(直角)叫异面直线 a,b 所成的角 ? ∈ ? 0,

? ?

??
2? ?

,求异面直线

的夹角常用平移法和向量法。 6、异面直线的距离: (1)和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线 的公垂线有且只有一条。 而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。 (2) 求异面直线的距离的常用方法有: 1)直接找公垂线段而求之。2)转化为求直线到平面的距离,即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。 3)利用向量法:常利用端点在两条异面直线上的有向线段在公垂线的方向向量上的投影。如图:
C n A l1

?

B D l2

??? ? ? CD ? n AB 为公垂线段, AB ? ? n

异面直线上两点的距离公式:已知两条异面直线 a,b 所成的角为 ? ,在 a,b 上分别取点 E,F,已知 AB 为 公垂线段,长度为 d,BE=m,AF=n,EF=l 则 l= d ? m ? n ? 2mnCos? (同侧为减,异侧为加)
2 2 2

7、(1)直线与平面的位置关系:1)直线在平面内, 2)直线与平面相交, 3)直线与平面平行, 其中直 线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。 (2)直线与平面平行的判定:如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个平面平行。简 称为“线线平行,则线面平行。 ” 判定直线与平面平行的方法还有:1) 面???面?,a ? ? ? a??? , 2) b ? ? , a ? b, a ? ? ? a??? 直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交, 交线和这条直线平行,简称为“线面平行,则线线平行” 。 (3) 直线与平面垂直的概念:如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂 直。公理:过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 直线和平面垂直的判定:1)一个平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。2)两条平 行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。

直线和平面垂直的性质定理: (1)如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都 垂直。 (2)如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 8、(1)平面与平面的位置关系:1)平行__没有公共点,2)相交__有且只有一条公共直线。两个平面 的公共点都在同一条直线上。 (2)两个平面平行的判定:1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。简称 为 “线面平行, 则面面平行” 2)推论: , 如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行, 那么这两个平面平行。3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 两个平面平行的性质定理:1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 2)两个平行平面之间的距离处处相等,夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。 3)如果两个平面平行,那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。 (3) 两个平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 两个平面垂直的性质定理:1)如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。2)如果两个平面垂直,那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。 9、三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这 条斜线在平面内的射影垂直。 10、直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成 的角。特别当一条直线和平面垂直时,就说直线与平面所成的角是直角,当一条直线在平面内或和这个平 面平行时,我们规定直线和平面所成的角为 0°,所以直线和平面所成的角的范围是 ? 0, 利用法向量可处理线面角问题 设 ? 为直线 l 与平面 ? 所成的角,? 为直线 l 的方向向量 v 与平面 ? 的法向量 n 之间的夹角, 则有

? ?? ? 2? ?

??

?
2

? ? (图 1)或 ? ?

?
2

? ? (图 2)
图2
v

图1

n v

ω θ α l

α

θ ω l
n

11、最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角 中最小的角。设 AB 是平面a的一条斜线,A 为斜足,直线 m 是平面a内任一直线,AB′是 AB 在平面a内

? ? 的射影。 为 AB 和 m 所成的角, 1 为 AB 和射影所成的角, 2 射影 AB′和 m 所成的角, cos ? =cos ? 1 cos ? 2 则 ?
重要应用:空间两条异面直线 L1 与 L2 所成的角为 ? ≠ 都是 ? ,这样的直线 L 可作多少条?

? ,过空间一定点 P 作直线 L 与 L1,L2 所成的角 2
B

A m

B'

分析: (1)若 ? ∈(0, ? /2) ,则这样的直线 L 有 0 条 (2)若 ? = ? /2,则这样的直线有 1 条 (3)若 ? ∈( ? /2, (4)若 ? =

? ??
2

) ,则这样的直线 L 有 2 条

? ??
2

,则这样的直线 L 有 3 条 ,

(5)若 ? ∈(

? ??

2 ? (6)若 ? = ,则这样的直线 L 有 1 条 2

? ) ,则这样的直线 L 有 4 条 2

12、二面角:平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面, 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面,棱为 l,两个面分别为 ? , ? 的二面角记为 ? -l- ? , 一个平面垂直于二面角 ? -l- ? 的棱,且与两个半平面的交线分别是射线 OA,OB,O 为垂足,则∠AOB 叫 做二面角 ? -l- ? ,的平面角。 一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。 二面角大小的取值范围是[0,180°] 计算二面角的方法: (1)定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引 垂线,再由垂足向棱作垂线, ,再解直角三角形)。 (2)射影面积法, (3)有平面角向量法(常用基向量法), (4)法向量法(常用坐标法): ? 或?-? 利用法向量可处理二面角问题 设 n1 , n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,向量

n1 , n2 的夹角为 ? ,则有 ? ? ? ? ? (图 3)或 ? ? ? (图 4)

n

n

ω n
α

ω

α θ l β
l

θ β
n

图3

图4

第九讲 直线与方程 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l,如果把 x 轴绕着交点按

逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。当直线 l 与 x 轴重合 或平行时,规定倾斜角为 0。 (2)直线的倾斜角的范围 ?0, ? ? 。 (3)在直线的倾斜角的定义中抓住三个重要 条件:“逆时针旋转、与直线 l 重合、最小正角”。 2、直线的斜率: (1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。直线的斜率 常用 k 表示, k=tan ? ( ? ≠90°). 即 (2) 倾斜角为 90°的直线没有斜率。 (3)经过两点 P 1 (x 1 , x 2 ),P 2 (y 1 ,y 2 )的直线的斜率公式为 k ?

y1 ? y 2 ?x1 ? x2 ? x1 ? x2

3、直线方程的五种形式: (1)点斜式:已知直线过点(x ? ,y ? )斜率为 k,则直线方程为:y-y ? =k(x-x ? ), 它不包括垂直于 x 轴的直线。 (2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k,则直线方程为:y=kx+b, 它不包括垂直于 x 轴的直线。 (3)两点式:已知直线经过(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )两点,则直线方程为:

y ? y1 x ? x1 ,它不包括垂直于坐标轴(包括 x,y 轴)的直线。 (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y ? y 2 ? y1 x2 ? x1
轴上的截距为 a,b,则直线方程为:

x y ? ? 1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 a b

(5)一般式:任何直线均可写成:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)的形式。 在求直线方程时,要注意斜率是否存在,利用截距式时,不能忽视截距为 0 的情形,同时要区分“截距”和 “距离”“截距”不是距离,可正可负可为 0。 。 4、点与直线的位置关系: (1)若点 P(x ? ,y ? )在直线上,则 Ax ? +By ? +C=0.(2) 若点 P(x ? ,y ? )不在直 线上,则 Ax ? +By ? +C≠0,此时点 P(x ? ,y ? )直线的距离 d=

Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2



(3)由此可得,两平行线 l 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0,l 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0,间的距离为 d=

C1 ? C 2 A2 ? B 2

5、直线与直线的位置关系: (1)斜率存在的两直线:l 1 : y=k 1 x+b 1 , l 2 :y=k 2 x+b 2 ,有若 l 1 ∥l 2 ? k 1 = k 2 , b 1 ≠b 2 ,若 l 1 ⊥l 2 ,? k 1 k 2 =-1, l 1 与 l 2 相交 ? k 1 ≠k 2 , l 1 与 l 2 重合 ? k 1 =k 2 , 且 若 若 b 1 =b 2 。 一般的两直线: 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0,l 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0, (2) l 有若 l 1 ∥l 2 ? A 1 B 2 - A 2 B 1 =0, 1 C 2 -B B
2

C 1 ≠0, (或 A 1 C 2 -A 2 C 1 ≠0),若 l 1 ⊥l 2 ,? A 1 A 2 +B 1 B 2 =0,若 l 1 与 l 2 相交 ?

A 1 B 2 - A 2 B 1 ≠0, l 1 与 l 2 重合 ? A 1 B 2 - A 2 B 1 =0, B 1 C 2 -B 2 C 1 =0,且 A 1 C 2 -A 2 C 1 若 且 =0

? 6、 到角和夹角公式:1)1 到 l 2 : ( l 指直线 l 1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l 2 重合所转的角 ? , ? ?0, ? ?

且 tan ? =

k 2 ? k1 k ? k1 ? ?? ( k 1 k 2 ≠-1).(2)l 1 与 l 2 的夹角 ? ,? ? ? 0, ? 且 tan ? =︱ 2 ︱( k 1 k 2 ≠-1)。 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2 ? 2?

7、直线方程的参数形式:

? x ? x0 ? t cos ? 过点P ? x0 , y0 ? 且倾斜角为?的直线的参数方程是 ? , ? y ? y0 ? t sin ? t 表示点Q ? x, y ? 与点P ? x0 , y0 ?间的距离,即 t = PQ 。 ? x ? x0 ? at 过点P ? x0 , y0 ?的直线的参数方程是 ? ? a, b为常数,t为参数? , ? y ? y0 ? bt t 表示点Q ? x, y ? 与点P ? x0 , y0 ?间的距离的 a 2 ? b 2 倍,即 t = a 2 ? b 2 PQ 。
直线的参数方程常用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交的问题。 8、直线的极坐标方程。

?1? 过极点且倾斜角为?0的直线方程:? =?0, ? 2 ? 过点? a, 0 ? 且垂直于极轴的直线方程:? cos ? ? a, ? 3? 过点? b, ?
? 且平行于极轴的直线方程:? sin ? ? b, ? 2? ? 4 ? 过点? ?0,?0 ? 且与极轴成? 角的直线方程:? sin ?? ? ? ? ? ?0 sin ?? ? ?0 ?
第十讲 圆与方程
2 1、圆的方程的四种形式: (1)圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心是 ? a, b ? , 半径是r ,特别当 2 2

??

圆 心 是 ( 0,0 ) , 半 径 为

r

时 , x ? y?
2 2

2 r, ( 2 ) 圆 的 一 般 方 程 :

E? ? D x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0, ?1?当D2+E 2-4F ? 0时,表示圆心在 ?- ,- ? 2? ? 2
半径为 1 E? ? D D 2 ? E 2 ? 4 F的圆。2 ? 当D 2 ? E 2 ? 4 F=0时,表示点 ?- ,- ? ? 2 2? ? 2

? 3?当D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0时,不表示任何图形。
(3)圆的参数方程:圆心在(a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是 ?

? x ? a ? r cos ? ??为参数? ? y ? b ? r sin ?

特别当圆心是原点时, ? (4)

? x ? r cos ? ??为参数,r为半径? ? y ? r sin ?

以A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆的方程是: ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 ?x
2、

圆的切线方程:过圆x 2 ? y 2 ? r 2上一点M ? x0 , y0 ?的切线方程是x0x+y0y=r2, 过圆? x-a ? + ? y-b ? =r2上一点M ? x0 , y0 ?的切线方程是 ? x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b ?? y ? b ? ? r 2 ,
2 2

从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件来求。过两切点的直线方程的求 法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。 3、

1 圆的弦长问题常用弦心距d,弦长的一半 a及圆的半径r所构成的直角三角形来解: 2 ?1 ? r ? d ?? a? , ?2 ?
2 2 2

有时也用一般的弦长公式: ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 AB
4、

? 1 ? 1 ? 2 y1 ? y2 a k

圆与圆的位置关系:已知两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1 , r2

?1?当O1O2 ? r1 ? r2时,两圆外离,2?当O1O2=r1 ? r2时,两圆外切, ?

?3?当r1-r2 ? O1O2 ? r1 ? r2时,两圆相交,4 ?当O1O2=r1-r2时,两圆内切 ? ?5?当0 ? O1O2 ? r1-r2时,两圆内含。
公切线的条数分别为4, , 3,2 1。
5、

圆的公切线方程与公共弦所在的直线方程: 圆C1:x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0,圆C2:x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 它们的内公切线方程或公共弦所在的直线方程为:

? D1-D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? F1 ? F2 ? 0
第十一讲算法初步 1、 算法的概念:在数学中,算法通常是指按照一定规则解决“某一类”问题的“明确”和“有限”的步 骤。它有下面的特点:通用性(适用于某一类问题的所有个体,而不是只用来解决一个具体问题),可行 性(算法应有明确的步骤一步一步地引导计算机进行并且能够得到最终结果),明确性(算法的每一个步 骤必须明确___或者由规则直接确定,或者由上一步的结果确定),有限性(算法应由有限步组成)。 2、 程序框图又称“流程图” ,是一种用程序框、流程线、及文字说明来表示算法的图形。基本的程序框有: 终端框(起止框),输入、输出框,处理框(执行框),判断框,其中起止框是任何程序框图中不可缺少的。 3、 算法的三种基本的逻辑结构。任何算法都是由顺序结构、条件结构、循环结构三种基本的逻辑结构组 成。顺序结构是由若干个依次执行的步骤所组成,是任何一个算法都离不开的基本结构。一个算法中, 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这各过程的结构。一些算法中经常会 出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情形,这就是循环结构,反复执行的步骤称为 循环体。循环结构分为当型循环结构(满足条件循环)和直到型循环结构(不满足条件循环)。循环结构中 一定包含条件结构。 4、 任何一种程序都包含五种基本的算法语句,它们是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环 语句。输入语句的一般格式是 INPUT“提示内容” ,变量。其作用是实现算法的输入信息功能,输出 语句的一般格式是:PRINT“提示内容” ,表达式。其作用是实现算法的输出结果功能。赋值语句的一 般格式是:变量=表达式,其作用是将表达式所代表的值赋给变量。 IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

5、条件语句的一般格式有两种:一种是:IF-THEN-ELSE 格式,其形式为 :,,,,,, ,, , , , , , 是::IF-THEN 格式,其形式为 :,,,,,, ,,,,,,, , IF 条件 THEN 语句体 END IF

,另一种

6、循环语句主要有两种类型:(1)当型(WHILE),(2)直到型(UNTIL)。 WHILE 语句的基本格式是: 当计算机遇到 WHILE 语句,先判断条件的真假,如果条件符合时,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环 WHILE 条件 体 , 若 条 件 不 符 合 , 计 算 机 不 再 执 行 循 环 体 , 直 接 跳 到 WEND 循环体 语句后执行其他语句,因此 WHILE 语句也称为前测试型循环语句。 WEND UNTIL 语句的基本格式是: 当计算机遇到 UNTIL 语句时,先执行一次循环体,然后对条件的真假进行判断 DO 当条件不符合时,就执行循环体,直到条件符合,计算机不再执行循环体,跳出 循环体 循 环 , 执 行 LOOP UNTIL 语 句 后 的 其 他 语 句 , 因 此 UNTIL LOOP UNTIL 条件 语句又称为后测试型循环语句。 7、辗转相除法是用于求两个数的最大公约数的一种方法,这种算法是由欧几里德在公元前 300 年左右首 先提出,因而又叫欧几里德算法。就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则 将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到余数为零,则这时较小的数就是原来两个数的 最大公约数。更相减损术是我国古代数学专著<<九章算法>>中介绍的一种求两数最大公约数的方法, 其基本过程是:对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大 数减去较小的数,继续这个操作直到差为零止,则这个数就是所求的最大公约数。 8、秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作<<数学九章>>中提出的一种用于计算一元 n 次 多项式的值的方法。此算法中乘法和加法的次数都是 n 次。

an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? ?? an x ? an?1 ? x ? an?2 ? x ? ? ? a0 ? ?

?

?

9、 “满 k 进一”就是 k 进制,k 进制的基数是 k。将 k 进制化为十进制的方法是:先把 k 进制数写成用各 位上的数字与 k 的幂的乘积的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果。将十进制数化为 k 进制数的方 法是:除 k 取余法。即用 k 连续去十进制所得的商,直到商为零止,然后把所得的余数倒着写出就是所得 的 k 进制。 第十二讲统计 1、 简单随机抽样:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N) ,如果 每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,这种抽样的方法就叫简单随机抽样。最常用的简 单随机抽样的方法有:抽签法与随机数表法。抽签法的优点是简单易行。但是当容量非常大时,费时 费力不方便,可能导致抽样的不公平。随机数表法是由 0,1,2,3,4,,5,6,7,8,9 这 10 个数字组成的 数表,并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相等。用随机数表法时先对总体内的各个个体编号, 再从数表中的某个数开始按一定顺序(可以向左、右、上、下)读数,取出适合的号码,直到取够样 本为止。优点节省人力、物力、财力和时间,缺点是所产生的样本不是真正的简单样本。 2、 按某顺序以一定的间隔进行抽取得到的样本叫系统抽样。将总体分成互不交叉的层,然后按一定比例 抽取一定数量的个体,将各层取出的个体放在一起作为样本,这种方法叫分层抽样。系统抽样的特点 是:总体容量大且个体之间无差异。分层抽样的特点是:总体容量大且个体之间差异大。 3、 列频率分布表、画频率分布直方图的步骤: (1)求极差(最大值与最小值之差)(2)决定组距与组数, , (3)将数据分组, (4)列频率分布表, (5)绘频率分布直方图。在频率分布直方图中,纵轴表示频率 /组距,横轴表示样本数据,各小长方形的面积表示相应各组的频率,各小长方形的面积的总和为 1。

直率分布直方图的重心就是样本平均数。 4、 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图,随着样本容量的增加,分组 组距的不断缩小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计学中称这条光滑曲线为总体 密度曲线。总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比。总体在某一区间内取值的百分比就 是该区间与该曲线所夹的曲边梯形的面积。总体密度曲线通常是用样本的频率分布估计出来的。这是 因为: (1)并非所有的总体都存在密度曲线,如一些离散型总体没有。 (2)尽管有些总体密度曲线是 客观存在的,但一般很难像函数图象那样被准确地画出来,只能用样本的频率分布来对它估计。样本 容量越大,这种估计越精确。 5、 茎叶图不仅能保留原始数据而且方便对数据的记录和表示。但如果数据较多,茎叶图就显得不方便。 茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数。 6、 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫 做这组数据的中位数。中位数可能会不是数据中的数。众数是指在一组数据中出现次数最多的数据, 可能不只一个。在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 7、 标准差、极差、方差都是描述数据的波动大小。前两者与数据的单位一致,方差与数据的单位不一致。 方差的计算公式是:
2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ? ? ? n? 2 2 1 1 2 2 2 2 (2)简化计算公式:s2 ? ? x12 ? x2 ? ? ? xn ? ? x ? ?? x12 ? x2 ? ? ? xn ? ? nx ? ? ? ? n n? 即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。

?1? 定义式:s2 ?

?

? ?

?

?

?

标准差是:s ? s2 ?
练习:

2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

?1? 若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,
则这M+N个数的平均数是___。 MX+NY M+N ? 2 ? 若数据x1 , x2 ,?, xn的平均数是 x, 方差是s 2 ,

则数据ax1 ? b, ax2 ? b,? , axn +b的平均数是_______.a x ? b, 方差是____。a 2 s 2 .
8、 相关关系:与函数关系(确定关系)不同,相关关系是一种不确定性关系。从散点图上看,如果散点 分布在从左下角到右上角的区域内,这两个变量的相关关系称为正相关,如果散点分布在从左上角到 右下角的区域内,这两个变量的相关关系称为负相关。如果这些点从整体上看大致分布在一条直线的 附近,则称这两个变量具有线性相关,这条直线叫回归直线。回归直线是:

? ? bx ? a, 其中b ? y

??
n i ?1

xi ? x
n i

??

yi ? y
2

? ? x y ? nx y
n

?? x ? x?
i ?1

?

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

, a ? y ? bx.

2

i

? nx

2

b是回归直线方程的斜率, a是截距回归直线总通过点 x, y 。 .

? ?

线性相关系数: r ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

?? x ? x? ?? y ? y?
n 2 n i ?1 i i ?1 i

2

? r ? 1? , r ? 0.75时认为有很强的线性相关。

第十三讲概率 1、 事件分为确定事件(包括必然事件与不可能事件)与随机事件。随机事件发生的可能性的大小用概率 来度量。在 n 次试验中,事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。

nA 称为事件 A 发生的频率。 n

随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数上,这个常数称为事件 A 发生的概率。频率是变化的与试 验次数有关,概率是不变的,与试验次数无关。频率是概率的近似值。 2、 从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准 则。这方法叫极大自然法。 3、 “事件 A 的发生或事件 B 发生”称为“事件 A 与 B 的并事件(或和事件),记作: A ? B或A ? B ” ” “ , “事件 A 的发生且事件 B 发生”称为“事件 A 与 B 的交事件(或积事件),记作: A ? B或AB ” ” “ 。 若 A ? B=? 即 A ? B 为不可能事件,称事件 A 与 B 互斥,即事件 A 与 B 在任何一次试验中不可能同时 发生。若 A ? B 为不可能事件且 A ? B 为必然事件,则称事件 A 与 B 互为对立事件。即事件 A 与 B 在任 何一次试验中有且只有一次发生。 3、 概率的几个性质:

?1? 任何事件的概率在0 ? 1之间,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1, 随机事件的概率为:? P ? A ? ? 1, 0 (2)概率的加法公式:事件A与B互斥时,P ? A ? B ?=P ? A ?+P ? B ? 事件A与B不互斥时,P ? A ? B ?=P ? A ?+P ? B ?-P ? A ? B ? 事件A与B互为对立事件时,P ? A ?= -P ? B ? 1 ? 3? 概率的乘法公式:事件A与B相互独立时,P ? AB ?=P ? A ? P ? B ?。
4、 关于古典概型:基本事件的特点是:任何两个基本事件是互斥的,任何事件(不可能事件除外)都可 以表示为基本事件的和。若试验中可能出现的基本事件只有有限种,且每个基本事件出现的可能性相

P 同, 具有这两个特征的概率模型称为古典概型。 对于古典概型: ? A ?=

A中包含的基本事件的个数 基本事件的总数

5、 几何概型:如果每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,称这样的 概 率 模 型 为 几 何 概 型 。 计 算 公 式 是 :

P ? A ?=

构成事件A的区域的长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域的长度(面积或体积)

6、 随机函数RANDBETWEEN ? a, b? 表示产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。

计算机(或计算器)产生0 ? 1上的均匀随机数,如何转化为? a, b? 上的均匀随机数。 a ? ? x ? ?0,1? , y ? ? b ? a ? ? x ? ? ? ? a, b? b?a? ?
用随机模拟计算阴影面积的方法与步骤:

(1)产生两组0 ? 1之间的均匀随机数a1 ? RAND, b1 ? RAND,

? 2 ? 经过平移和伸缩变换:a ? ? x2 ? x1 ? ? a1 ? ? 3? 数出适合阴影的随机个数N1,
则 ?

?

? x1 ? y1 ? ? , b ? ? y2 ? y1 ? ? b1 ? ?, x2 ? x1 ? y2 ? y1 ? ?

S阴 N1 4N = ? N表示每组随机数人个数?,如“?= N 1 ”。 N ? x2 ? x1 ?? y2 ? y1 ?

第十四讲三角函数的概念、诱导公式与二倍解公式 1、象限角与轴线角:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就 认为这个角不属于任何象限,称为轴线角。第一、二、三、四象限角分别可表示为:

?? 360 k ? ? ? 90 ? 360 k , k ? Z? ,?? 90 ? 360 k ? ? ? 180 ? 360 k , k ? Z ? ?? 180 ? 360 k ? ? ? 270 ? 360 k , k ? Z? ,?? 270 ? 360 k ? ? ? 360 ? k ? 1? , k ? Z ?
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

角 ? 终边在 x 轴的非负半轴上时可表示为:? =360°k,k∈Z, 角 ? 终边在 y 轴的非负半轴上时可表示为: ? =360°k+90°,k∈Z,在 x 轴的非正方向上,在 y 轴的非正方向上可类似表示。 2、终边相同的角的表示: S ? ? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ,即任一与角 ? 终边相同的角,都可以表成
0

?

?

角 ? 与整数个周角的和。任意两个终边相同的角之差必是 360°的整数倍。相等的角的终边一定相同,终 边相同的角不一定相等。 已知 ? 是第几象限的角,如何确定 的范围用整数 k 把

?
n

, n ? N * 所在象限的角的常用方法有二: (1)分类讨论法,先根据 ?

?
n

, n ? N * 的范围表示出来,再对 k 分 n 种情况讨论。 (2)几何法:把各象限均先 n 等

分,再从 x 轴的正方向的上方起,依次将各区域标上①、②、③、④,则 ? 原来是第几象限对应的标号即 为

?

n

, n ? N * 的终边所在的区域。

1800 ? ? rad ,10 ?
3、角度制与弧度制的换算:
0

?
180

rad ? 0.01745rad ,

? 180 ? 1rad ? ? ? 57.30 ? 57018' ? ? ? ?
1 1 lr ? ? r 2 2 2
0

弧度制下的弧长与扇形面积计算公式: l ? r ? , S ?

注:在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。如: 2k? ? 45 ? k ? Z ? 是错误的。 4、任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角, ? 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y) ,它与原点的 距离是 r ?

x 2 ? y 2 ? 0 ,那么

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? r r x x r r cot ? ? ? y ? 0 ? ,sec ? ? ? x ? 0 ? ? 正割? , csc ? ? ? y ? 0 ? ? 余割? y x y

5、象限角的三角函数符号:一全正,二正弦,三两切,四余弦。 根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性:正弦一,四增,二、三减。余弦三、四增,一、 二减。正切只有增区间,余切只有减区间。强调象限的区间内。

注意: ? ? 为锐角时,tan? ? ? ? sin? ,? 2 ? sin ? ? cos ? ? 2k? ? ?1

?
4

? ? ? 2k? ?

5? 4

? 3? tan ? ? cot ? ? ? ?

?

?4

? k? ,

?

? ? 3? ? ? k? ? ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z 2 ? ? 4 ?

6、诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。如:

?? ? ? 3? ? ?? ? ? 3? ? sin ? ? x ? ? cos x,sin ? ? x ? ? ? cos x, cos ? ? x ? ? ? sin x, cos ? ? x ? ? sin x, ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? sin ?? ? x ? ? sin x,sin ?? ? x ? ? ? sin x, cos ?? ? x ? ? ? cos x, tan ?? ? x ? ? tan x
?ABC中要注意: A ? sin ? B ? C ? , CosB ? ? cos ? A ? C ? , tan C ? ? tan ? A ? B ? sin Sin A B?C B A?C C A? B ? Cos , Cos ? sin , co t ? tan 2 2 2 2 2 2

锐角?ABC中,A+B ?

?
2

? SinA ? cos B, tan A ? cot B

熟记关系式:sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z).

?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? sin ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 4? 4? 4? ? ?4 ? ? ? ?4 ?
7、同角三角函数的基本关系式: 平方关系: sin
2

? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ?
sin ? cos ? , cot ? ? ,一般采用“切化弦” ,但已知一个角的正切值,求正弦与余弦 cos ? sin ?

倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, 商数关系: tan ? ?

有关的代数式常采用“弦化切” 。 8、特殊角的三角函数值: (见下表) 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°

sin ?

1 2

2 2

3 2
1 2

0

1

0

-1

6? 2 4

6? 2 4

cos ?

3 2
3 3
1

2 2

1

0

-1

0

6? 2 4
2- 3

6? 2 4
2+ 3

tan ?

3

0

0

cot ?

3

1

3 3

0

0

2+ 3

2- 3

9、两角和公式:

C?? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? S?? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 对第三式的 ? ? 的值使等式两边有意义。 T?? ? ? ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

注意公式的变形应用如: tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

10、化一公式: a sin ? ? b cos ? ?

b? ? a 2 ? b2 sin ?? ? ? ? , ? tan ? ? ? a? ?
3 ); (2)如果 2

如: (1)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ?

f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? =

(答:-2);

11、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的 关系,注意角的一些常用变式如: 巧变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? ? ? 2 ?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,

? ? ?? ? ? ? ? ? ?

???
2

?

? ??
2

450 ? ? ? 900 ? ? 450 ? ? ? ,? ? 2 ?
如(1)已知 tan(? ? ? ) ?

?
2

, 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: )(2)已知 ? , ? ; 5 4 4 4 22 3 为 锐 角 , sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? , 则 y 与 x 的 函 数 关 系 为 ______ ( 答 : 5 3 4 3 y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ,注意:隐含 y>0. 5 5 5

第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。 12、二倍角的正弦、余弦、正切

sin 2? ? 2sin ? cos ? ,
二倍角公式: cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ? tan 2? ? , cot 2? ? 1 ? tan 2 ? 2 tan ?
1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? 2 降幂公式与升幂公式: 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , ? 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? 2 cos 2 ? ?

? 1 ? cos ? ? , 在第一、四象限 ? ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 2 2 tan ? ? 半角公式: cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? , 在第二象限、第三象限 ? 2 2 ?
13、万能公式: ?1? sin ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2?

2 , ? 2 ? cos ? ? 2

1 ? tan 2 1 ? tan

?
2 , ? 3? tan ? ? 2

2 tan

?
2

2?

1 ? tan 2

?
2

? ? ? ? 1 ? sin? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin 2 2 2 2

第十五讲三角函数的图象和性质 1、正弦函数、余弦函数的图象和性质:(1)五点法作图:先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个 平衡位置这五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 常选取横坐标分别为 0,

?
2

,? ,

3? , 2? 的五点。 2

(2)正弦函数 y=sinx 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? 余弦函数 y=cosx 是偶函数,对称中心是 ? k? ?

?
2

?k ? Z ? 。

? ?

?

? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? 。 2 ?

3 练习:已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5) ? ______(答:-5)(3) ;

函 数 y ? 2 c o sx( sinx ? c o sx) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 ____________ ( 答 :

(

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z ) )(4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3cos( x ? ? ) 为偶函数, ; 2 8 2 8

求 ? 的值。 (答: ? ? k? ?

?

6

( k ?Z ))

(3)、单调性: y ? sin x在 ? 2k? ?

? ?

?

?? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增, 2 2?

在 ? 2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

3? ? ? k ? Z ? 单调递减。 2? ?

y=cosx 在 ?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减,在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。 如:函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?

[ k? ?

?
12

,k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: 2

三角函数的单调性:正弦一,四增,二、三减。余弦三、四增,一、二减。正切只有增区间,余切只有减区 间。强调象限的区间内。 2 、 y ? Asin ?? x ? ? ? 的 图 象 : (1) 振 幅 、 周 期 、 频 率 、 相 位 、 初 相 : 函 数

y ? A i ?? s n

x? ??

, ?? x

0?, ? A ? 0 ,表示一个振动量时,A 表示这个振动的振幅,往返一次 0 ?? ? ? ? ,

所需的时间 T=

2? 1 ? ,称为这个振动的周期,单位时间内往返振动的次数 f ? ? 称为振动的频率, ? T 2? ? x ? ? 称为相位,x=0 时的相位 ? 叫初相。

(2)、函数 y ? Asin ?? x ? ? ? +K 的图象与 y=sinx 的图象的关系: 把 y=sinx 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0) , 把 y=sin(x+ ? )的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的 注意:此处初相不变。 把 y=sin( ? x+ ? )的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍, 把 y ? Asin ?? x ? ? ? 的图象横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k<0) , y=sin(x+ ? ) y=sin( ? x+ ? )

1

?



y ? Asin ?? x ? ? ?

y ? Asin ?? x ? ? ? +K
若由 y=sin( ? x)得到 y=sin( ? x+ ? )的图象,则向左或向右平移

? 个单位。 ?

注意: y=sin

?? x+? ? 应先化为

? ?? y=sin? ? x+ ? ? ??

3、正切函数 y=tanx 的性质: (1)定义域: ? x x ?

? ?

?

? 。 ? k? , k ? Z ? ,(2)值域是 R,在上面定义域上无 2 ?

最大值也无最小值。 (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y=a 的两个相邻交点之间的距离是一 个周期 ? 。 (4)奇偶性:是奇函数,对称中心是 ?

? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,无对称轴。 ? 2 ?

(5)单调性:正切函数在开区间 ? ? 具有单调性。

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不 2 ? 2 ?
? ? ?? 上符合条件 sinx=a(-1≤a≤1)的角 x,叫做实 , ? 2 2? ? ? ? ?? ,且 a=sinx.注意 arcsina 表示一个角,这个角的 , ? 2 2? ?

4、反三角函数的定义: (1)反正弦:在闭区间 ? ?

数 a 的反正弦,记作 arcsina,即 x=arcsina,其中 x ? ? ?

正弦值为 a,且这个角在 ? ?

? ? ?? 内(-1≤a≤1) , ? 2 2? ?

(2) 反余弦: 在闭区间 ? 0, ? ? 上, 符合条件 cos x ? a ? ?1 ? a ? 1? 的角 x, 叫做实数 a 的反余弦, 记作 arccosa, 即 x=arccosa,其中 x ??0,? ? , a ? cos x . (3)反正切:在开区间(-

? ? , )内,符合条件 tanx=a(a 为实数)的角 x,叫做实数 a 的反正切,记做 2 2
? ? ?? , ? 且a ? tan x. ? 2 2?

arctana,即 x=arctana,其中 x ? ? ?

反三角函数的性质: (1)sin(arcsina)=a, (-1≤a≤1),cos(arccosa)=0, (-1≤a≤1), tan(arctana)=a,(2)arcsin(-a)=-arcsina,arccos(-a)= ? -arccosa,arctan(-a)=-arctana, (3)arcsina+arccosa=

? ? ? ?? ,(4) arc sin (sinx)=x,只有当 x 在 ? ? , ? 内成立。同理 arccos(cosx)=x 只有当 x 2 ? 2 2?

在闭区间 ? 0, ? ? 上成立。 5.三角函数的值域的求法: (1)y=asinx+b(或 y=acosx+b)型,利用 sin x ? 1 或 cos x ? 1 ,即可求解, 此时必须注意字母 a 的符号对最值的影响。 (2)y=asinx+bcosx 型,引入辅助角 ?
2 2

?

?

,化为 y= a 2 ? b 2 sin(x+ ? ),利用函数 sin?x ? ? ? ? 1即可求

解。Y=asin x+bsinxcosx+mcos x+n 型亦可以化为此类。 (3)y=asin x+bsinx+c(或 y=acos x+bcosx+c) ,型,可令 t=sinx(t=cosx),-1≤t≤1,化归为闭区间上二 次函数的最值问题。 (4)Y=
2 2

a sin x ? b a cos x ? b (或 y= )型,解出 sinx(或 cosx),利用 sin x ? 1?或 cos x ? 1? 去解;或 c sin x ? d cos x ? d a sin x ? b a cos x ? b (y= )型,可化归为 sin(x+ ? )g(y)去处理;或用万能公式换元后用 c cos x ? d c sin x ? d

用分离常数的方法去解决。 (5)y=

判别式去处理;当 a=c 时,还可利用数形结合的方法去处理上。 (6)对于含有 sinx± cosx,sinxcosx 的函数的最值问题,常用的方法是令 sinx± cosx=t, t ? 转化为 t 的函数关系式,从而化为二次函数的最值问题。 6、关于三角函数的周期: (1)一般先化为: y ? A sin ?? x ? ? ? ? m, T ?

2 ,将 sinxcosx

2?

?

, y ? A tan ?? x ? ? ? ? m, T ?

? , ?

(2) 绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性 是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , y ?| tan x | 的周期不变; 第十六讲平面向量与空间向量 1、向量:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,有向线段的长度 叫向量的模,注意不能说向量就是有向线段。长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是

??? ? ? ??? ? AB 任意的。长度为一个单位长度的向量叫做单位向量,常用 e 表示。 ??? 表示与AB 同向的单位向量 。 ? AB
? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? AB AC ? :方向相同或 ??? ? ??? ? ? ? ? 0, ?? ? ? 表示∠BAC 的角平分线上的向量,共线向量(也叫平行向量) ? ? AB AC ? ?

相反的非零向量, a 平行于 b ,记作: a ∥ b , 规定零向量和任何向量平行。注意:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等。表示共线向量的 有向线段不一定在同一直线上,向量可以平移。 共线向量的方向不一定相同或相反,因为零向量的方程是任意的。 相反向量;长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 2、向量加法:设 AB ? a, BC ? b, 那么向量AC叫做a与b 的和,即a ? b ? AB ? BC ? AC 作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则” ,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。 作向量减法有“三角形法则” :设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA 由减向量和终点指向被减 向量和终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 3、向量共线定理: b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b = ? a ( a ? 0 ) , 4、平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对这一平面内的任一向量

??? ?

? ??? ?

?

??? ?

? ?

? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

? ??? ?

?

? ?

??? ??? ? ?

??? ?

?

?

? ? ? ?? ? a 存在唯一的一对有序实数 ? ?1, ?2 ? 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 成立,不共线向量 e1 , e2 表示这一平面内所有向量
的一组基底。 5 、 向 量 平 行 的 坐 标 表 示 :

? ? a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , 对 空 间 向 量

? ? ? ? ? ? a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? , a??b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 ,
6、空间直线的向量参数方程 如图:A,B,P 三点共线 AB ? a

P B A

O

OP ? OA ? t AB =
为空间任一点。即

?1 ? t ?OA ? tOB

1 1 OP ? OA ? OB 时 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? P、A、B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB ? x ? y ? 1?
特别当 t=

?

?

此时 P 为 AB 的中点。O

7、 、两个向量的夹角:对于非零向量 a ,b ,作 OA ?a , OB ? ,? b AOB ? 夹角,当 ? =0 时, a , b 同向,当 ? = ? 时, a , b 反向,当 ? =

??? ? ??? ? ? ?

? ?0? ?? ? ? 称为向量 a ,b 的

? 时, a , b 垂直。 2 ? ? 向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 a b cos ? 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意 数量积是一个实数,不再是一个向量。 向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b 。

? ?

?1? e ? a ? a ? e ? a cos ? 3? ? a

? ?

? ?

?

? ? a, e

? ? ? ? , ? 2? a ? b ? a ? b ? 0

? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ?2 b ? a ?b ? a b ,a ? a ?a ? a , a ? a ? ? a ?b ? 4 ? cos? ? ? ? a b
(5)当 a , b 同向时, a ? b = a b ,当 a 与 b 反向时, a ? b =- a b ,当 ? 为锐角时, a ? b 为正且

? ?

? ?

? ? ? ? a , b 不同向, a ? b ≠ a b ,当 ? 为钝角时, a ? b 为负且 a , b 不反向, a ? b ≠- a b 。 ? ? ? ? b 当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分 ? ? ? ? b 条 件 ;当 ? 为 钝 角 时 , a ? b < 0, 且 a、 不 反 向 , a ? b ? 0 是 ? 为 钝 角 的 必 要 非 充 分 条 件 ; ? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b |?| a || b | 。如(1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是

4 1 或? ? 0且? ? ) ; 3 3 ? ?? 数量积的的运算律:已知向量 a, b, c和 实数 ? ,下面(1) (3)分别叫做交换律,数乘结合律,分配律。 (2)
______(答: ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意下列式子是错误的: ?1? a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ? 2 ? a ? b ? b ? c ? a ? c
? ? a ?b ? ? ? ? 3? ? ? a b ? 0 b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? b ? a, ? 2 ? ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b , ? 3 ? a ? b ? c ? a ? c ? b ? c

? ?

?

?

?

?

? 4? ? a ? b ?
?

? ? ? 2 ? ? ?2 ? 3 ?3 ? ? ? ? a ? a ? b ? b ? a ? b , ? 5? a ? b ? 0 ? a ? 0或b ? 0 ,

?

?

平面向量数量积的坐标表示: a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? 那么a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , 空间向量数量积的坐标表示: a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,那么a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 8、向量的长度和两点间的距离公式:

?

? ?

?

?

? ?

?1? a ? ? x, y ? , 那么 a
?

?

?2

? ? x2 ? y 2 , a ? x2 ? y 2 ?

? 2 ? 若A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 那么 AB ? 3? a ? ? x, y, z ? , 那么 a
?2

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

? ? x2 ? y 2 ? z 2 , a ? x2 ? y 2 ? z 2 ?

? 4? 若A ? x1 , y1 , z1 ? , B ? x2 , y2 , z2 ? , 那么 AB
9、 两向量垂直的充要条件:

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? 那么a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 =0 ? a ? b 非零向量 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? 那么a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 =0 ? a ? b 10、 b cos? 叫 b 在 a 上的投影。 a ? b 的几何意义是它等于 a 的模 a 与 b 在 a 上的投影的积。 注意:投影也叫射影,是一个数,可正可负也可为 0,不再是一个向量。有两种计算方式:

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? a ?b a在b上的投影 ? a ? cos a, b ? ? b

11、向量与平面平行:如果向量所在直线在平面内或与平面平行,则称向量与平面平行。注意与直线与平 面平行的区别。 共面向量:平行于同一平面的向量叫做共面向量,空间任意两个向量都共面(包括两条异面直线上的向量)。 空间三个向量不一定共面。不共面的三个向量可构成空间的一个基底。 共面向量定理:如果两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是存在实数对 x,y, 使得 p =x a +y b . 共 面 向 量 定 理 的 推 论 : 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x,y, 使

MP ? xMA ? y MB 或对空间任一点 O,有 op ? oM ? xMA ? y MB
= mOM ? nOA ? k OB (m+n+k=1).这也是证四点共面的方法。 12、空间向量基本定理:如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 组 x,y,z,使 p =x a +y b +z c .其中{ a , b , c }叫做空间的一个基底, a , b , c 都叫做基向量。 13、空间直角坐标系:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为 1,则这个基底叫做单位 正交基底,常用{i,j,k}表示,而空间坐标系的建立是:在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k} , 以 O 为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴,y 轴,z 轴,它们都叫坐标轴,O-xyz 为 空间坐标系,向量 i,j,k 为坐标向量,通过每两条数轴的平面叫做坐标平面,分别叫做 xOy 平面,yOz 平面, xOz 平面,作空间坐标系时,一般使∠xOy=135° 45° (或 ),∠yOz=90° .在空间坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向,则称此坐标系为右手直角坐标系。 14、向量与平面垂直:如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a, 此时向量 a 叫做平面a的法向量。 15、 线段的定比分点: 设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、 2 的任意一点, P 若存在一个实数 ? , P 1 P= ? PP 2 , 使

???? ? ???? ? ? 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比,P 点叫做有向线段 PP 的以定比为 ? 的定比分点。当 P 点在线段 1 2 1 2
? ? P 1 P 2 上时, >0, P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上时, <-1, P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 -1< ? <0。 当 当
若点 P 分有向线段 PP 所成的比为 ? ,则点 P 分有向线段 P P 所成的比为 1 2 2 1 定比分点的坐标公式:

???? ?

???? ?

1

?

x1 ? ? x2 ? ??? ? ???? ? x ? 1 ? ? ? 设 P ? x1 , y1 ? , P2 ? x2 , y2 ? , P ? x, y ? , P P ? ? PP2 , ? 1 1 ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
在使用定比分点的坐标公式时,应明确(x,y), (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 )的意义,即分别为分点,起点,终 点的坐标。一般在计算中应根据题设,自行确定起点,分点和终点并根据这些点确定对应的定比 ? 。

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? 当 ? =1 时,就得到 P 1 P 2 的中点公式: ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
16 、 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为

? x ? x ? x y ? y ? y3 ? G? 1 2 3 , 1 2 ?。 3 3 ? ?

② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

3

重心;

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ???? ??? ? AC AB ? ④向量 ? ( ??? ? ???? )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线); | AB | | AC | ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ⑤ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;
③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ⑥S⊿AOB= 1 x A y B ? xB y A
2

??? ??? ? ?

如: (1)若 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ?ABC 的形状为 ____(答:直角三角形) (2)若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 ;

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? ; AP ? BP? CP? 0 , 设 ??? ? ? , 则 ? 的 值 为 ___ ( 答 : 2 ) ( 3 ) 若 点 O 是 △ABC 的 外 心 , 且 | PD | ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ ABC 的内角 C 为____(答: 120 ) ;

17、平移公式:将点 P(x,y),按 a ? ? h, k ? 平移至点 P′(xˊ,yˊ), 则?

?

? x? ? x ? h ? x ? x? ? h ?h ? x? ? x ? ,? , a 叫平移向量。 ,? ? y? ? y ? k ? y ? y? ? k ?k ? y? ? y

图象的平移:设函数 y=f(x)的图象为 C,将 C 上每一点均按 a ? ? h, k ? 平移,得一个新的图象 C′,则 C′对应的函数关系式为 y-k=f(x-h),即 y=f(x-h)+k, (2)函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1,则 a =________(答:
? ?

?

(?

?
4

? 2k? ,1) )

第十六讲正弦定理与余弦定理 1、正弦定理:在三角形 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,R 为三角形 ABC 的外接圆的半径,则 有

a b c a?b?c ? ? ? ? 2 R ,注意以下一些变式: sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

?1? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C, ? 2 ? sin A ? ? 3? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C.

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

? b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 ? a ? c 2 ? b2 ? 2、余弦定理:在三角形 ABC 中,有 ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, ?cos B ? 2ac ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 2 ? ? a ? b2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?
3、其它公式:

(1)











a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos B ? b cos A

1 1 abc aha,2 ? S? ? ab sin C, ? S? ? ? ?3 2 2 4R 1 1 ? 4 ? S? ? 2 R 2 sin A sin B sin C,5? S? ? ? a ? b ? c ? r,6 ? S?= x1 y2 ? x2 y1 ? ? 2 2 ??? ? ???? ??? 2 ???? 2 ??? ???? 2 ? ? 1 AB ? ? x1 , y1 ? , AC ? ? x2 , y2 ? , ? 7 ? S ? ? AB ? AC ? AB ? AC 2 ?由? 2 ? 及向量的数量积公式可得 ?

? 2? 七个三角形面积公式: ? S? ? ?1

?

?

?

?

a?b?c ? ? p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? ? P ? ? ? 这叫海伦公式,一般不用? 2 ? ? 1 其中 r 为三角形 ABC 内切圆半径,R 为外接圆的半径, p ? ? a ? b ? c ? 2

?8? S? ?

4、正弦定理在解三角形中的应用: (1)已知两角和一边解三角形,只有一解。 (2)已知两边和其中一边的对角,解三角形,要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行:先 看已知角的性质和已知两边的大小关系。如已知 a,b,A.(一)若 A 为钝角或直角,当 b≥a 时,则无解。当 a≥b 时,有只有一个解。 (二)若 A 为锐角,结合下图理解。1)若 a≥b 或 a=bsinA,则只有一个解。2)若 bsinA<a<b,则有两解。3)若 a<bsinA,则无解。
B

C1 A C2 C3 C4

也可根据 a,b 的关系及 sin B ?

b sin A 与 1 的大小关系来确定。 a

? ? ?? 1 一解 b sin A ? sin B ? ?? 1 无解 a ? ?? ? 0,1? 且 ?a ? b 一解 ? ? ?a ? b 两解 ?

如: ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , b ?4 ,那么满足条件的 ?ABC , (1)只有一个解
?

时,边长 a 的取值范围是_______ a ? a a ? 2 3或a ? 4

?

?

(2)有两解时, a ? 2 3, 4 , (3)无解时, a ? 2 3 余弦定理在解三角形中的应用: (1)已知两边和夹角, (2)已知三边。 第十七讲不等式 一、不等式的性质 (1.) 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: a>b,c>d , a+c>b+d, (a>b ,c<d 则 a-c>b-d) 则 , 但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘但不能 相除;异向不等式可以相除但不能相乘:a>b>0 c>d>0 (a>b, c<d) , 则 ac>bd(或
n n

?

?

a b ? ) c d

(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方 a>b>0 则 a >b 或 n a ? n b (4)ab>0,则 a>b ?

1 1 1 1 ? ,(ab<0 则 a>b ? ? ) a b a b
与 几 何 平 均 数 常 用 公 式 及 变 形 : ( 1 )

二、均值不等式: 算 术 平 均 数

? a 2 ? b 2 ? a ? b ?2 ?? ? ? ? a, b ? R ? ? 2 ? ? 2 ?a ? b ? ab ? a, b ? R ? ? ? ? 2 a 2 ? b 2 ? 2ab ? a, b ? R ? ? ? , a 2 ? b2 ?或ab ? ? 2 ? 2 ?ab ? ? a ? b ? a, b ? R ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 1 1 ? a b ? 2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? 或a ? b ? 2 ? a 2 ? b 2 ? a?b 2 2

?

?

(2) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? a, b, c ? R ? ? a ? b ? c ? 3 3 abc 注、对于两个正数 x,y,若已知 xy,x+y, x ? y ,
2 2

1 1 1 ? , 中的某一个为定值,可求出其余各个的最值,如: x y xy

(1)当 xy=P(定值) ,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P , x 2 ? y 2 ? 2 p,

1 1 2 p ? ? , x y p

(2)x+y=S(定值),那么当 x=y 时,积 xy 有最大值

1 2 S 4

x2 ? y 2 ?

S2 1 1 4 1 1 , ? ? , ? 2 ? 4, 2 x y S xy S

(3)已知 x +y =p,则 x+y 有最大值为 2 p , xy ?
2 2

p 1 1 2 2p 1 2 , ? ? , ? 2 x y p xy p

应用基本的不等式解题时,注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件,即“一正、二定、 三相等” 三、不等式的证明: (1)求差比较法: (2)求商比较法:要证 a﹥b,且 b﹥0,只要证

a ﹥1.(3) 、综合法: b

利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立,这种证明方法叫综 合法,即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。 (4)分析法:从求证的不等式出发,分析使这 个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题,如果能肯定这些条 件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立,这种证明方法叫分析法,即执果索因。用分析法证明要 注意格式: “若 A 成立,则 B 成立”的模式是:欲证 B 为真,只需证 C 为真,只需证 D 为真?最后得出 A 或已知的性质、公理、定理。从而得出 B 为真。也可使用 ?简化叙述。即 B ?C ?D ?? ?A 或已知的 性质、公理、定理。切不可使用 B ? C ? D ? ?A。 (5)放缩法(如利用真分数或假分数的性质、及利用 均值不等式进行放缩)

常用放缩技巧:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

k ?1 ? k ?

n 1 1 1 1 1 ? ? ? k ? k ?1 , ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k ? n ? 1?! n! ? n ? 1?!

(6)利用函数的单调性(本质仍然是放缩法)(7)反证法(对于“至多” , “至少”问题、存在性问题、 否定形式的命题等, “正难则反”, 换元法 总之 ) (8) (形如:x2 ? y2 ? a, 常设x ? a sin ? , y ? a cos ? ) , (9)判别式法(二次式的含参数问题常运用判别式) 四、不等式的解法

? f ? x? ? 0 ? f ? x? ? 0 ? ? 1、 无理不等式: ? 一 ? f ? x ? ? g ? x ? 化为?1? ? 或 ? 2? ? g ? x ? ? 0 ?g ? x? ? 0 ? ? 2 ? f ? x? ? g ? x? ? f ? x? ? 0 ? ?二? f ? x ? ? g ? x ? ? ? g ? x ? ? 0 ? 2 ? f ? x? ? g ? x?
2、指数不等式、对数不等式要注意对底数的讨论,对数不等式还要注意真要大于 0。 3、 “非常规不等式”常用数形结合法。如: ?1? .log2 ? ?x ? ? x ?1 , (2) x2 ? loga x ? 0 在(0, 成立,则 a 满足(A) A.

1 )内恒 2

1 1 1 1 ? a ? 1, B. ? a ? 1, C.0 ? a ? , D.0 ? a ? 16 16 16 16

五、参数不等式: (一)解含参数的不等式: 1、

ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0化为? ax-1?? x ? 1? ? 0, 分三大类二个层次5个小类:

?1? a ? 0, ? x x ? 1? , ? 2 ? a ? 0, 化为? x?
?

1? 1 ? ? x ? 1? ? 0, 1 ? 1, a ? 1 ? ? a? a

? 1 ? ? 1? 2 a ? 1, ? ? x ? x ? 1? 3 0 ? a ? 1 ? ? x 1 ? x ? ? a? ? a ? ? 1 ? 1? ? 3? a ? 0 ? ? x ? ? ? x ? 1? ? 0 ? ? x x ? 1或x ? ? ? ? a? a? ? ?
2、

a ? x ? 1? ? a ? 1? x ? a ? 2 ? 0 ?1? x?2 x?2
a?2 ? , 2 ? , ? 2 ? 当a ? 0时, 原不等式的解集是? ? a ?1 ? ? a?2? ?, a ?1 ?

?1?当a ? 0时,原不等式的解集是 ? ?

? 3?当0 ? ? ? ?时? 原不等式的解集是 ? ?? ? ? 4 ?当a ? 1时, 原不等式的解集是 ? ??, ?
?

a?2? ? ? ? 2, ?? ? a ?1 ?

?5?当a=1时,原不等式的解集是? 2,+??
(二)恒成立问题:解恒成立问题常用方法:①分离参数法;②数形结合;③转化为函数的最值问题。你 能清楚何时用何种方法吗? 常见题型:①若 m ? f (x) 在 x ? [a, b] 上恒成立,则 m ? f (x) max ;若 m ? f (x) 在 x ? [a, b] 上恒成 立,则 m ? f (x) min 。②若 m ? f (x) 在 x ? [a, b] 上有解,则 m ? f (x) min ;若 m ? f (x) 在 x ? [a, b] 上无 解,则 m ? f (x) min 。 (注: m 为常数。 )③ f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上恒成立,是对于任意的 x ? [a, b] , (不是。 通常移项, h( x) min ? f ( x) ? g ( x) ? 0 即可; h(x) 使 若 f (x) min 必须大于 g (x) max 吗?应该怎样解? 的最值无法求出,则考虑数形结合,只需在 x ? [a, b] 上 f (x) 的图像始终在 g (x) 的上方即可。 ) (1)一次函数型:给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0,则根据函数的图 象(直线)可得上述结论等价于

?a ? 0 ?a ? 0 ? f ( m) ? 0 或ⅱ) ? 亦可合并定成 ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( m) ? 0 同理,若在[m,n]内恒有 f(x)<0,则有 ? ? f ( n) ? 0
ⅰ) ? (2)二次函数型:若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立,则有 ?

?a ? 0 ?? ? 0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例1、 设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? )时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。

分析:题目中要证明 f(x) ? a 恒成立,若把 a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间 [-1,+ ? )时恒大于 0 的问题。 法一:解:设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当 ? =4(a-1)(a+2)<0 时,即-2<a<1 时,对一切 x ? [-1,+ ? ),F(x) ? 0 恒成立; ⅱ)当 ? =4(a-1)(a+2) ? 0 时由图可得以下充要条件:

? ?? ? 0 ?(a ? 1)(a ? 2) ? 0 ? ? ? f ( ?1) ? 0 即 ?a ? 3 ? 0 ?a ? ?1, ? ? 2a ?? ? ?1, ? 2 ?

y

-1

o

x

得-3 ? a ? -2; 综合可得 a 的取值范围为[-3,1]。 法二:化为求 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.在 x ? [-1,+ ? )上的最小值大于等于 0。再对对称轴的位置进行 讨论。 法三:分离参数法:再对参数分类讨论:

2 ? x ? 2 ?? x ? 1? 1? x2 ? 2 ? 2 x ? 1? a ? x 2 ? 2, x ? ? ?1, ? ? ? a ? ? g ? x? ? g / ? x? ? ?0 ? 2 2? 2x ?1 ? ? 2 x ? 1? 2 ? x ? 2 ?? x ? 1? x2 ? 2 ? 1 ? ? a ? g ? ?1? ? ?3, x ? ? ? , ?? ? ? a ? ? g ? x? ? g / ? x? ? 2 2x ?1 ? 2 ? ? 2 x ? 1? ? g ? x ?min ? g ?1? ? 1综合知a ? ? ?3,1?
(3)分离变量型:若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范 围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解。 例2、 已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx+ 5a ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围。 分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,其中 x 的范围已知(x ? R) ,另一变量 a 的范围即为所 求,故可考虑将 a 及 x 分离。 六、线性规划:1、二元一次不等式表示的平面区域: (1)当 A﹥0 时,若 Ax+By+C﹥0 表示直线 l 的右 边,若 Ax+By+C﹤0 则表示直线 l 的左边。当 A﹤0 时则相反。 (2)当 B﹥0 时,若 Ax+By+C﹥0 则表 示直线 l 的上方,若 Ax+By+C﹤0 则表示直线 l 的下方。当 B﹤0 时则相反。无等号时用虚线表示不包含 直线 l。有等号时用实线表示包含包含直线 l。 2、设点 P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ),若 Ax 1 +By 1 +C 与 Ax 2 +By 2 +C 同号则 P,Q 在直线 l 的同侧,异号则在 直线 l 的异侧。 3、线性规划中的几个几何意义:

?1? z ? ax ? by, 若b ? 0,直线在y轴上的截距越大,z越大,
若b ? 0,直线在y轴上的截距越大,z越小。

? 2?

y?m 表示过两点 ? x, y ? , ? n, m ?的直线的斜率, x?n y 特别 表示过原点和 ? n, m ?的直线的斜率。 x
2 2

? 3? t ? ? x ? m ? ? ? y ? n ? 表示 ? x, y ? 到点 ? n, m ?的距离的平方, 特别t ? x 2 ? y 2 表示 ? x, y ? 到点 ? 0, 0 ?的距离的平方。
第十八讲常用的逻辑用语 1、四种命题:一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用﹁p 或﹁q 分别表示 p 和 q 的否定,则 四种命题的形式是: (1)原命题:若 p 则 q, (2)逆命题:若 q 则 p, (3)否命题:若﹁p 则﹁q , (4) 逆否命题:若﹁q 则﹁p, 四种命题的真假关系:一个命题与它的逆否命题是等价的,其逆命题与它的否命题也是等价的。要注意 区别“否命题”与“命题的否定” :若原命题是“若 P 则 Q” ,则这个命题的否定是“若 P 则非 Q” ,而 它的否命题是“若非 P 则非 Q” 。但对于“全称命题”与“特称命题”是互为否定的。 2、如果已知 p ? q,则有四种说法: (1)p 是 q 的充分条件, (2)q 是 p 的必要条件, (3)p 的一个必要条 件是 q,(4)q 的一个充分条件是 P。 练习: (1)若?P 是?Q 的必要不充分条件,则 P 是 Q 的(A) A 充分而不必要条件,B 必要不充分条件,C 充要条件,D 既不充分与必要条件 (2) a ? 1 或 b ? 2 ”是“ a ? b ? 3 ”成立的 “ 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要” 、 、 、 “既不充分也不必要”中的一个). 学科网 3、复合命题的三种基本形式及真假判定:P 或 Q(P∨Q) 且 Q(P∧) ,P ,非 P(﹁P) 。 “P 与﹁P”中的一些常用对应词 原结论 反设 是(一定是) 不是(一定不是) 都是(全是) 不都是 >(<) ≤(≥) 至少有一个 一个也没有 (都不是) 至多 有一个 至少 有2个 = ≠ 存在 不存在

4、全称量词: “所有的” “任意一个” “一切” “每一个” “任给”等。常用“ ? ”表示。含有全称量词的命 题叫全称命题。 存在量词: “存在一个” “至少有一个” “有些” “有一个” “有的” “对某个”等。常用“ ? ”表示。含有 存在量词的命题叫特称命题。

全称命题p : ?x ? M , p ? x ? , 它的否定?p:?x0 ? M , ?P ? x0 ? , 特称命题p : ?x0 ? M , p ? x0 ? , 它的否定?p:?x ? M , ?P ? x ?。
练习:写出下列命题的否定: (1)p:所有能被 3 整除的整数都是奇数。
2 (2)p: ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 2 ? 0

第十九讲圆锥曲线与方程 一、曲线与方程 (一)曲线与方程的概念:在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 上的实数解建 立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点;那么,这个方程叫曲线的方程;这条曲线叫方程的曲线。

练习: (1)

如果命题“坐标满足方程F ? x, y ? ? 0的点都在曲线C上”是不正确的, 那么下列命题中正确的是( D)   A 坐标满足方程F ? x, y ? ? 0的点都不在曲线C上, B 曲线C上的点的坐标不满足方程F ? x, y ? ? 0, C 坐标满足方程F ? x, y ? ? 0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上, D 至少有一个不在曲线C上的点,它的坐标满足方程F ? x, y ? ? 0。 分析:“都在”的否定是“不都在”,上面命题等价于 “方程F ? x, y ? ? 0的解为坐标的点有些不在曲线C上。”
(二)求曲线方程(求轨迹)的几种常用方法: 1、直接法:直接用动点 P(x,y)的坐标表示等量关系,化简得轨迹方程。一般步骤是:①建立适当的直 角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标;如果题中出现了点的坐标或方程表示已经建立了坐 标系。②列出点 M 适合条件的几何等量关系;③用坐标表示列出方程 f(x,y)=0,④化方程 f(x,y)=0 为最 简形式;⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下,化简前后的方程的解是相 同的,步骤⑤可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明,另外,根据情况,也可以省略步骤②直接 列出直线方程。 例 1:三角形 ABC 的顶点 A 固定,点 A 的对边 BC 的长为 2a,边 BC 上的高线长为 b,边 BC 沿一条定直线移 动,求三角形 ABC 外心的轨迹方程。 分析:以 BC 边所在的直线为 x 轴,过 A 点且与 x 轴垂直的直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系,则 B (0,b) ,设外心 M(x,y) ,则|MA|=|MB|,B(x-a,0),x -2by+b -a =0 2、 定义法:通过圆锥曲线(或已知曲线)定义确定轨迹性质,进而求得方程。 例 2、(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方
2 2
0

2

2

2

程为

? OP ? 2 ? x2 ? y2 ? 4

(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_____

y 2 ? 16 x
(3) 一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为
2 2 2 2

? x ? 2? 。
1 4

2

?

y2 ? 1? x ? 2 ? 双曲线的左支上。注:都内切时,得到该双曲线的右支。若与前者内切, 15 4
2

? x ? 2? 与后者外切时,得到双曲线
3 4

?

y2 ? 1? x ? 2 ? 的左支,若与前者外切,与后者内切时,得到双曲线 13 4

? x ? 2?
3 4
(4) 、

2

?

y2 ? 1? x ? 2 ? 的右支, 13 4

圆O的半径为r,A是圆内一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和 半径OP相交于点Q,当点P在圆C运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?若点A在 圆外呢?
前者为椭圆,后者为双曲线。
3、相关点代入法:当动点 P(x,y)与已知曲线上动点 P1(x1,y1)相关时,用 x,y 表示 x1,y1,再代 入已知曲线方程,求得轨迹方程。 例 3: (1)动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹 方程为__________
? ??

???? ? ???? ? ? x ? xP ? ?2 x ? x ? 3x 设M ? x, y ? ,? PM ? 2MA ? ? ?? P 代入抛物线得 ? y ? yP ? 2 ? 2 y ? yP ? 3 y ? 2 3 y ? 2 ? 2 ? 3x ? ? 1 ? y ? 6 x ? 1
2

(1) 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x ? y ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____
2 2

? x1 x2 ? u 设? ? v 2 ? 2u ? 1,即Q( x1 y1 , x1 ? y1 )的轨迹方程是y 2 ? 2 x ? 1 ? x1 ? x2 ? v
例 4、设 O 为平面直角坐标系的原点,已知定点 A(3,0) ,动点 B 在曲线 x +y =1 上运动,∠AOB 的平分 线交 AB 于点 M,求动点 M 的轨迹方程。 分析:当轨迹上的点的坐标难以直接建立关系时,且已知轨迹上的点的坐标受已知曲线上的某一动点的坐 标的影响,可用相关点代入法。本题可用角平分线定理和相关点代入法。 (4x-3) +16y =9
2 2 2 2

B M A

4、交轨法:已知所求曲线是某两条曲线的交点可通过解方程组而得。(常与参数法相结合。) 例 5、已知直线 L1 过 A(-2,0) ,直线 L2 过 B(2,0) ,且 L1 与 L2 分别绕 A,B 旋转,它们在 y 轴上截 距分别为 b1 , b2 ,其中 b1 ? b2 ? 4 ,试求 L1 与 L2 交点的轨迹方程。

L1 :

x y x y ? ? 1, L2 : ? ? 1, b1 ? b2 ? 4 ? x 2 ? y 2 ? 4 ? y ? 0 ? ?2 b1 2 b2

5、参数法。先选定某个变量作为参数,再找出曲线上的点的横坐标、纵坐标与参数的关系式,然后再消 去参数。 例 6、已知常数 a ? 0 ,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 4 a ,O 为 AB 的中点,点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且 BE ? CF ? DG ,P 为 GE 与 OF 的交点(如图) ,问是否存在两个定点,使 P BC CD DA 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由
王新敞
奎屯 新疆

y D F P G A O B x C E

根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在的两定点,使得点 P 到两点距离的和 BE CF DG 为定值.按题意有 A(-2,0) ,B(2,0) ,C(2,4a) ,D(-2,4a)设 ? ? ? k (0 ? k ? 1) BC CD DA 由此有 E(2,4ak) ,F(2-4k,4a) ,G(-2,4a-4ak) 直线 OF 的方程为: 2ax ? (2k ? 1) y ? 0 ① 直线 GE 的方程为: ? a(2k ? 1) x ? y ? 2a ? 0 ② 从①,②消去参数 k,得点 P(x,y)坐标满足方程 2a 2 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 整理得

1 x 2 ( y ? a) 2 2 ? ? 1 当 a ? 时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 2 1 2 a 2 1 2 当 a ? 时,点 P 轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 2
王新敞
奎屯 新疆

当a ?
2

1 1 1 时,点 P 到椭圆两个焦点( ? ? a 2 , a), ( ? a 2 , a) 的距离之和为定值 2 2 2 2

王新敞
奎屯

新疆

当a ?
2

1 时,点 P 到椭圆两个焦点(0, a ? a 2 ? 1 ), (0, a ? a 2 ? 1 ) 的距离之和为定值 2 a . 2 2 2

本题是交轨法与参数法的例子。 例 7、(本例是情侣圆锥曲线的求法)

设A1、A 2是椭圆

分析:设A1 ? ?a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? , P ? x0 , y0 ? , P2 ? x0 , ? y0 ? , P ? x, y ? 1 a2 ay x2 y 2 , y0 ? , ? 2 ? 2 ? 1 x x a b

x2 y2 ? =1长轴的两个端点,P1、P2是垂直于 a 2 b2 A1A 2的弦,求直线A1P1与A 2 P2的交点P的轨迹方程。 A1 P : ? x ? a ?? y ? y0 ? ? y ? x ? x0 ? , A2 P : ? x ? a ?? y ? y0 ? ? y ? x ? x0 ? ,

? x0 ?

本题是相关点代入法和交轨法相结合。 6、待定系数法:已知曲线方程的类型,可先设出曲线方程的形式,然后求出有关的系数。 例 8、

线段AB过x轴上一定点M ? m,0 ? , 端点A、B到x轴的距离之积为2m,以x轴为对称轴 过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线的方程为_____。
2 ? y12 ? ? y2 ? 设抛物线的方程为y ? 2 px ? p ? 0 ?,A ? , y1 ? , B ? , y2 ? ? 2p ? ? 2p ? ? y1 y2 ? ?2m ?1 ? ? ??? ??? 2 ? ? y1 ? y2 ? ? ? 1? ? 0 ? p ? 1 ? y2 ? ? y12 ? ? ? ? ?p ? ? PA?? PB ? y1 ? 2 p ? m ? ? y2 ? 2 p ? m ? ? 0 ? ? ? ? ? 2

? y2 ? 2x
二、椭圆: 1、椭圆的定义 1: PF + PF2 ? 2a ? F F2 ,F 1 ,F 2 为两定点即焦点。定义 2: 1 1

PF ? e ? ? 0,1? d

x2 y2 a2 2、 椭圆的标准方程: 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 (a﹥b﹥0) ,焦点 F ? c, , 准线方程为 x= ? ( 0) ,-a c a b
≤x≤a,-b≤y≤b, 当焦点在 y 轴上时,标准方程为

y2 x2 a2 ? 2 =1(a﹥b﹥0),焦点 F(0, ? c) ,准线方程为 y= ? , c a2 b

3、椭圆焦点三角形: (1)设 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,上任意一点,F 1 ,F 2 为焦点且∠F 1 PF 2 a2 b2
b2 ? c2 arccos , max = a2

= ? ,则△F 1 PF 2 为焦点三角形,当 r 1 =r 2 即 P 为短轴端点时, ? 最大且 ?

? b2 ? c2 ? ? 2 cos ? ? ? ,1? , (2)它的面积公式为: S=b tan =c y 0 , 当 y 0 =b 时,P 为短轴端点时, S max 2 2 ? a ?
的最大值为 bc。 (3)焦点三角形中 ? 为锐角三角形的充要条件是, P在圆x ? y ? c 外。 焦点三角形为钝
2 2 2

角三角形的必要条件是 b<c。
2 2 2 2 2 (4)焦点三角形的周长 2a+2c. r1 ? r2 ? ? a ? ex0 ?? a ? ex0 ? ? a ? e x0 ? ?b , a ? ,当且仅当 x=±a 时取最 ? ? 2 2 2 2 2 2 小值,当 x=0 时取最大值。 PF ? PF2=F P ? F2 P=? x0 ? c, y0 ? ? ? x0 ? c, y0 ? ? x0 ? y0 ? c ? ?b ? c , b ? 1 1 ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

.4、方程 Ax ? By ? 1 表示椭圆的充要条件是:A>0,B>0,A≠B。A>B 时,焦点在 y 轴上,A<B 时,
2 2

焦点在 x 轴上。 5、离心率 e=

c ,0﹤e﹤1,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 a

6、 焦半径公式: 0 ,y 0 )为 P(x

x2 y2 ? ? 1(a﹥b﹥0) 上一点, F 1 为左焦点, F 2 为右焦点, F 1 =a+ ex 0 ,P P a2 b2

F 2 = a- ex 0 (左加右减) ,以焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆内切。

7、弦长公式: (1)通径:通过焦点且垂直于长轴的弦长: PQ = 径为直径的圆和相应的准线相离。

2b 2 ,P,Q 为弦与椭圆的交点。以通 a

x2 y2 (2) 2 ? 2 ? 1 过 (a﹥b﹥0) 的焦点 F (或 F 2 ) 的弦长:PQ =2a+e(x 1 +x 2 ) (或 AB =2a-e(x 1 +x 2 ) ), 1 a b
x 1 ,x 2 分别 P,Q 为的横坐标。 (3)一般的弦长公式:x 1 ,x 2 分别为弦 PQ 的横坐标,弦 PQ 所在直线方程为 y=kx+b,代入椭圆方程整理 得 Ax +Bx+C=0,则 PQ = 1 ? k
2

2

x1 ? x 2 ? 1 ? k

2

B 2 ? 2 AC , y 1 ,y 2 分别为弦 PQ 的纵坐标, 若 则 A

PQ = 1 ?

1 y1 ? y 2 , k2

8、以 P(x 0 ,y 0 )为中点的弦 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )所在直线的斜率 k=-

b 2 x0 ,直线 AB 的方程为: a 2 y0

b 2 x0 a 2 y0 y-y 0 =- 2 (x-x 0 ). AB 的中垂线方程为 y-y 0 = 2 (x-x 0 ) a y0 b x0
9、斜率为 k 的弦的中点轨迹方程:设弦 PQ 的端点 P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ),中点 M(x 0 ,y 0 ) ,把 P,Q 的坐 标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得

x ky ? ? 0 (椭圆内不含端点的线段) a2 b2

10、设 P(x 0 ,y 0 )是椭圆

x x y y x2 y2 ? 2 ? 1(a﹥b﹥0)上一点,则过 P 点的切线方程是: 02 ? 02 ? 1(利 2 a b a b

用导数求出斜率或利用判别式求斜率) 11、点 P 和椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a﹥b﹥0)的关系: (1)点 P(x 0 ,y 0 )在椭圆外 ? 0 ? 0 ﹥1, (2)点 a2 b a2 b2

2 2 2 2 x0 y 0 x0 y 0 P(x 0 ,y 0 )在椭圆上 ? 2 ? 2 =0, (3)点 P(x 0 ,y 0 )在椭圆内 ? 2 ? 2 ﹤1 a b a b

12、椭圆的参数方程为:

? x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1 (a﹥b﹥0) ? ? 2 a b ? y ? b sin ?

?x ? x0 ? ? y ? y 0 ? x2 y2 13、椭圆 2 ? 2 ? 1(a﹥b﹥0)按 a =(x 0 ,y 0 )平移得 ? ? 1(它的中心、对称轴、 a b a2 b2
2 2

焦点、准线方程都按 a =(x 0 ,y 0 )作了相应的平移。

14、P ? x0 , y0 ? 为椭圆

x2 y 2 ? ?1 内一点,F1、F2分别为左右焦点, a 2 b2 Q为椭圆上的动点,则 PQ + QF1 ? ? 2a- PF2 , 2a+ PF2 ? ? ? 1 a2 1 a2 PQ + QF1 ? x0 ? , PQ + QF2 ? ? x0 e c e c

三、双曲线: 1、双曲线的定义:平面内与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于定长 2a(小于|F 1 F 2 |)的点的轨迹 叫双曲线,即||PF 1 |-|PF 2 ||=2a(2a<|F 1 F 2 |。此定义中, “绝对值”与 2a<|F 1 F 2 |,不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点射线,若 2a﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则 轨迹仅表示双曲线的一支。

x2 y2 y2 x2 2、双曲线的标准方程:中心在原点, (1)焦点在 x 轴上: 2 ? 2 =1(2)焦点在 y 轴上: 2 ? 2 = a b a b
1(a﹥0,b﹥0)与判断椭圆方程中焦点位置不同的是,双曲线不是通过比较 x ,y 系数的大小,而是看 x ,y 的系数的正负号,焦点在系数为正的坐标轴上,简称为“焦点在轴看正号”与椭圆另一个区别在于: 的关系是 c =a +b (而不是 c =a -b ) 3、与椭圆类似对于双曲线的焦点三角形有: 1) ? ? arccos ?1 ? ( ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ?

2b 2 r1 r2

? ? (根据余弦定理可得)(2) ? ?

S?

1 ? r1 r2 sin ? ? b 2 cot ,(3)双曲线的焦点三角形的内心的横坐标为 a 或-a.由切线长定理和双曲线的 2 2

第一定义,联合可得。 4、双曲线的几何性质:对于双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

(1)、它的顶点为(-a,0),(a,0),取值范围:x≤-a 或 x≥a,y∈R,焦点 F 1 (-C,0), F 2 (C,0),对称轴是坐

a2 标轴,对称中心是原点。(2)、准线方程:x= ? c
(3)、离心率:e= c ? 1 ? b 2 >1,e 越大,开口越大,e 越小,开口越小。
a a
2

(4) 、 渐 近 线 :

b x y x2 y2 ? ? 0 ), 已 知 渐 近 线 方 程 为 ? 2 = 0 ( 或 y?? x 或 2 a a b a b

Ax ? By ? 0, 常设双曲线方程为A2 x2 ? B2 y 2 ? k , ? k ? 0时, 焦点在x轴上, k ? 0时, 焦点在y轴上?
(5)、 共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

x2 y2 ? a2 b2

y 2 x2 =1 与 2 ? 2 =1 互为共轭双曲线,它们有相同的渐近线。 b a

离心率分别为e1 , e2 ?

1 1 (AB ? 2 ? 1 , Ax2 ? By2 ? 1与Ax2 ? By2 ? ?1也互为共轭双曲线。 > 0) , 2 e1 e2
x2 y2 ? ?(或x 2 ? y 2 ? k , k ? R) ,P 为等轴双曲 1 a2 a2

(6)、等轴双曲线:实轴与虚轴相等的双曲线,表示为
2

线上一点, PF1 ? PF2 ? OP (由焦半径公式和两点间的距离公式可得), 则 等轴双曲线的渐近线为 y= ? x, 离心率 e= 2 (7)、焦半径公式:|PF 1 |=ex+a, |PF 2 |=ex-a(P 在右支上,左加右减),若 P 在左支上则取相应的相反数。 即:|PF 1 |=-(ex+a), |PF 2 |=-(ex-a),焦半径为直径的圆和实轴为直径的圆相切(内切或外切)。 5、弦长公式: (1)通径长: |AB|=

2b 2 ,是同支上过焦点的所有弦中最短的,注:实轴是异支上过焦点 a

的所有弦中最短的。通径(推广为焦径)为直径的圆和相应的准线对双曲线是相交。(2)过焦点的弦长: |AB|=|e(x 1 +x 2 )|,(3)一般的弦长公式:类似于椭圆,x 1 ,x 2 分别为弦 PQ 的横坐标,弦 PQ 所在直线
2 方程为 y=kx+b,代入双曲线方程整理得 Ax +Bx+C=0,则 PQ = 1 ? k

2

x1 ? x 2 ? 1 ? k 2

B 2 ? 2 AC , A

若 y 1 ,y 2 分别为弦 PQ 的纵坐标,则 PQ = 1 ?

1 y1 ? y 2 , k2

( x ? x0 ) 2 ( y ? y 0 ) 2 x2 y2 ? ? 1 (它的中心、对称轴、焦点、 6、双曲线: 2 ? 2 =1 按 a =(x 0 ,y 0 )平移得 a b a2 b2
准线方程都按 a =(x 0 ,y 0 )作了相应的平移。 7、双曲线的第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e(e>1)的动点的轨迹叫双 曲线。

8、过双曲线 率。 ) 9、过双曲线

x x y y x2 y2 ? 2 =1 上一点 P(x 0 ,y 0 )的切线方程是 02 ? 02 ? 1 (与椭圆类似,求导数可得斜 a b a2 b

x2 y2 ? =1 外一点 P(x 0 ,y 0 )的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: a2 b2

(1) P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支 相切的两条切线,共四条。 (2)P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线 平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条。 (3)P 在两条渐近线上但非原点,只有两 条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线。 (4)P 为原点时不存在这样的直线。 此外:P 点在双曲线内时,只有两条与渐近线平行的直线。P 在双曲线上时有三条:二条是与渐近线平行 的直线,一条是切线。 如:过点(0,2)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 9 16

y ? kx ? 2 ? ?16 ? 9k 2 ? x 2 ? 36kx ? 180 ? 0, ? ? 0 ? k ? ? ? 2 5 2 5 4 4? ? ? k ? ?? , ,? ,? 3 3 3? ? 3 ? ?

2 5 3

10、斜率为 k 的弦的中点轨迹方程:设弦 PQ 的端点 P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ),中点 M(x 0 ,y 0 ) ,把 P,Q 的坐 标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得 此时 M 的轨迹两条不含端点的射线,当|k|>

x ky b ? 2 =0(当|k|< 时,P,Q 各在一支上, 2 a a b

b 时,P,Q 在同一支上,此时 M 的轨迹为过原点的直线。 a

11、 P(x 0 ,y 0 )为中点的弦 A 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 ) 以 (x ,B 所在直线的斜率 k=

b 2 x0 b2 x , 直线 AB 的方程为: 0 = 2 0 y-y a 2 y0 a y0

a 2 y0 (x-x 0 ). AB 的中垂线方程为 y-y 0 =- 2 (x-x 0 ) b x0
12、

F1、F2为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,A为双曲线右支内一定点, PA + 1 a2 PF2 ? xA ? 。PA+PF1 ? AF1,PA+PF2=PA+PF1-2a ? AF1 ? 2a e c

13、 双曲线

? x ? a sec? x2 y 2 - 2 =1的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b tan ?

四、抛物线 1、抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线,点 F 叫做抛物线 的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。四种形式的标准方程,焦点坐标及准线方程: 图 形 标 准 方 程 焦 点 准线方程

y =2px(p>0)

2

1 F( 2 p,0)

1 x=- 2 p

y =-2px(p>0)

2

1 1 F(- 2 p,0) x= 2 p
1 F(0, 2 p) 1 y=- 2 p

x =2py(p>0)

2

x =-2py(p>0)

2

1 1 F(0,- 2 p) y= 2 p

抛物线标准方程中 P 的几何意义是:焦点到准线的距离,即焦准距,故 P>0 抛物线的标准方程中,一次项的变量决定对称轴,一次项的符号决定开口方向。 2、抛物线的几何性质:以标准方程是 y =2px(p>0)为例 (1)范围:x≥0,对称性:关于 x 轴对称,无其它对称轴和对称中心,顶点是原点,离心率为 1,准线方程: x=2

p 2 p 2p , x 0 为 P 点的横坐标。或 | AB |? ( ? 为直线 l 的倾斜角) ;焦半径为 2 sin 2 ?

(2)焦半径公式:|PF|=x 0 + 直径的圆和 y 轴相切。

x ? x cot ? ? ?| AB |?

p 代入y 2 ? 2 px ? y 2 ? 2 p cot ? y ? p 2 ? 0, 2

y1 ? y2 4 p 2 cot 2 ? ? 4 p 2 2p ? ? sin ? sin ? sin 2 ?
p ,0)的弦长:x 1 ,x 2 分别为弦 AB 的端点的横坐标,y 1 ,y 2 分别为弦 AB 的端点的纵坐标, 2

(3)通径:2p,是过焦点的所有弦中最短的弦,通径为直径的圆和准线相切 (4)过焦点 F(

弦|AB|=x 1 +x 2 +p,

p2 1 1 2 ,与焦点弦有关的一些几何图形的性质: ? ? ,y 1 y 2 =-p 2 ,x1 x2 ? 4 AF BF p

(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切, (2)设 AB 为焦点弦,端点在准线上的射影为 A 1 ,B 1 ,M 为准 线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF, (3)若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB, (4)若 AO 的延长线交准线于 C, 则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。

?5? ?AOB ? 900 , ?AMB ? 900
3、 斜率为 k 的弦的中点的轨迹方程是:y=

p ,一条平行于 x 轴且不包括端点在抛物线内部的射线。 k

4、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如(1)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有______2 条。 5、 抛物线 y 2 ? 2 px 上到点 A(a,0) 的距离的最小值 d ? ?

? 2ap ? p 2 ? ?a ?

?a ? p?

?a ? p?

d?

? x ? a?

2

? 2 px ?

? x ? a ? p?

2

? p2

? x ? 2 pt 2 抛物线y 2 =2px ? p ? 0 ?的参数方程是 ? , 6、 ? y ? 2 pt t的几何意义是 ? x, y ? 与原点连线的斜率的倒数。
第二十讲导数及其应用 1 、 曲 线 的 切 线 : 设 曲 线 C 是 函 数 y=f ( x ) 的 图 象 , 在 曲 线 C 上 取 一 点

P ? x0 , y0 ? 及邻近的一点Q ? x0 ? ?x, y0 ? ?y ? ,过 P,Q 两点作割线,当点 Q 沿着曲线逐渐向点 P 接近
时,即 ?x →0 时,割线 PQ 的极限位置 PT,直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。设切线 PT 的倾斜角为 ? , 割线 PQ 的斜率的极限就是曲线 C 在点 P 处的切线的斜率, 即 tan ? ? lim

?x ?0

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x s ? t ? ?t ? ? s ? t0 ? ?s ? lim 0 ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

2、瞬时速度: s ? s ? t ? , 物体在t0时刻的瞬时速度v= lim 3、导数的概念:

函数y=f ? x ? 在x=x0处有增量?x,相应地y有增量?y=f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ?
?y 叫函数y ? f ? x ? 在x0到x0 ? ?x之间的平均变化率, ?x ?y 如果当?x ? 0时, 有极限,就说函数y ? f ? x ? 在点x0 ?x 处可导,并把这个极限叫做f ? x ? 在点x0处的导数 ? 或变化率 ?, 记作f ? ? x0 ? y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x f ? x ? ? f ? x0 ? f ? x0 ? a?x ? ? f ? x0 ? ? lim ? lim x ?0 ?x ?0 x?x a?x
x ? x0

,即f ? ? x0 ? ? lim

4、导函数的概念:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一个 x0 ,都对应着 一个导数 f
?

? x0 ? ,这样 f(x)在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新的函数叫做 f(x)在开区间
f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?y ? lim ,导函数也简称为导数。 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

(a,b)内的导函数,记作 f ? ? x ? ? y? ? lim

5、如果函数 f(x)在点 x0 处可导,那么函数 f(x)在点 x0 处连续,反之不一定成立。如:y= x 在x ? 0处. 连续不可导。 6、导数的几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点

P ? x0, f ? x0 ? ? 处的切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点 P ? x0, f ? x0 ? ? 处的切线的斜率是 f ? ? x0 ? ,相应地切
线的方程是 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? 7、几种常见函数的导数:(1)、常函数的导数为 0,即 C? ? 0 C为常数 ,
n n ?1 (2)、幂函数的导数为 x ? ? nx ? n ? Q ? ,与此有关的如下:

?

?

? ?

1 ?1? ?1 ? ? ? ? x ?? ? ? 2 , x ? x?

?

? ?

? 1? 1 x ? ? ? x2 ? ? , ? ? 2 x
/

?

(3)、 ? sin x ? ? ? cos x, ? cos x ? ? ? sin x ,
x x x x (4)、 a ? ? a ? ln a, ? a ? 0, a ? 1? , e ? ? e ,

? ?

? ?

(5)、 ? log a x ? ? ?

1 1 , ? a ? 0, a ? 1? , ? ln x ? ? ? , x ln a x

1、和、差的导数:f ? x ? ? g ? x ? ? ? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? ? ? 8、导数的运算法则: 2、积的导数:f ? x ? ? g ? x ? ? ? ? f ? ? x ? ? g ? x ? ? g ? ? x ? ? f ? x ? ? ? ? f ?x? ? f ? ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g? ? x ? 3、商的导数: , ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 ? g ?x? ? ? g ? x ?? ? ? ? ?
复合函数的导数:首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是:复合函数对自变量的导数,等于已 知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数,即 y? ? x ? ? y? ?u ? ? u? ? x ? 9、应用导数解有关切线问题: 过某点的切线不一定只有一条; 如: 已知函数 f ( x) ? x ? 3x 过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程
3
?

(答:切点分别为(0,0)(3,18) 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 ) , 。 。 解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点,如果不是切点,应先设切点为 ? x0 , y0 ? 然后写出切线方程:

y ? y0 ? f ?? x0 ?? x ? x0 ? 再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点,则直线求此点的导数得出直线的
斜率。 10、应用导数解函数的单调性问题:(1)、若 f′(x)>0,则 f(x)为增函数, (2)、若 f′(x)<0,则 f(x)为减函数, (3)、若 f′(x)=0 恒成立,则 f(x)为常数函数, (4)、若 f′(x)的符号不确定,则 f(x)不量单调函数, (5)、利用导数法来划分函数的单调区间时,单调增区间,? f′(x)?0 且等号不恒成立。 单调减区间,? f′(x)?0 且等号不恒成立。可利用下列步骤来划分区间:

1)求 f′(x) ,2)求方程 f′(x)=0 的根,设根为 x1 , x2 ,? xn ,3) x1 , x2 ,? xn 将给定区间分成 n+1 个子区间,再在每一个子区间内判断 f′(x)的符号。4)对于方程 f′(x)=0 无意义的点也要考虑。
/ 应用单调性求参数的取值范围时,注意 f (x)=0 的点; 如:设 a ? 0 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在 [1,??) 上单调

函数,则实数 a 的取值范围______(答: 0 ? a ? 3 ) ; 11、应用导数解函数的极值问题:(1)、设函数 f(x)在点 x 0 附近有定义,如果对 x 0 附近所有的点,都有 f(x)<f(x 0 ) ,就说是 f(x 0 )函数 f(x)的一个极大值。记作 y极大值 =f(x 0 ) ,如果对 x 0 附近所有的 点,都有 f(x)>f(x 0 ) ,就说是 f(x 0 )函数 f(x)的一个极小值。记作 y极小值 =f(x 0 ) ,极大值和极 小值统称为极值。 (2)、当函数 f(x)在点 x 0 处连续时, (1)如果在点 x 0 附近左侧 f ? ? x0 ? >0,右侧 f ? ? x0 ? <0,则 f(x 0 ) 是极大值,x 0 是极大值点。 (2)如果在点 x 0 附近左侧 f ? ? x0 ? <0,右侧 f ? ? x0 ? >0,则 f(x 0 )是极小值, x 0 是极小值点。 (3)x 0 是极值点的充要条件是 x 0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x 0 为极值点的既不必要而不充分条件。 如 f ? x ? ? x 在x=0处有极小值0,但f? ?0? 不存在。 但对可导函数 f ? ? x0 ? =0 是 x 0 为极值点的必要而不 充分条件。 12、应用导数解函数的最大值和最小值问题:

在闭区间? a, b ? 上的连续函数f ? x ?,在 ? a, b ? 上必有最大值和最小值。

在开区间? a, b ? 上的连续函数f ? x ? 不一定有最大值和最小值,也不一定有极值。

求极值、最值步

骤:求导数;求 f ?( x ) ? 0 的根;检验 f ?(x ) 在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x)在该根处取极大值;若左负 右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如: (1)函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是______(答:5; ? 15 )(2)已 ;
3 2

知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么 b+c 有最__值__答:大, ?
3 2

15 ) (3)方 2

程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数为__(答:1)
3 2

特别提醒: (1) x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为 极值点的必要而不充分条件。 (2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验 “左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记!如:函数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2在x ? 1处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7)
13、定积分: (1).直线

x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和直线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。

(2). 定积分概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?xn=b 把区间[a,b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,?n)作和式 In=

? f (ξ
i=1

n

i)△x(其

中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分。记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξi)△x。
b a
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做定积分的下限与上限。区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫 做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 (3).定积分的性质: ① ?a kf ( x)dx ? k ?a f ( x)dx(k 为常数) ;
b b

② ③

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

b

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

a a (4) f ? x ? 为偶函数时, a f ? x ? d x ? 2 ? 0 f ? x ? d x , f ? x ? 为奇函数时, a f ? x ? d x ? 0, ?a ?? ?

? 5? f ? x ? 在x轴下方时,定积分为负,f ? x ? 在x轴上方时,定积分为正。
上方的曲边梯形的面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形的面积时,定积分的值为 0。 (4)定积分的计算:如果 f(x)是区间 ?a, b? 上的连续函数,并且
b F ?( x) ? f ( x), 那么 ?a f ( x)dx ? F(b)-F(a)。这个结论叫做微积分

当位于 x 轴

基本定理。

又叫莱面尼兹公式。 称F ( x)为f ( x)的原函数, 为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 (5).定积分求曲边梯形面积
b 由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴及一条曲线 y=f(x)围成的曲边梯的面积 S ? ? a f ? x ? d x ,x

?

b

a

f ( x)dx ? F ? x ? a ? F ?b ? ? F ?a ?
b

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x),及直线 x=a,x=b
b 么所求图形的面积 S ? ? a f1 ? x ? ? f1 ? x ? d x

(a<b)围成,那

.在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图, 定相应的积分区间。

通过解方程组确

(6)定积分的物理应用:.物体做变速直线运动经过的位移 s 等于其速度函数 v=v(t)在时间区间 ?a, b? 上的 定积分 s ? ? a v ? t ? dt 。
b

如果物体沿与变力 F(x)相同的方向移动,那么从位置 x=a 到 x=b 变力所做的功 W ? ? a F ? s ? ds
b

第二十一讲推理与证明 1、 合情推理最常见的是归纳和类比。由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物的全部对象具有 这些特征的推理。或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简言之是从部分到整体, 从个别到一般的推理。由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征推出另一类 对象也具有这些特征的推理称为类比推理。类比推理是从特殊到特殊的推理。 练习: 、观察下图中各正方形图案,每条边上有 n (n ? 2) 个圆圈,每个图案中圆圈的总数是 Sn ,按此 (1) 规律推出:当 n ? 2 时, Sn 与 n 的关系式 .key: n2 ? (n ? 2)2

n?2 S ?4
2

n ?3 S ?8
2 2

n ? 4 S ? 12
2

(2) 观察下式: , 、 1=1 2+3+4=3 , 3+4+5+6+7=5 , 4+5+6+7+8+9+10=7 , 则可得出一般结论: ?,

. key:

n ? (n ?1) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 , n ? N *
(3)类比平面内的直角三角形的性质猜想空间中的类似定理。 2、 演绎推理:从一般性的原理,推出某个特殊情况下的结论。是从一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎 推理的一般模式,它包括: (1)大前提___已知的一般原理。 (2)小前提___所研究的特殊情况。 (3)结论__根据一般原理对特殊情况做出的判断。演绎推理是一个必然性的推理,演绎推理产前提 与结论之间有蕴涵关系,只要大前提、小前提都是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必是真实 的。但错误的前提可能导致错误的结论,推理的形式不对也会导致错误的结论。 3、 综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立。又叫由因导果法或顺推证法。 4、 分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。又叫逆推证法或执因索果法。 5、 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命 题成立。这种方法叫反证法,它是间接证明的基本方法。反证法的一般步骤是: (1)反设:假设所要 证明的结论不成立即结论的反面成立, (2)归谬:由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾__ _与已知条件、已知公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾。 (3)结论:肯定原命题成立。 宜用反证法的题型有: (1)一些基本命题,一些基本定理, : (2)“否定性”命题, “惟一性”命题, (3) (4) “至多” “至少”类命题, (5)涉及“无限”结论的命题。 6、 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。数学归纳法:是证明与自然数集有关的命题,它是在归纳的 基础上进行的演绎推理,所得结论一般是正确的。是不完全归纳法的一种。 数学归纳法的一般步骤是: (1)验证 n ? n0 时,结论正确, n0 是使命题成立的最自然数。 (2)假设当 (3)作结论,由(1) (2)知命题成立。 n ? k ? k ? n0 , k ? N? 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立, 第二十二讲数系的扩充与复数的引入 1、 数的分类:

?虚数集 ? b ? 0(当a=0且b ? 0时为纯虚数) ? ? ?有理数集Q(都可 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?1 q ? ? ? ?自然数 ? ? 整数集Z ? ?? ? ?表示成 p , ? ? ? ? ?正整数 ? ?质数 ?? ? ? ? ? ?? ? (奇数、 ? ?集N ? ? ? ?p,q互为质的整数) ? 集N? ? (素数) ? 复数 ? ? ? ?? ? ? ? ?偶数) ? ? ?? ?合数 ? (有限小数或无限 ? 集C ? ? ?? ?? ? ?? ?? ?负整数集 ? ?循环小数) a+bi ? ? ? ?? ? ?? ? ?分数集 i为虚 ? ?实数集R ? ? ? ?? ?? ? 数单位 ? ?? b ? 0 ? ? ?无理数集 2 ? i ? ?1 ? ?? 正数、、? (无限不循环小数) 0 ?? ? ? ?? a叫实部? ?? 负数 ? ? ? ?? ? ?? b叫虚部 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2、 i
4n

? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, ? n ? Z ? 两个复数相等的充要条件:

x1 , x2 , y1 , y2 ? R, x1 ? y1i ? x2 ? y2i ? x1 ? x2且y1 ? y2 两个复数如果不全是实数,就不能比较大小。
3、共轭复数的概念与性质:当两个复数实部相等且虚部互为相反数时, 这两个复数叫共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭复数。 复数z常用z表示。a+bi与a-bi互为共轭复数。 ?z ? z z1 ? z2 ? z1 ? z2 , z1 ? z2 ? z1 ? z2 , ? 1 ? ? 1 , z ? R ? z ? z ? z2 ? z2

若z ? 0,z是纯虚数 ? z+z ? 0 ? z 2 ? 0, z ? z ? z

2

z ? a+bi, ? a-bi,z ? z ? a 2 ? b 2 , z1 ? z2 ? z1 ? z1为实数 z

4、点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z可用点Z ? a,b? 来表示,这个 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面。
x轴叫实轴,y轴叫虚轴,实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示纯虚数 ?原点除外?
一一对应 复数z ? a ? bi ? a, b ? R ? ???? 复平面内的点Z ? a, b ?,这是复数的一个几何意义。 ?

5、复数的向量表示:任一复数z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与复平面内的点Z ? a, b ? 对应, ??? ? 6、复数的 也可以与以原点为起点,点Z ? a, b ? 为终点的向量OZ对应,这些对应都是一一对应。 ??? ? 向量的长度叫复数的模: ? OZ ? a ? bi ? a 2 ? b 2 z
运算:(1)、复数的加减法则: ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ?b ? d ? i (2)、复数的乘法与除法:乘法注意应用分配律,除法是先写出分式的形式,再分子、分母同时乘以分母的 共轭复数。 ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ac ? bd bc ? ad ? ? ? i ? c ? di ? 0? c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c 2 ? d 2 c 2 ? d 2
2 2 2 特别注意: ?1? x =x ,? 2 ? z1 +z2 =0 ? z1 =z2 =0,这些性质仅当x ? R时成立。 2

7、几个结论:

?1? ?1 ? i ?

2

1? i 1? i ? 1? i ? ? ?2i, ? i, ? ?i, ? ? ? ?i. 1? i 1? i ? 2?

2

? ?1 ? ?1 ? ?12 ? 0 ? 2 ?1 ? ?2 ? ?2 ? 0 -1+ 3i -1- 3i ? 3 , ?2 ? ? ??13 ? ?2 ? 1 , ? 2 ? 若?1 = 2 2 ?1+? +? =0 1 2 ? ? 1 2 ??1 ? ? ? ?2 ? ?1 ? 1
(3) r ? z ? z0 ? r2表示以z0对应的点为圆心,分别以r,r2为半径的圆环。 1 1 (4) d ? z1 ? z2 表示复平面内两点间的距离公式

x2 y 2 ? =1? a ? b ? 0 ? 对应的复数形式是 z ? ci ? z ? ci ? 2a, a 2 b2 (5) 2 x y2 ? 2 =1? a ? ?? b ? 0 ? 对应的复数形式是 z ? ci ? z ? ci ? 2a, a2 b
(6)

实系数方程的虚数根是成对出现的,有理系数方程的无理根也是成对出现的。 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0, a, b, c ? R ? , ? ? 0 ? x1,2 ? ?b ? 2a ?i ,

虚系数方程的求解通常根据复数的相等去求。
第二十三讲计数原理、排列组合与二项式定理 1、分类计数原理(也称加法原理) :完成一件事,有 n 类方法,在第一类方法中有 m 1 种不同的方法,在

第二类方法中有 m 2 种不同的方法,?,在第 n 类方法中有 m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m 1 +m 2 +…+m n 不同的方法。 注:每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能 完成这件事。 分步计数原理 (乘法原理) :完成一件事, 需要 n 个步骤, 做第一步有 m 1 种不同的方法, 做第二步有 m 2 种 不同的方法,?做第 n 步有 m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m 1 m 2 …m n 不同的方法。注:一 步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成 这件事。各步是关联的。 某些复杂的计数问题有时既要用分类计数原理,又要用分步计数原理,分类中有分步,分步中有分类。 2、全错位法,n 个编有号码 1,2,3,?n 的元素,放入编有号码 1,2,3,?n 的 n 个位置,并使元素编号 与位置编号不同,则共有多少种放法?n=1 时,有 0 种,n=2 时有 1 种,n=3 时,有 2 种,n=4 时,有 9 种, n=5 时,有 44 种,…一般, an ? ? n ?1? (an?1 ? an?2 ) , 3、排列的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列。 全排列:把 n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做这 n 个元素的一个全排列。 排列数的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A m 表示。A m =n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)= n n
m m 式(1) An ? (n ? m ? 1) An ?1 ;(2) m m m (4) An ? mAn ?1 ? An?1
m An ?

n! ,规定:0!=1,排列数恒等 ?n ? m?!

n m m m An ?1 ;(3) An ? nAn??1 1 n?m

阶乘:自然数 1 到 n 的连乘积,用 n!=1×2×3×…×n 表示 .

1 ? n ? 1?!, nn ! ? ? n ? 1?!? n ! n ?1 * (1)1!+2!+3!+?+n! n ? 4, n ? N )的个位数字为 ( n ! ? n ? n ? 1? ! ?
x 8

3



(2)满足 A ? 6 A

x ?2 的 8

x=

8

4、组合的概念:从 n 个不同元素中取出 m 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合。 组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的组合数用符号 C m 表示。 n 组合数公式:C m n
m An n m ?1 n(n ? 1).....( ? m ? 1) n n! m = m ? , C n ? C n ?1 ? m m! m!(n ? m)! Am

n m m m 组合数性质: (1)C m = C n ?m , (2) Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 n

1 ?3? Cn ? 2Cn2 ??? nCnn ? n2n?1 (倒序法,或利用 kCnk ? nCnk??11 )
1 ? 4? Ckk ? Ckk?1 ??? Cnk?k ? Cnk??k1?1, ?5? Cn0 ? Cn?1 ? ?? Cnk?k ? Cnk?k ?1

如:

n 1 1 ? ? (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

5、排列组合应用题的最基本的解法有: 1)直接法:以元素为考察对象,先满足特殊元素的要求,再考虑一般元素,称为元素分析法,或以位置 为考察对象,先满足特殊位置的要求,再考虑一般位置,称为位置分析法。如: (1)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数__156_____个; (2)某班上午要上语、数、外和体育 4 门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第一、二节,则不 同排课方案种数为_6____; 先排第一节,再对第二节分类讨论。 (3)四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有 84_____种;② 甲球只能放入第 2 或 3 号盒,而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_96_____种。 (1)分三步:第一步先 选两个空盒,第二步把四个球分成两组,第三步把分成的两组放入余下的两个空盒中。

1 2? 2 2? 1 1 1 (2) C2C3 42 ? 96 C4 ? C4 ? C4 ? A2 ? 84 。 2 ? ?
(4)设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖,将五个杯盖盖在五个 茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有______ 31 ___
5 1 从反面考虑,并用全错位法。 A5 ? 44 ? C5 ? 9 ? 31

2)间接法:先不考虑附加条件,计算出总排列数,再减去不符合要求的排列数。 如(1)正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,能构成多少个直角三角形。
3 C8 ? 8 ? 48

(2) 正方体的八个顶点中任取四个点为四面体的顶点,能构成多少个这样的四面体?
4 C8 ?12(6个表面与6个对角面)=58

(3)在平面直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确定三角形的 个数为_____。15。注意有四点共线与三点共线。 3)先选后排,注意分类讨论。选取问题先选后排法。 如某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试,直到 4 只次品
3 1 4 全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是__。 C4 C6 A4 ? 576

常用技巧有: 1)插空法(不相邻) ,捆绑法(相邻问题) , (1)把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为____2880_; (2)某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为__20_; 先捆绑后插空。 (3)把一同排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是___ 144 __ 连 续 编 号 有 : ( 12 ) ( 23 ) ( 34 ) ( 45 ) ( 56 ) ,
2 4 先分组:C5-4种不能组合的(如?12?? 23?)=6. 6 ? A4= 144

(4)3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_24__种; (5)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目 插入原节目单中,那么不同的插法种数为___ 42 __。

分两步插空:C1 C1=42 6 7

2)插板法(可化为正整数解的问题) ,相同元素分组可采用隔板法。 如(1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个呢? 答 36,15 (2)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成 一运输车队,每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种? 答
6 3 9 个洞,插 6 块板, C9 ? C9 ? 84

3)等分法,如:5 人站队,要求甲站在乙的前面,有多少种不同的站法?60 4)平均分配(n 个元素平均分成 m 组) 。要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除 以 n! 。如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组,若把他们分配到 4 所学校去为学生体检,每所学校需要 一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种(答:37440) ;
2 ? 3 C62C4 ? 4 A ? C6 ? ? A4 ? 37440 2 ? ? 5) n个元素的圆排列数为  ?1?! ?n 4 4

解排列组合问题的依据是: 分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是最后的结果, 只需一种方法就能完成这件事) , 分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都 完成了,才能完成这件事,各步是关联的) , 有序排列,无序组合. 如(1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 243 种; (2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同 的取法共有 70 种; (3)从集合 ?1, 2,3? 和 ?1,4,5,6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的 23 分三类: ? 含 个 , ? 含2个 , ? 不含 。 1 ?3 1 ?1 1 1 ? 2 12 个;
3 2 1 4 1 3

个数是_

__;

(4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有

72=2 ? 3 , C C = 12
(5) ? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶点共 10 个点,以这些点为 顶点,可以构成___ 90 __个三角形; 按含 A 与不含 A 分类。 (6) (涂色问题:用分类讨论法)用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开,允许同一颜 色涂不同区域, 但相邻区域不能是同一种颜色, 则共有 480 种不同涂法; A C B D C A E B D 引伸练习:上题中变为如图 A、B、C、D、E 五块区域,又有多少种不同的涂法。 分类法:分四类: (1)B、C 同色,且 A、D 同色, (2)B、C 同色,且 A、D 不同色, (3)B、C 不 同色,且 A、D 同色, (4)B、C 不同色,且 A、D 不同色,共 1560。 (7)同室 4 人各写 1 张贺年卡,然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式 有 .9 种; (8) f 是集合 M ? ?a, b, c? 到集合 N ? ??1,0,1 的映射,且 f (a) ? f (b) ?

? f (c) ,则不同的映射共有

7

个;列表分类。 组。

(9)满足 A ? B ? C ? {1,2,3,4} 的集合 A、B、C 共有

按1,2, 分四步, ? A B C A , B , A , 3,4 1 可 , , , ? B ? C ? C
2 3 4 C1 +C3 +C3 =7,7 =2401 。 3

? ? ,共 种情况。 A B C 7

6、 (1)二项式定

理:(a+b)

n

=C 0 a + C 1 a n n

n

n ?1

b+?+ C r a n
r

n? r

b +?+C n b n

r

n

n∈N,它共有 n+1 项,其中 C r (r=0,1,2…n) n

叫做二项式系数,C r a n Cr a n
n? r

n? r

b 叫做二项式的通项,用 T r ?1 表示,即通项为展开式的第 r+1 项,T r ?1 =

b ,

r

特别提醒: (1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就
r 是二项式系数。如在 (ax ? b)n 的展开式中,第r+1项的二项式系数为 Cn ,第r+1项的系数为

1 r Cn an?r br ;而 ( x ? ) n 的展开式中的系数就是二项式系数; x
(2)当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数; (3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数? 如 : ( 1 ) (2 x ?
3

1 7 ) 的 展 开 式 中 常 数 项 是 _ x
r ? 0 ? r ? 6 ? 常数项为14 2
3

___ ;

C 2

r 7

7?r

? ?1?

r

x

3? 7 ? r ? ?

r 2

为常数项 ? 3 ? 7 ? r ? ?
4 10

(2) (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) 的展开式中的 x 的系数为______
3



C +C +?+C =C = 330
3 3 3 4 3 10 4 11

? 1 的末尾连续出现零的个数是_ 3 个 ___; 40 (4) ( 7 x ? 2) 展开后所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项共有_ 7 ___项;
(3)数 11
100

3

(5)若 1 ? 6 x ? 15x ? 20 x ? 15x ? 6 x ? x ( x ? N且x ? 21) 的值能被 5 整除,则 x 的可
2 3 4 5 6

取值的个数有__

5

__个; ?1-x ? ? x ? 1,6,11,16, 21
6

(6)若 xy ? 0, 且x ? y ? 1, 二项式 ( x ? y) 9 按 x 降幂展开后,其第二项不大于第三项,则 x 的取值范 围是 ;
1 C9 x8 y ? C92 x 7 y 2 ? x 7 ? 4 x 6 y ? 4 x 6 ? 4 x 7 ? 5 x ? 4 ? x ?

xy ? 0, x ? y ? 1 ? x ?1 ? x ? ? 0 ? x ? 1或x ? 0综合知x ? 1
(7)函数 f ( x) ? (1 ? sin x) ? (1 ? sin x) 的最大值是_______
10 10

4 5
.

2 ?1 ? C sin x ? ? ? C sin x ? ? ? 2,1024?
2 10 2 10 10 10

(2)、在二项式定理中,对 a,b 取不同的值可推出许多常用的式子: (1) (1+x) =1+C 1 x+C 2 x +…+C r x +…+x n n n (2) C 0 + C 1 +?+ C r +?+C n =2 n n n n
n n 2

r

n

(a=1,b=x)

(a=b=1)

4 3 (3) C 0 + C 2 + C n +…= C 1 + C n +…=2 n n n

n ?1

(a=1 b=-1)

? 4?? ax ? b ?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? an x n ? a0 ? bn , an ? a n
n n

a0 ? a1 ? ? ? an ? ? a ? b ? , a0 ? a1 ? ? ? an ? ? a ? b ?
n

应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 ? a ? bx ? 二 项 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 f (1) 、 奇 数 ( 偶 次 ) 项 ” 系 数 和 为 “

1 1 [ f (1) ? f (?1)] ,以及“偶数 (奇次)项”系数和为 [ f (1) ? f ( ?1)] 。 2 2 1 2 2 n n 0 1 2 n 如(1)如果 1 ? 2Cn ? 2 Cn ? ?? 2 Cn ? 2187 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?
n



1 2 n 0 1 2 n 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n Cn ? ?1 ? 2 ? ? 2187 ? 37 ? n ? 7, Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 27 ? 128

k k k ?? k ?1? Cn ? k ? Cn ? Cn ? ? n ? 2? ? 2n?1

0 1 2 n (2)化简 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? (n ?1)Cn 得

(3)已知 (1 ? 3x)9 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a9 x9 ,则 a0 ? a1 ? | a2 | ??? | a9 | 等于__ ; 4 ? 2
9

18

(4) (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a2004 x2004 ,则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) +

? ? (a0 ? a2004 ) =_
a0 ? 1, ? ?1?
2004

____;

? 2003a0 ? 2004

(5)设 (1 ? x ? x 2 ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,则 a0 ? a2 ? ? ? a2n ? _____。

1 1 ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? ? 3n ? 1? ? ? 2 2
(3)、杨辉三角: 1 1 1 1 1 1 4 5 10 6 15 20 3 6 10 15 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
1

2

3

4

5

6

表中除 1 以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。 当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。 (4)、二项式系数的性质:
m n 1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn ?m

2)增减性与最大值:当 r≤

n ?1 n ?1 时,二项式系数 C r 的值逐渐增大,当 r≥ 时,C r 的值逐渐减小,且 n n 2 2

n

在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数 C n2 取得最大值。
n ?1 n ?1

当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 相等并同时取最大值
6 如(1)在二项式 ( x ?1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为_____ ?C11 ? ?462 _

; _。

(2)在 (1 ? x) n 的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则 n =___ 18

(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数 最大的项在上面的基础上再分析符号。 设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 如求 ( x ?

? Ar ? Ar ?1 A 确定 r 。或由 r ?1 来确定。 Ar ? Ar ? Ar ?1

?

Tr ?1 Tr

1 3 10 x ) 的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 2 r ?1? r ? ? C10 ? r ? 1?!?11 ? r ?! ? 1 ? r ? 11 ? r ? 3 2 ? ? r??1 ? 2 ? r !?10 ? r ?! 3 ?1? r ?1 ? ? C10 ?2?
2 3 4

? 1 ? 2 90 ? 1? 3 ? 1 ? 4 105 ? A3 ? ? ? ? C10 ? , A4 ? ? ? ? C10 ? ?15, A5 ? ? ? ? C10 ? 8 8 ? 2? ? 2? ? 2? ? 系数的绝对值最大的项为T4 ? ?15 x ? ?15 x 4 x 105 13 105 4 3 系数最大的项为T5 ? x3 ? x x 8 8
7、二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾 几项进行放缩证明不等式。 如(1)(0.998)5 精确到 0.001 近似值为____0.990 ____; (2) 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 被 4 除所得的余数为__
2 99
2 3 99

9 2

___; __;

与 ? 4-1? +? 4-1? +?+? 4-1? 除以4所得的余数相同, 即为0
(3)今天是星期一,10045 天后是星期___ 二

100 =? 98+2 ? ,2 =8 =? 7+1?
45 45 45 15

15

(4)求证: 3

2 n? 2

? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除;
n

(5) 求证: 3n ? (n ? 2)2 n?1 (n ? N * , 且n ? 2) 6、(1)二项式定理:(a+b) C1 a n Cr a n
n ?1

=C 0 a + n

n

b+?+ C r a n
r

n? r

b +?+C n b n

r

n

n∈N,它共有 n+1 项,其中 C r (r=0,1,2…n)叫做二项式系数, n
n? r

n? r

b 叫做二项式的通项,用 T r ?1 表示,即通项为展开式的第 r+1 项,T r ?1 =C r a n
n

b ,

r

特别提醒: (1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就
r 是二项式系数。如在 (ax ? b) 的展开式中,第r+1项的二项式系数为 Cn ,第r+1项的系数为

1 r Cn an?r br ;而 ( x ? ) n 的展开式中的系数就是二项式系数; x
(2)当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数; (3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?

如 : ( 1 ) (2 x ?
3

1 7 ) 的 展 开 式 中 常 数 项 是 _ x
r ? 0 ? r ? 6 ? 常数项为14 2
3

___ ;

r C7 27?r ? ?1? x r

3? 7 ? r ? ?

r 2

为常数项 ? 3 ? 7 ? r ? ?

(2) (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? ? ? (1 ? x)10 的展开式中的 x 的系数为______



C +C +?+C =C = 330
3 3 3 4 3 10 4 11

? 1 的末尾连续出现零的个数是_ 3 个 ___; 40 (4) ( 7 x ? 2) 展开后所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项共有_ 7 ___项;
(3)数 11
100

3

(5)若 1 ? 6 x ? 15x2 ? 20 x3 ? 15x4 ? 6 x5 ? x6 ( x ? N且x ? 21) 的值能被 5 整除,则 x 的可 取值的个数有__ 5 __个; ?1-x ? ? x ? 1,6,11,16, 21
6

(6)若 xy ? 0, 且x ? y ? 1, 二项式 ( x ? y) 9 按 x 降幂展开后,其第二项不大于第三项,则 x 的取值范 围是 ;
1 C9 x8 y ? C92 x 7 y 2 ? x 7 ? 4 x 6 y ? 4 x 6 ? 4 x 7 ? 5 x ? 4 ? x ?

xy ? 0, x ? y ? 1 ? x ?1 ? x ? ? 0 ? x ? 1或x ? 0综合知x ? 1
(7)函数 f ( x) ? (1 ? sin x)10 ? (1 ? sin x) 10 的最大值是_______

4 5
.

2 ?1 ? C sin x ? ? ? C sin x ? ? ? 2,1024?
2 10 2 10 10 10

(2)、在二项式定理中,对 a,b 取不同的值可推出许多常用的式子: (1) (1+x) =1+C 1 x+C 2 x +…+C r x +…+x n n n (2) C 0 + C 1 +?+ C r +?+C n =2 n n n n
n n 2

r

n

(a=1,b=x)

(a=b=1)
n ?1

4 3 (3) C 0 + C 2 + C n +…= C 1 + C n +…=2 n n n

(a=1 b=-1)

? 4?? ax ? b ?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? an x n ? a0 ? bn , an ? a n
n n

a0 ? a1 ? ? ? an ? ? a ? b ? , a0 ? a1 ? ? ? an ? ? a ? b ?
n

应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 ? a ? bx ? 二 项 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 f (1) 、 奇 数 ( 偶 次 ) 项 ” 系 数 和 为 “

1 1 [ f (1) ? f (?1)] ,以及“偶数 (奇次)项”系数和为 [ f (1) ? f ( ?1)] 。 2 2 1 2 2 n n 0 1 2 n 如(1)如果 1 ? 2Cn ? 2 Cn ? ?? 2 Cn ? 2187 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?
n



1 2 n 0 1 2 n 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n Cn ? ?1 ? 2 ? ? 2187 ? 37 ? n ? 7, Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 27 ? 128

k k k ?? k ?1? Cn ? k ? Cn ? Cn ? ? n ? 2? ? 2n?1

(2)化简 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? (n ?1)Cn 得
0 1 2 n

9 2 9 (3)已知 (1 ? 3x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? ?? a9 x ,则 a0 ? a1 ? | a2 | ??? | a9 | 等于__ ; 4 ? 2
9

18

(4) (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a2004 x2004 ,则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) +

? ? (a0 ? a2004 ) =_

____;

a0 ? 1, ? ?1?

2004

? 2003a0 ? 2004

(5)设 (1 ? x ? x 2 ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,则 a0 ? a2 ? ? ? a2n ? _____。

1 1 ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? ? 3n ? 1? ? ? 2 2
(3)、杨辉三角: 2 1 1 1 1 1 4 5 10 6 15 20 3 6 10 15 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
1

2

3

4

5

6

表中除 1 以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。 当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。 (4)、二项式系数的性质:
m n 1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn ?m

2)增减性与最大值:当 r≤

n ?1 n ?1 时,二项式系数 C r 的值逐渐增大,当 r≥ 时,C r 的值逐渐减小,且 n n 2 2
n

在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数 C n2 取得最大值。
n ?1 n ?1

当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 相等并同时取最大值
6 如(1)在二项式 ( x ?1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为_____ ?C11 ? ?462 _

; _。

(2)在 (1 ? x) 的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则 n =___ 18
n

(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数 最大的项在上面的基础上再分析符号。 设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 如求 ( x ?

? Ar ? Ar ?1 A 确定 r 。或由 r ?1 来确定。 Ar ? Ar ? Ar ?1

?

Tr ?1 Tr

1 3 10 x ) 的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 2 r ?1? r ? ? C10 ? r ? 1?!?11 ? r ?! ? 1 ? r ? 11 ? r ? 3 2 ? ? r??1 ? 2 ? r !?10 ? r ?! 3 ?1? r ?1 ? ? C10 ?2?

? 1 ? 2 90 ? 1? 3 ? 1 ? 4 105 ? A3 ? ? ? ? C10 ? , A4 ? ? ? ? C10 ? ?15, A5 ? ? ? ? C10 ? 8 8 ? 2? ? 2? ? 2? ? 系数的绝对值最大的项为T4 ? ?15 x 2 ? ?15 x 4 x 系数最大的项为T5 ? 105 13 105 4 3 x3 ? x x 8 8
9

2

3

4

7、二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾 几项进行放缩证明不等式。 如(1)(0.998)5 精确到 0.001 近似值为____0.990 ____; (2) 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 被 4 除所得的余数为__
2 99
2 3 99

___; __;

与 ? 4-1? +? 4-1? +?+? 4-1? 除以4所得的余数相同, 即为0
(3)今天是星期一,10045 天后是星期___ 二

100 =? 98+2 ? ,2 =8 =? 7+1?
45 45 45 15

15

(4)求证: 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除; (5) 求证: 3n ? (n ? 2)2 n?1 (n ? N * , 且n ? 2) 6、(1)二项式定理:(a+b) C1 a n Cr a n
n ?1 n

=C 0 a + n

n

b+?+ C r a n
r

n? r

b +?+C n b n

r

n

n∈N,它共有 n+1 项,其中 C r (r=0,1,2…n)叫做二项式系数, n
n? r

n? r

b 叫做二项式的通项,用 T r ?1 表示,即通项为展开式的第 r+1 项,T r ?1 =C r a n

b ,

r

特别提醒: (1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就
r 是二项式系数。如在 (ax ? b)n 的展开式中,第r+1项的二项式系数为 Cn ,第r+1项的系数为

1 r Cn an?r br ;而 ( x ? ) n 的展开式中的系数就是二项式系数; x
(2)当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数; (3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数? 如 : ( 1 ) (2 x ?
3

1 7 ) 的 展 开 式 中 常 数 项 是 _ x
r ? 0 ? r ? 6 ? 常数项为14 2
3

___ ;

r C7 27?r ? ?1? x r

3? 7 ? r ? ?

r 2

为常数项 ? 3 ? 7 ? r ? ?
4 10

(2) (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) 的展开式中的 x 的系数为______
3



C +C +?+C =C = 330
3 3 3 4 3 10 4 11

? 1 的末尾连续出现零的个数是_ 3 个 ___; 40 (4) ( 7 x ? 2) 展开后所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项共有_ 7 ___项;
(3)数 11
100

3

(5)若 1 ? 6 x ? 15x ? 20 x ? 15x ? 6 x ? x ( x ? N且x ? 21) 的值能被 5 整除,则 x 的可
2 3 4 5 6

取值的个数有__

5

__个; ?1-x ? ? x ? 1,6,11,16, 21
6

(6)若 xy ? 0, 且x ? y ? 1, 二项式 ( x ? y) 按 x 降幂展开后,其第二项不大于第三项,则 x 的取值范 围是 ;
9

1 C9 x8 y ? C92 x 7 y 2 ? x 7 ? 4 x 6 y ? 4 x 6 ? 4 x 7 ? 5 x ? 4 ? x ?

xy ? 0, x ? y ? 1 ? x ?1 ? x ? ? 0 ? x ? 1或x ? 0综合知x ? 1
(7)函数 f ( x) ? (1 ? sin x)10 ? (1 ? sin x) 10 的最大值是_______

4 5
.

2 ?1 ? C sin x ? ? ? C sin x ? ? ? 2,1024?
2 10 2 10 10 10

(2)、在二项式定理中,对 a,b 取不同的值可推出许多常用的式子: (1) (1+x) =1+C 1 x+C 2 x +…+C r x +…+x n n n (2) C 0 + C 1 +?+ C r +?+C n =2 n n n n
n n 2

r

n

(a=1,b=x)

(a=b=1)
n ?1

4 3 (3) C 0 + C 2 + C n +…= C 1 + C n +…=2 n n n

(a=1 b=-1)

? 4?? ax ? b ?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? an x n ? a0 ? bn , an ? a n
n n

a0 ? a1 ? ? ? an ? ? a ? b ? , a0 ? a1 ? ? ? an ? ? a ? b ?
n

应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 ? a ? bx ? 二 项 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 f (1) 、 奇 数 ( 偶 次 ) 项 ” 系 数 和 为 “

1 1 [ f (1) ? f (?1)] ,以及“偶数 (奇次)项”系数和为 [ f (1) ? f ( ?1)] 。 2 2 1 2 2 n n 0 1 2 n 如(1)如果 1 ? 2Cn ? 2 Cn ? ?? 2 Cn ? 2187 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?
n



1 2 n 0 1 2 n 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n Cn ? ?1 ? 2 ? ? 2187 ? 37 ? n ? 7, Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 27 ? 128

k k k ?? k ?1? Cn ? k ? Cn ? Cn ? ? n ? 2? ? 2n?1

0 1 2 n (2)化简 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? (n ?1)Cn 得

(3)已知 (1 ? 3x)9 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a9 x9 ,则 a0 ? a1 ? | a2 | ??? | a9 | 等于__ ; 4 ? 2
9

18

(4) (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a2004 x2004 ,则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) +

? ? (a0 ? a2004 ) =_
a0 ? 1, ? ?1?
2004

____;

? 2003a0 ? 2004

(5)设 (1 ? x ? x 2 ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,则 a0 ? a2 ? ? ? a2n ? _____。

1 1 ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? ? 3n ? 1? ? ? 2 2
(3)、杨辉三角: 3 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1 1 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
1

2

3

4

1 1

5 10 6 15 20

10 15

5 6

1 1

(a+b) (a+b)

5

6

表中除 1 以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。 当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。 (4)、二项式系数的性质:
m n 1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ? Cn ?m

2)增减性与最大值:当 r≤

n ?1 n ?1 时,二项式系数 C r 的值逐渐增大,当 r≥ 时,C r 的值逐渐减小,且 n n 2 2
n

在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数 C n2 取得最大值。
n ?1 n ?1

当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 相等并同时取最大值
6 如(1)在二项式 ( x ?1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为_____ ?C11 ? ?462 _

; _。

(2)在 (1 ? x) n 的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则 n =___ 18

(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数 最大的项在上面的基础上再分析符号。 设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 如求 ( x ?

? Ar ? Ar ?1 A 确定 r 。或由 r ?1 来确定。 Ar ? Ar ? Ar ?1

?

Tr ?1 Tr

1 3 10 x ) 的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 2 r ?1? r ? ? C10 ? r ? 1?!?11 ? r ?! ? 1 ? r ? 11 ? r ? 3 2 ? ? r??1 ? 2 ? r !?10 ? r ?! 3 ?1? r ?1 ? ? C10 ?2?
2 3 4

? 1 ? 2 90 ? 1? 3 ? 1 ? 4 105 ? A3 ? ? ? ? C10 ? , A4 ? ? ? ? C10 ? ?15, A5 ? ? ? ? C10 ? 8 8 ? 2? ? 2? ? 2? ? 系数的绝对值最大的项为T4 ? ?15 x ? ?15 x 4 x 系数最大的项为T5 ? 105 13 105 4 3 x3 ? x x 8 8
9 2

7、二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾 几项进行放缩证明不等式。 如(1)(0.998)5 精确到 0.001 近似值为____0.990 ____; (2) 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 被 4 除所得的余数为__
2 99
2 3 99

___; __;

与 ? 4-1? +? 4-1? +?+? 4-1? 除以4所得的余数相同, 即为0
(3)今天是星期一,10045 天后是星期___ 二

100 =? 98+2 ? ,2 =8 =? 7+1?
45 45 45 15

15

? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除; n n?1 * (5)求证: 3 ? (n ? 2)2 (n ? N , 且n ? 2)
(4)求证: 3

2 n? 2

第二十四讲随机就是及其分布 1、如果随机变量可能取的值是可数的,或者说可以按一定次序一一列出的,那么,这样的随机变量叫做 离散型随机变量。如果随机变量可以取某一区间内的一切值,那么这样的随机就是叫做连续型随机变量。 如果离散型随机变量 ? 可能取的值为 x 1 ,x 2 ,x 3 …x n ,…,而 ? 取每一个值 x i (i=1,2,3,…)的概率 P( ? =x i ) =p i ,那么如下表所示

?
p

x1 p1

x2 p2

x3 p3

? ?

xn pn

? ?

就称为随机变量 ? 的分布列。具有下列性质: (1)0≤p i ≤1,(i=1,2,3,…), (2)p 1 +p 2 + p 3 +?p n +? =1(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 2、如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复的试验中这个事件发生 k 次的概率是:
k P ?? ? k ? ? Cn p k ?1 ? p ? n?k

,k=0,1,2,…n.这时因为 P ?? ? k ? 是 ? p ? q ? 展开式中的第 k+1 项,称 ? 服从
n

k 二项分布,记作 ? ? B ? n, p ? ,并记 Cn pk qn?k ? b ? k , n, p ?

n=1 时,称为贝努利分布。 3、在独立重复的试验中,某事件第一次发生时所作试验的次数 ? 也是一个取值为正整数的离散型随机变 量, ? =k”表示在第 k 次独立重复的试验时事件第一次发生。如果把第 k 次试验时事件 A 发生记为 Ak , “ 事件 A 不发生记为 Ak , P ? Ak ? ? p, P Ak ? q ,那么 ? 服从几何分布。 记 g ? k , p ? ? P ?? ? k ? ? P A1 A2 ? Ak ?1 Ak ? P A1 P A2 ? P Ak ?1 P ? Ak ? ? q 其中 q=1-p,k=1,2,3,? 4、称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 为 ? 的数学期望或平均数,均值,数学期望又简称为期望,它反 映了随机变量取值的平均水平。 称 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? ? 为 ? 的均方差,简称为方差, D? 叫做
2 2 2

? ?

?

?

? ? ? ?

?

?

k ?1

p

随机变量 ? 的标准差,记作: ?? 。
2 易证: (1) D? ? E ?? ? E? ? , E? ? E? ? ? E? ? 。 2 2

(2)若

? ? a? ? b,? P ?? ? axi ? b ? ? P ?? ? xi ? , i ? 1, 2,3, ?

? E ? a? ? b ? ? aE? ? b, D ? a? ? b ? ? a 2 D? ,

(3)若 ? ? B ? n, p ? , 那么E? ? np, D? ? npq , ?q ? 1 ? p ?

(4)若 ? 服从几何分布,则 E? ?

1 q , D? ? 2 p p

如(1)有一组数据:x1,x2,?,xn(x1≤x2≤?≤xn),它们的算术平均值为 20,若去掉其中的 xn,余下数据 的算术平均值为 18,则 xn 关于 n 的表达式为 。

xn ? 20n ?18 ? n ?1? ? 2n ?18

(2)已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2 ? 4 ,则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的平均数和 标准差分别为 6 C.15,6 5、条件概率定义 ( D.22,36 :设 A 和 B 为两个事件,P(A)>0,那么,在“A 已发生”的条件下,B 发生的条件概率 D ) A. 36 15, B. 22,

P( B | A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

P( B | A) ?

P( AB) . P( A)

由这个定义可知,对任意两个事件 A、B,若 P( B) ? 0 ,则有

P( AB) ? P( B | A) ? P( A) .
如果 B,C 是两个互斥事件,则 P( B ? C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) . 练习:一个正方形被平均分成 9 个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中) ,设投 中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A,投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件 记为 B,求 P(AB) ,P(A︱B) P ? AB ?= ,P A B = 。 。 6、正态分布:(1)定义:如果随机变量 ? 的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定:
? 1 f ? x? ? e 2??

1 9

?

?

1 4

? x ? ? ?2
2? 2

,x∈R,则称 ? 服从正态分布,这时的总体分布叫正态分布,其中 ? 表示总体平均

2 数,? 叫标准差,正态分布常用 N ? , ? 来表示,当 ? =0,? =1 时,称 ? 服从标准正态分布,这时的

?

?

x ? 1 总体叫标准正态总体。 f ? x ? ? e 2 2??
? 1 e (2)、正态曲线 f ? x ? ? 2??

2

x ? R 叫标准正态曲线。

? x ? ? ?2
2? 2

,x∈R 的有关性质:1)曲线在 x 轴上方,与 x 轴永不相交,曲线与

x 轴之间的部分的面积为 1,2)曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x= ? 两旁延伸时无限接近 x 轴,3)曲线 在 x= ? 处达到最高点,峰值为

1 , (4)当 ? 一定时,曲线形状由 ? 的大小来决定, ? 越大,曲线 ? 2?

越“矮胖” ,表示总体分布比较离散, ? 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体分布比较集中。

(3)、在标准正态总体 N(0,1)中: (1) ? ? x0 ? ? p ? x ? x0 ? , ? 2?? ? x0 ? ? 1 ? ? ? ?x0 ? (因为曲线关于 y 轴对称) (4) 、

? ?? ? x?? ? 2 F ? x? ? ? ? ? N ? 0,1? ? , p ? a ? x ? b ? ? F ?b ? ? F ? a ? , ? ? N ? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ?
(5) 、
3? ? ? N ? u, ? 2 ? ? p ? u ? 3? ? ? ? u ? 3? ? ? ? u ?3? ?u ,? ? x ? d x ? 0.997, u?

p ? u ? 2? ? ? ? u ? 2? ? ? 0.9544, p ? u ? ? ? ? ? u ? ? ? ? 0.6826,
第二十五讲统计案例 1、 回归直线方程通过样本点的中心:

? ? bx ? a, 其中b ? y

? ? x ? x ?? y ? y ? ? x y ? nx y
n n i ?1 i i

??
n i ?1

xi ? x

?

2

?

i ?1 n

i

i

? xi 2 ? nx
i ?1

, a ? y ? bx.

2

b是回归直线方程的斜率, a是截距回归直线总通过点 x, y 。 .
线性相关系数:

? ?

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

?? x ? x? ?? y ? y?
n 2 n i ?1 i i ?1 i

2

? r ? 1? , r ? 0.75时认为有很强的线性相关。

2、散点图的作用是判断两个变量更近似于什么样的函数关系。 3、回归分析中回归效果的判定: ①总偏差平方和: ③残差平方和:

?( y ? y)
i ?1 i

n

2

? ? ②残差: ei ? yi ? yi ;

? ? ?2 ? ? ? Q a, b ? ? ( yi ? yi )2 , 常用? = 1 Q a, b 作为? 2的估计量. n?2 i ?1
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较适合。带状区域越窄,模拟效果 越好。如果某个样本点的残差特别大,那要考虑该数据的采集是否有误。 ④相关指数

? ?

n

? ?

R2 ? 1 ?

? ?(y ? y )

n

2

?(y ? y )
i ?1 i i

i ?1 n

i

i

, R的值越大,残差的平方和越小,拟合效果越好。
2

4、 两个分类变量 x,y 的独立性检验的依据是判断等式 P ? AB?=P ? A? P ? B? 是否成立。

了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及初步应用. .. A 总计

A

B

B
总计
2

a c a+c

b d b+d
2

a+b c+d n=a+b+c+d

n ? ad ? bc ? K ? , k ? 6.635 ? P ? K 2 ? 6.635 ? ? 0.01 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? ? 1?的把握认为这两个变量没有关系。99?的把握认为这两个变量有关系。 把k ? k0解释为有 1 ? P ? K 2 ? k0 ? ? 的把握认为这两个变量有关系。k0为一 个判断规则的临界值。
第二十六讲坐标系与参数方程 1、 自觉运用坐标法解几何题 练习: (1)用坐标法证明三角形的三条高交于一点, (2)在已知三角形所在的平面内找一点,使它到各顶 点的距离的平方和最小。 2、 平面直角坐标系中的伸缩变换: (1)

?

?

的作用下,点P ? x, y ? 对应于点P / ? x / , y / ?, ?x/ ? ? x ? 函数f ? x ? 在变换? : ? / ?y ? ? y ?

? x/ ? ? x ? 设点P ? x, y ? 是平面直角坐标系内的任意一点,在变换? : ? / ?y ? ?y ?

? ? ? 0? ? ? ? 0?

? ? ? 0? y/ 下得到 ? ? ? ? 0?

?1 ? ? f ? x/ ? ?? ?

(2)将 y=f(x)的横坐标变为原来的 a 倍,纵坐标变为原来的 m 倍,得到 y ? mf ?

? x? ? ?a?

? x / ? ax ? x/ ? ? y / ? mf ? ? 即 y ? f ? x? ? / ? y ? my ? ?a? ? ???????????????
(3)直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线。但可以改变直线的倾斜角, 双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置。圆和椭圆可以通过伸缩变换进行转化。 3、 极坐标系: 极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系,它由极点 O 与极轴 Ox 组成。 对于平面内任一点 P,若设? OP? (? ,以 Ox 为始边,OP 为终边的角为? =? 0) ,则点 P 可用有序数对(? , ? )表示, (由于角? 表示方法的多样性,故(? )的形式不唯一,即一个点的极坐标有多种表达形式) ,? 。 对于极点 O,其极坐标为(0,? ,? ) 为任意值,但一般取? =0,即极点的极坐标为(0,0) 。 4、. 极坐标与直角坐标的互化: 互化的前提条件: (1)极点与原点重合; (2)极轴与 x 轴正方向重合; (3)取相同的单位长度。 设 点 P 的直角坐标为(x,y) ,它的极坐标为(? ) ,? ,则

?? 2 ? x 2? y s ?x ? ? c o ? ? 或? ? y ? ?y ? ? s i n ?tg? ? x ?

2

若把直角坐标化为极坐标,求极角? 时,应注意判断点 P 所在的象限(即角? 的终边的位置) ,以便正 确地求出角? 。 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 5.四类直线的极坐标方程: (1)直线过极点且倾斜角为 ?: ?=? : (2)直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴: ? cos ? ? a (3)直线过 M (b, ) 且平行于极轴: ? sin ? ? b ( 4 ) 若 直 线 过 点 M ( ?0 ,?0 ) , 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为

? 2

? ,则它的方程为:

? sin(???) ? ?0 sin(?0 ??) ?用正弦定理推导?
6、几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点: ? ? r , (2)当圆心位于 M (r ,0) : ? ? 2r cos? , (3)当圆心位于 M ( r ,

?
2

):

? ? 2r sin ? ,
(4)若圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆方程为:

? 2 ? 2?0 ? cos(? ??0 ) ? ?02 ? r 2 ? 0(用余弦定理推导)
7、

圆锥曲线统一的极坐标方程? ?

ep ,注意极点是对应于焦点。 1 ? e cos ?

利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题。 8、 柱坐标系与球坐标系: 如图在空间直角坐标系 O-xyz 内,设 P 产空间任意一点,它在 Oxy 平面上的射影为 Q,用 这时 ? ?,? ?? ? ? 0,0 ? ?? ? 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标, P 点的位置可用有序实数组 ? ?,? , z ?? z ? R? 表示,这样建立了空间的点与有序实数组 ? ? ,? , z ?? z ? R ? 之间的一种对应关系。上述对应关系的坐标系 叫柱坐标系,有序实数组 ? ? ,? , z ?? z ? R ? 叫柱坐标。 柱坐标系又称半极坐标系。 如 图 中 设 OP 与 Oz 轴 正 方 向 的 夹 角 为 ? , 则 P 点 的 位 置 可 用 有 序 实 数 组

? r,?,? ?? r ? 0,0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? 2? ? ? r,? ?, ?? r ?
0 ? ?? ?, 0

表 示 , 这 种 对 应 的 坐 标 系 叫 球 坐 标 系 ,

? ? ?, ? ? 叫球坐标。 ? 称被测点的方位角, 900 ? ? 称为高低角。球坐标系 0 2

又叫空间极坐标系。

9、参数方程与普通方程的区别与联系: 在求曲线的方程时,一般地需要建立曲线上动点 P(x,y)的坐标 x,y 之间满足的等量关系 F(x,y) =0,这样得到的方程 F(x,y)=0 就是曲线的普通方程;而有时要想得到联系 x,y 的方程 F(x,y)= 0 是比较困难的,于是可以通过引入某个中间变量 t,使之与曲线上动点 P 的坐标 x,y 间接地联系起来, 此 时 可 得 到 方 程 组

? x ? f (t ) ,即点P的运动通过变量t的变化进行描述。若对t的每一个值,由方程组确定的点 ? ? y ? ? (t ) (x,y)都在曲线C上;反之对于曲线C上的每一个点(x,y),其中x,y都是t的函数, ? x ? f (t ) 则把方程组 ? 叫做曲线C的参数方程,其中的t 称为参数。 ? y ? g (t )
显然,参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别,更大的区别是普通方程反映了曲 线上任一点坐标 x,y 的直接关系,而参数方程则反映了 x,y 的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别, 但他们之间又有着密切的联系, 这种联系表现在两方面: (1) 这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式,是同一事物的两个方面; (2)这两种方程之间可以进行 互化,通过消参可以把参数方程化为普通方程,而通过引入参数,也可把普通方程化为参数方程。需要注 意的是,在将两种方程互化的过程中,要注意两种方程(在表示同一曲线的)等价性,即注意参数的取值 范围对 x,y 的取值范围的影响。 实质上,参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法,因此也可认为引入参 数就是引入函数的自变量。参数法在求曲线的轨迹方程,以及研究某些最值问题时是一种常用的甚至是简 捷的解题方法。 10、 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等 式(三角的或代数的)消去法。要注意整体代入法及参数的取值范围对 x,y 的取值范围的影响。 11、 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x=f(t)(或 y=? ,再代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y=? (t)) (t)(或 x=f(t)) 。一般地,常选择的参数有角 (如圆、椭圆、双曲线) 、有向线段的数量(如直线) 、斜率(抛物线是以斜率的倒数为参数) ,某一点的 横坐标(或纵坐标) 。 12. 常见曲线的参数方程的一般形式: (1)经过点 P0(x0,y0) ,倾斜角为? 的直线的参数方程为

? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) 称为直线的标准参数方程。 ? ? y ? y0 ? t sin ?

设P是直线上的任一点,则t表示有向线段P P 0 的数量
经过点 P0(x0,y0) ,以 ? a, b ? 为方向向量的直线的参数方程为
? x ? x0 ? at 称为直线的一般参数方程。 (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt

此式中的 t ?

???? ? a 2 ? b2 p0 p 。

利用直线的参数方程,研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算,有时比较方便。方法是:
?x ? x 0 ? t cos ? 把l: ? 代入圆锥曲线C:F(x,y) ? 0,即可消去x,y; ?y ? y 0 ? t sin ?

而得到关于t的一元二次方程:at 2 ? bt ? c ? (a ? 0) 0
则(1)当△<0 时,l 与 C 无交点; (2)当△=0 时,l 与 C 有一公共点; (3)当△>0 时,l 与 C 有两 2 个公共点;此时方程 at +bt+c=0 有两个不同的实根 t1、t2,把参数 t1、t2 代入 l 的参数方程,即可求得 l 与 C 的两个交点 M1、M2 的坐标;另外,由参数 t 的几何
意义,可知弦长 M1M 2 ? t1 ? t2 ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2。

(2) 圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程

? x ? a ? r cos ? 2 2 圆? x ? a ? + ? y ? b ? =r2的参数方程为? (? 为参数) ? y ? b ? r sin ?
椭圆 ? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ?1 的参数方程为? (? 为参数) 2 a b ? y ? b sin ? ? x ? a sec ? x2 y 2 ? 2 ?1 的参数方程为? (?为参数) 2 a b ? y ? btg?

双曲线

? x ? 2 pt 2 抛物线y 2 ? 2 px的参数方程为 ? (t为参数) ? y ? 2 pt
(3)摆线: 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点 P 的轨迹是什么? 我们把定点 P 的轨迹叫做平摆线,又叫旋轮线。 平 旋

y
?

A C B E x

P O D

? x ? r ?? ? sin ? ? ? ? OB ? BP的长,P ? x, y ? , ?BAP ? ? ? ? ?为参数 ? y ? r ?1 ? cos ? ? ?
(4)圆的渐开线:

???? ? ???? ? BM ? ? 的长=r? , BM ? ? x ? r cos ? , y ? r sin ? ? , AB ?? ??? ? e1 ? ? cos ? ,sin ? ? 是与OB同向的单位向量, ?? ? ???? ???? ? ?? ? e2 ? ? sin ? ,-cos ? ? 是与BM同向的单位向量, ? BM ? ? r? ? e2 ? x ? r ? cos ? ? ? sin ? ? ? ? ? r? ?? sin ? ,-cos ? ?=? x ? r cos ? , y ? r sin ? ? , ? ? ? y ? r ? sin ? ? ? cos ? ? ?

M y

B

?
O A

x

第二七讲不等式选讲 一、柯西不等式:1、定理 1: (柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数,则

(a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ,
其中等号当且仅当 ad ? bc 时成立。 几何意义: ? , 为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量, 设 它们的终点分别为 A a, b ) B c, d ) ( , ( , ? 那么它们的数量积为 ? ? ? ? ac ? bd , 而 | ? |?

a 2 ? b 2 , | ? |? c 2 ? d 2 ,

所以柯西不等式的几何意义就是: | ? | ? | ? |?| ? ? ? | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 2、定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 为平面上的两个向量,则 | ? | ? | ? |?| ? ? ? | ,其中等号当 且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。 3、定理 3: (三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数,则:

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y 2 ? y3 ) 2 ? ( x1 ? x3 ) 2 ? ( y1 ? y3 ) 2
思考:三角形不等式中等号成立的条件是什么? 4、定理 4: (柯西不等式的推广形式) :设 n 为大于 1 的自然数, ai , bi ( i ? 1,2,?, n )为任意实数, 则:

? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

其中等号当且仅当 ? (? ai bi ) 2 ,
i ?1

n

b b1 b2 (当 ai ? 0 时, 约定 bi ? 0 , ? ? ? ? n 时成立 a1 a2 an

i ? 1,2,?, n ) 。
证明:构造二次函数: f ( x) ? (a1 x ? b1 ) 2 ? (a2 x ? b2 ) 2 ? ? ? (an x ? bn ) 2

即构造了一个二次函数: f ( x) ? (

? ai ) x 2 ? 2(? ai bi ) x ? ? bi
2 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

2

由于对任意实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,则其 ? ? 0 ,

即: ? ? 4(

?a b )
i ?1 i i

n

2

? 4(? ai )(? bi ) ? 0 ,
2 2 i ?1 i ?1

n

n

即: (

? aibi )2 ? (? ai )(? bi ) ,
2 2 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

等号当且仅当 a1 x ? b1 ? a2 x ? b2 ? ? ? an x ? bn ? 0 ,

即等号当且仅当

b b1 b2 。如果 a i ? ? ? ? n 时成立(当 ai ? 0 时,约定 bi ? 0 , i ? 1,2,?, n ) a1 a2 an

( 1 ? i ? n )全为 0,结论显然成立。 柯西不等式有两个很好的变式:
2 (? a i ) 2 ai ? 变式 1 设 ai ? R, bi ? 0(i ? 1,2,?, n), ? ,等号成立当且仅当 i ?1 bi ? bi n

bi ? ?ai (1 ? i ? n)
2 a i (? a i ) ? 变式 2 设 ai ,bi 同号且不为 0(i=1,2,?,n) ,则: ? ,等号成立当且仅当 i ?1 bi ? ai bi n

b1 ? b2 ? ? ? bn 。
二、排序不等式:1、基本概念: 一般地,设有两组实数: a1 , a2 , a3 ,?, an 与 b1 , b2 , b3 ,?, bn ,且它们满足:

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤?≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤?≤ bn ,
若 c1 , c2 , c3 ,?, cn 是 b1 , b2 , b3 ,?, bn 的任意一个排列,则和数 a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn 在 a1 ,

a2 , a3 ,?, an 与 b1 , b2 , b3 ,?, bn 同序时最大,反序时最小,即:

a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 ,
等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时成立。 三、均值不等式:①.如果 a1 , a2 ,?, an ? R ? , n ? 1且n ? N ? 则: 算术平均数, n a1 a 2 ? a n 叫做这 n 个正数的几何平均数; ②.基本不等式:

a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这 n 个正数的 n

a1 ? a 2 ? ? ? a n n * ? ≥ a1 a 2 ? a n ( n ? N , ai ? R ,1 ? i ? n ) n

语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③.

a?b ? ab 的几何解释: 2
则 CD ? CA ? CB ? ab ,
2

以 a ? b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过 C 作弦 DD’?AB

从而 CD ?

ab ,而半径

a?b ? CD ? ab 。 2

D

A

a O C b

B

四、琴生不式:在 1905 年给出了一个定义: 1、设函数 f (x) 的定义域为[a,b],如果对于[a,b]内任意两数 x1 , x 2 ,都有

? x ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f? 1 . ?? 2 ? 2 ?

(1)

则称 f (x) 为[a,b]上的凸函数。若把(1)式的不等号反向,则称这样的 f (x) 为[a,b]上的凹函数。凸函数的 几何意义是:过 y ? f (x) 曲线上任意两点作弦,则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。 2、其推广形式是:若函数 f (x) 的是[a,b]上的凸函数,则对[a,b]内的任意数 x1 , x2 ,? xn ,都有

? x ? x2 ? ? ? xn ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) f? 1 . ?? n n ? ?

(2)

当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立。一般称(2)式为琴生不等式。 3、更为一般的情况是:设 f (x) 是定义在区间[a,b]上的函数,如果对于[a,b]上的任意两点 x1 , x 2 ,有

pf ( x1 ) ? qf ( x2 ) ? f ( px1 ? qx2 ),
? 其 中 p, q ? R , p ? q ? 1 , 则 称 f (x) 是 区 间 [a,b] 上 的 凸 函 数 。 如 果 不 等 式 反 向 , 即 有

pf ( x1 ) ? qf ( x2 ) ? f ( px1 ? qx2 ), 则称 f (x) 是[a,b]上的凹函数。
4 、 其 推 广 形 式 , 设 q1 , q2 ,?, qn ? R ? , q1 ? q2 ? ? ? qn ? 1 , f (x) 是 [a,b]上 的 凸 函 数 , 则对 任 意

x1 , x2 ,?, xn ? [a, b], 有 f (q1 x1 ? q2 x2 ? ? ? qn xn ) ? q1 f ( x1 ) ? q2 f ( x2 ) ? ? ? qn f ( xn ) ,
当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立。 若 f (x) 是凹函数,则上述不等式反向。该不等式称为琴生(Jensen)不等式。把琴生不等式应用于一些具 体的函数,可以推出许多著名不等式。 五、放缩法与贝努利不等式

在用放缩法 证明不等式时,有时需 要“舍掉几个正项”以 便达到目的。就是说, 如果在和式

a ? b ? c ? d ? e 里 d和e 都 是 正 数 , 可 以 舍 掉 d和e , 从 而 得 到 一 个 明 显 成 立 的 不 等 式 a?b?c?d ?e ? a?b?c. 例如,对于任何 x ? 0 和任何正整数 n ,由二项式定理可得 n(n ? 1) 2 n(n ? 1)( n ? 2) 2 (1 ? x) n ? 1 ? nx ? x ? x ??? xn. 1? 2 1? 2 ? 3
舍掉等式右边第三项及其以后的各项,可以得到不等式: (1 ? x) n ? 1 ? nx . 在后面章节的学习中,我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当 n 是正整数 的时候成立,而且当 n 是任何大于 1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。 在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式:设 x ? ?1 ,则在 ? ? 1 或 ? ? 0 时,

(1 ? x)? ? 1 ? ?x ,在 0 ? ? ? 1 时, (1 ? x)? ? 1 ? ?x.



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