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安徽省皖南八校2014届高三第二次模拟考试 理科数学



2014 届皖南八校高三第二次联考

数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 A 6 D 7 B 8 C 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ?5120

r />? a2 12. 4
13.

2 ?1

14. (??,1] ? [2 2 ? 4, ??) 15. ②③⑤ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式

x2 cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集.
(Ⅰ)求角 C 的最大值; (Ⅱ)若 c ?

7 3 , ?ABC 的面积 S ? 3 ,求角 C 取最大值时 a ? b 的值. 2 2
?cos C ? 0 , ?? ? 0

解: (Ⅰ)显然 cosC ? 0 不合题意, 则 ?

?cos C ? 0 ?cos C ? 0 1 ? 即? , 即? 1 解得: cos C ? 2 2 ?16sin C ? 24 cos C ? 0 ?cos C ? ?2或 cos C ? 2 ? 故角 C 的最大值为 60? . -------------------- 6 分 1 3 3 ab ? 3 ,∴ ab ? 6 , (Ⅱ)当 C = 60? 时, S?ABC ? ab sin C ? 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b) ? 2ab ? 2ab cos C , 121 11 2 2 ∴ (a ? b) ? c ? 3ab ? ,∴ a ? b ? . -------------------- 12 分 4 2

17. (本题满分 12 分)从正方体的各个表面上的 12 条面对角线中任取两条, ? 为两条面对角线所成的 设 角(用弧度制表示) ,如当两条面对角线垂直时, ? ? (Ⅰ)求概率 P(? ? 0) ; (Ⅱ)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

?
2



解: (Ⅰ)当 ξ=0 时,即所选的两条面对角线平行.则 P(ξ=0) ?

6 1 = .-------- 4 分 2 C12 11

(Ⅱ)ξ=0,

? ?

, ; 3 2
6 48 8 12 2 1 ? ? = , P(ξ= )= 2 = , P(ξ= )= 2 = ; 2 C12 11 C12 11 C12 11 3 2
0

P(ξ=0)=

ξ P

1 11

? 3 8 11

? 2 2 11
-------------------- 10 分

Eξ= 0 ?

1 ? 8 ? 2 ? ? ? ? ? ? . 11 3 11 2 11 3

-------------------- 12 分

18. (本题满分 12 分)已知 ABCD 是正方形,直线 AE ⊥平面 ABCD ,且 AB ? AE ? 1 , (Ⅰ)求二面角 A ? CE ? D 的大小; (Ⅱ)设 P 为棱 DE 的中点,在 ?ABE 的内部或边上 是否存在一点 H ,使 PH ? 面ACE ,若存在,
A
C

B

E
P

求出点 H 的位置,若不存在说明理由. 解:方法一: (Ⅰ)因为 AC ? (1, 0, 1)? , CE ? (?1, 1, ? 1) ,
?x ? z ? 0 设平面 ACE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? , ?? x ? y ? z ? 0
D

????

令 x ? 1 ,得 n1 ? (1, 0, ? 1) ,同理得平面 CDE 的法向量为 n2 ? (1, 1, 0) , 所以其法向量的夹角为 60? ,即二面角 A ? CE ? D 为 60 .---------------- 6 分
?

1 1 1 1 (Ⅱ)∵ P( , ,0) ,设 H (0, y, z) , y ? 0 , z ? 0 , y ? z ? 1) ( ,则 PH ? (? , y ? , z ) . 2 2 2 2

? PH ? AC ? 0 ? 由 PH ? 面 ACE ,得 ? ? PH ? CE ? 0 ?

1 ? ? ? 2 ? z?0 1 ?? ?y?z? . 1 1 2 ? ? y? ?z?0 2 ?2

1 1 ∴存在点 H (0, , ) (即棱 BE 的的中点) ,使 PH ? 面 ACE .------------- 12 分 2 2

方法二: (Ⅰ)连结 AC, BD 交于 O ,则 DO ? 面 ACE , 作 OM ? CE 于 M ,连结 DM ,则 ?OMD 就是 二面角 A ? CE ? D 的平面角.
2 OD 3 . ?OMD = 60? , sin ?OMD ? ? 2 ? DM 2 2 3
D
C

B

I G M H
E P

O
A

F

∴二面角 A ? CE ? D 为 60? . (Ⅱ)存在 BE 的中点 H ,使 PH ⊥平面 ACE .

PH 是△ BDE 中位线, PH // BD ,而 BD ? 面 ACE ,故 PH ⊥平面 ACE .
19. (本题满分 13 分)数列 ? an ? :满足 a1 ? 6 , an ?1 ? an ? 4an ? 2, (n ? N *)
2

(Ⅰ)设 Cn ? log 2 (an ? 2) ,求证 ?C n ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

1 1 7 ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? 1 . a n ? 2 a n ? 4a n 30

2 * 2 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? an ? 4an ? 2, (n ? N ) 得 a n ?1 ? 2 ? (a n ? 2) ,

log 2 (an ?1 ? 2) ? 2log 2 (an ? 2) ,即 Cn ?1 ? 2Cn ,
∴ {Cn } 是以 2 为公比的等比数列; (Ⅱ) 由 C1 ? 3 , Cn ? 3?2 ∴ an
n ?1

-------------------- 4 分
3?2n?1

即 an ? 2 ? 2

, -------------------- 8 分

? 23?2 ? 2

n ?1

(Ⅲ) bn ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? a n ? 2 a n ? 4a n a n ? 2 a n ?1 ? 2 1 1 1 1 ? ? ? 3?2n a1 ? 2 a n ?1 ? 2 4 2 ?4
-------------------- 13 分

Tn ?



7 1 ? Tn ? . 30 4
2 2 2

20. (本题满分 13 分) 已 知 命 题 “ 若 点 M ( x0 , y0 ) 是 圆 x ? y ? r 上 一 点 , 则 过 点 M 的 圆 的 切 线 方 程 为

x0 x ? y0 y ? r 2 ” .
(Ⅰ)根据上述命题类比: “若点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 切线方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,则过点 M 的 a 2 b2

.(写出直线的方程,不必证明) ” .

(Ⅱ)已知椭圆 C :

x y 3 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且经过点(1, ) 2 a b 2

(ⅰ)求椭圆 C 的方程; (ⅱ)过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作椭圆的两条切线,求其交 点的轨迹方程.

解: (Ⅰ)

x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b
x2 y2 ? ? 1; 4 3

-------------------- 3 分

(Ⅱ) (ⅰ)

-------------------- 7 分

(ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,

x1 x y1 y ? ?1 4 3 xx y y 椭圆在点 B 的切线方程为: 2 ? 2 ? 1 4 3
则椭圆在点 A 处的切线方程为: 联解方程① ②得: x ?

① ②

4( y2 ? y1 ) 4k ( x2 ? x1 ) ? ? ?4 , x1 y2 ? x2 y1 x1k ( x2 ? 1) ? x2 k ( x1 ? 1)
-------------------- 11 分

即此时交点的轨迹方程: x ? ?4 .

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 A (?1, ) B(?1, ? ) ,经过 AB 两点的切线交点为 (?4,0) 综上所述,切线的交点的轨迹方程为: x ? ?4 . -------------------- 13 分

3 2

3 2

21. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ?

ln x , a?R ) ( x

(Ⅰ)若 f ( x) 在定义域上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? xf ( x) 有唯一零点,试求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 ? ln x ax 2 ? ln x ? 1 , ? x2 x2

2 ∴ f ?( x) ? 0, ?x ? 0 ,∴ ax ? ln x ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,

∴a ?

ln x ? 1 , x2

-------------------- 2 分

1 2 x ? 2 x(ln x ? 1) 3 ln x ? 1 3 ? 2ln x x 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? ? ? 0 有根: x0 ? e 2 , x2 x4 x3
x ? (0, x0 ) , h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 单增; x ? ( x0 , ??) , h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 单减;
∴ a ? (h( x)) max ? h( x0 ) ? (Ⅱ)方法一: 由题 g ( x) ? xf ( x) ? ax ? x ? ln x ? 0 ,即 a ?
2

-------------------- 5 分 -------------------- 6 分

1 ; 2e3

? x ? ln x ,即函数 y ? a 与函数 y ? ? ( x) 有唯一交点;----------- 9 分 x2 1 (?1 ? ) x 2 ? (? x ? ln x)2 x x ? 1 ? 2ln x x ; ? ?( x) ? ? 4 x x3 2 再令 R( x) ? x ? 1 ? 2ln x , R?( x) ? 1 ? ? 0, ?x ? 0 ,且易得 R(1) ? 0 , x
令 ? ( x) ? 故,当 x ? (0,1) 时, R( x) ? 0 , ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, R( x) ? 0 , ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 单调递增; 即 ? ( x) ? ? (1) ? ?1 , 又当 x ? 0 时, ? ( x) ? ?? ,

? x ? ln x 有唯一正实数根; x2

y =? ( x)

1
而当 x ? ?? 时, ? ( x) ? 0 且 ? ( x) ? 0 , 故满足条件的实数 a 的取值范围为: {a | a ? 0, 或a ? ?1} .
O

x

?1

草图

-------------------- 13 分 方法二:

g ( x) ? xf ( x) ? ax 2 ? x ? ln x ? 0 有唯一正实数根,

g ?( x) ? 2ax ? 1 ?

1 2ax 2 ? x ? 1 ,记 ? ? 1 ? 8a ; ? x x

(ⅰ)若 a ? 0 , g ?( x) ? 又 g (e ) ? e (ⅱ)若 a ?
?2 ?2

x ?1 ? 0, ?x ? 0 ,即函数 y ? g ( x) 在定义域上单调递增, x

? 2 ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 ,即函数 y ? g ( x) 有唯一零点;

1 2 即 ? ? 0 ,则 2ax ? x ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0, ?x ? 0 , 8

又当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,而当 x ? ?? 时, g ( x) ? 0 ; 故函数 y ? g ( x) 有唯一零点; (ⅲ)若 0 ? a ?

1 2 ,则 ? ? 1 ? 8a ? 0 ,但方程 2ax ? x ? 1 ? 0 的两根满足: 8

1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2a ? 0 ? ,即两根均小于 0, ? ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 2a ?
故 2ax ? x ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0, ?x ? 0 ,
2

由(ⅱ)同理可知,仍满足题意; (ⅳ)若 a ? 0 ,同样 ? ? 0 ,则方程 2ax ? x ? 1 ? 0 的两根为:
2

x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ?1 ? 1 ? 8a ? 0 , x2 ? ? 0 (舍) ; 4a 4a

当 x ? (0, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (0, x1 ) 为增函数, 当 x ? ( x1 , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( x1 , ??) 为减函数, 故,当 x ? x1 时, g ( x) 取得最大值 g ( x1 ) ; 则?

? 2 ? g ( x1 ) ? 0 ?ax1 ? x1 ? ln x1 ? 0 ,即 ? , 2 ?2ax1 ? x1 ? 1 ? 0 ? g ?( x1 ) ? 0 ?

所以 ?2ln x1 ? x1 ? 1 ? 0 ,即 2 ln x1 ? x1 ? 1 ? 0 ;

令 ? ( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,则 ? ?( x) ?

2 ? 1 ? 0, ?x ? 0 ,即 ? ( x) 为定义域上增函数, x

又 ? (1) ? 0 ,所以方程 2 ln x1 ? x1 ? 1 ? 0 有唯一解 x1 ? 1 , 故 x1 ?

?1 ? 1 ? 8a ? 1 ,解得 a ? ?1 ; 4a

综上,实数 a 的取值范围为: {a | a ? 0, 或a ? ?1} .



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