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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数

模型的简单应用

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图

象的步骤:

?>0 ?<0

缩短


伸长

1 ?

|?| ?
sin(?x ? ?)

A

(2)用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一般步 骤: ①列表: ωx+φ 0
? 2

π

3? 2


2? ? ? ?

x

? ? ? ___

? ?? 2 ? _____

??? ? _____

3? ?? 2 ?

y=Asin(ωx+φ)

0 __

A __

0 __

-A

0

②描点画图:在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这

些点,就得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(3)简谐振动y=Asin(ωx+φ)中的有关物理量: y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0),x∈[0, +∞)表示一个振动 A
T=

振幅

周期
2? ?

频率
1 ? f= ? T 2?

相位 ωx+φ ______

初相 φ

量时

2.必备结论

教材提炼

记一记

正、余弦函数的图象在一个周期[0,2π]内的五个关键点分别是: (0,0),( ? ,1),(π,0),( 3 ? ,-1),(2π,0);(0,1),( ? ,0),
2 2 (π,-1),( 3 ? ,0),(2π,1). 2 2

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:由函数y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的方法,“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的方法. (2)数学思想:数形结合,转化化归. (3)记忆口诀: 左加右减,上加下减. 横向伸长,周期变大,x的系数变小.

横向缩短,周期变小,x的系数变大.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
2

(1)把y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 1 ,

所得图象对应的函数解析式为y=sin 1 x.(
2

)

(2)正弦函数y=sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点是(0,0),
3 ( ? ,1),(π,0),( ? ,-1),(2π,0).( 2 2

)

(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移” 中平移的长度一致.( )

(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( )

【解析】(1)错误.横坐标缩短,周期变小,ω变大,故本题变换后,
所得图象的解析式为y=sin 2x.(2)正确.由正弦函数y=sin x的图象

易知本结论正确.(3)错误.“先平移,后伸缩”的平移单位长度为
|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为 | ? | .故当ω≠1时平
?

移的长度不相等.(4)正确.振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的, 其中 A ? M ? m .
2

答案:(1)〓 (2)√

(3)〓

(4)√

2.教材改编

链接教材

练一练
3

(1)(必修4P55T2改编)为了得到函数y=2sin(x- ? )的图象,只要把函 数y=2sin(x+ ? )的图象上所有的点(
6

)

A.向右平移 ? 个单位长度
6 C.向右平移 ? 个单位长度 2

B.向左平移 ? 个单位长度
6 D.向左平移 ? 个单位长度 2

【解析】选C.根据函数图象的平移法则可知C正确.

(2)(必修4P58T4改编)电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数

关系是i=5sin(100πt+ ? ),t∈[0,+∞).则电流i变化的初相、周期
3

分别是_______.

【解析】由初相和周期的定义,得电流i变化的初相是 ? ,周期
2? 1 ? . 100? 50 答案:? , 1 3 50 T? 3

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·四川高考)为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数
y=sinx的图象上所有的点 ( )

A.向左平行移动1个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动π个单位长度 D.向右平行移动π个单位长度

【解析】选A.只需把y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位 长度,便得到函数y=sin(x+1)的图象,选A.

(2)(2015·柳州模拟)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)
的部分图象如图,则ω=( )

A.5
C.3

B.4
D.2
2 4 4

【解析】选B.由图象可知,T ? x 0 ? ? ? x 0 ? ? ,
即 T ? ? ? 2? ,故ω=4.
2 ?

(3)(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象
向右平移 个单位后,与函数y=sin(2x+
? 2

)的图象重合,则φ=

? 3

________.
? 【解析】函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位,得到y= 2 ? ? sin(2x+ )的图象,即y=sin(2x+ )的图象向左平移 ? 个单位得到 3 3 2

函数y=cos(2x+φ)的图象.

y=sin(2x+

? )的图象向左平移 ? 个单位, 3 2

? 得到y=sin[2(x+ ? )+ ]=sin(2x+π+ ? )=-sin(2x+ ? )=

cos( ? +2x+ ? )=cos(2x+ 5? ),
2 3 6

2

3

3

3

因为-π≤φ<π,所以φ=
5? 答案: 6

5? . 6

考点1

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【典例1】(1)(2014·重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,
? ? ≤φ< )图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变, 2 2 ? ? 再向右平移 个单位长度得到y=sin x的图象,则f( )=____. 6 6 (2)已知函数y=3sin( 1 x ? ? ). 2 4

-

①用五点法作出函数的图象;
②说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.

【解题提示】(1)先根据三角函数图象变换求出ω,φ的值,然后求出
? )的值. 6 (2)将 1 x ? ? 看成一个整体,列表得出五个关键点 .图象变换时先平 2 4

实数f(

移后伸缩.

【规范解答】(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短

为原来的一半,纵坐标不变,则函数变为y=sin(2ωx+φ),再向右平
移 ? 个单位长度得到的函数为
? ? y ? sin[2?(x ? ) ? ?] ? sin(2?x ? ? ? ?) ? sin x, 6 3 ?2? ? 1, 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? 2k?, k ? Z, ? ? 3 又因为ω>0, ? ? ? ? ? ? , 2 2 6

? 1 ? 1 可求得ω= ,φ= ,所以f(x)= sin( x ? ), 6 2 6 2 所以 f ( ? ) ? sin( 1 ? ? ? ? ) ? sin ? ? 2 . 6 2 6 6 4 2 答案: 2 2

(2)①列表:
1 ? x? 2 4 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 7 ? 2

0
? 2

π
5 ? 2


9 ? 2

x
1 ? 3sin( x ? ) 2 4

0

3

0

-3

0

描点、连线,如图所示:

②先把y=sin x的图象上所有点向右平移 ? 个单位,得到y=sin(x- ? )
? )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 4 倍(纵坐标不变),得到y=sin( 1 x- ? )的图象,最后将y=sin( 1 x- ? ) 2 4 2 4 4 4

的图象;再把y=sin(x-

的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到 y=3sin( 1 x- ? )的图象.
2 4

【互动探究】在本例(2)①中,条件不变,作出函数在[0,4π]上的 图象. 【解析】因为0≤x≤4π,作出函数在[0,4π]上的图象, 所以 ? ? x ? ? 列表如下:
1 ? x? 2 4 ? ? 4 ? 4 1 2 ? 4 7? . 4 ? 2 3? 2 3? 2 7? 2 7? 4

0
? 2

π
5? 2

x
1 ? 3sin( x ? ) 2 4

0
? 3 2 2


? 3 2 2

0

3

0

-3

描点,作出函数图象如图.

【规律方法】 1.在指定区间[a,b]上画函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法 (1)选取关键点:先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内选取特殊点, 连同区间的两端点一起列表,此时列表一般是六个点. (2)确定凹凸趋势:令ωx+φ=0得x=x0,则点(x0,y0)两侧的变化趋势与 y=sin x中(0,0)两侧的变化趋势相同,可据此找准对应点,以此把握 凹凸趋势.

2.两种不同变换思路中平移单位的区别 由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先 平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位;而先伸缩再平移,平移的量是
|?| (ω>0)个单位. ?

提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不 是依赖于ωx加减多少值.

【变式训练】已知函数f(x)=sin(ωx+ ? )(x∈R,ω>0)的最小正周
4

期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图 象( )

A.向左平移 ? 个单位长度

8 B.向右平移 ? 个单位长度 8 C.向左平移 ? 个单位长度 4 ? D.向右平移 个单位长度 4

【解析】选A.由题意得 2 ? =π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+ ? ),

? 4 ? g(x)=cos 2x=sin(2x+ ? ).将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位 8 2 长度时,y=sin[2(x+ ? )+ ? ]=sin(2x + ? )=cos 2x. 2 4 8

【加固训练】1.将函数y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象向左平移
? 个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则φ的值是________. 6 ? 【解析】函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位后,得 6 ? ? ? ? y=sin(2x+ +φ),则 +φ=kπ+ ,k∈Z.又0≤φ<π,故φ= . 3 2 3 6 ? 答案: 6

2.(2015·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+ ? ).
4

(1)求f(x)的最小正周期和最大值. (2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象,并说明y=f(x)的图象是由 y=sin 2x的图象怎样变换得到的. 【解析】(1)f(x)=2sin(2x+ 则f(x)的最小正周期T=
4 2 ? ). 4

当2x+ ? =2kπ+ ? (k∈Z),
8

2? =π. 2

即当x=kπ+ ? (k∈Z)时f(x)max=2.

(2)列表如下:
2x ? ? 4 ? 4 ? 2 ? 8 3? 2 5? 8 9? 4

π
3? 8


7? 8

x f(x)

0
2

π
2

2

0

-2

0

根据列表,描点、连线,作图如下.

y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象经过以下变换得到的:
? 先将y=sin 2x的图象向左平移 ? 个单位,得到y=sin(2x+ )的图象, 8 4

再将y=sin(2x+

? )的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2倍,横坐 4 4

? 标不变,得到y=2sin(2x+ )的图象 .

考点2

由图象求解析式
? 2

【典例2】(1)(2013·四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ), (? ? 0, ? ?
? ? ? ) 的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( 2

)

? ? ? ? A.2, ? ????????????B.2, ? ????????????C.4, ? ????????????D.4, 3 6 6 3

(2)(2015·铜陵模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω>0, |φ|<
? )的图象的一部分如图所示: 2

①求f(x)的解析式;

②求f(x)的单调增区间.

【解题提示】(1)本题考查的是ω,φ对函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象
的影响,需要重点关注的是周期与最大(小)值点.

(2)由最高点和最低点的纵坐标求A和b,由周期求ω,由最高点的坐
标求φ.

1 11? 5? 6? ? 所以函 T? ? ? ? , 2 12 12 12 2 数的周期为π,可得ω=2,根据图象过 ( 5? , 2), 代入解析式,结合 12 ? ? ? 可得φ= ? , 故选A. - ??? , 3 2 2

【规范解答】(1)选A.根据图象可知

(2)①由图象可知,函数的最大值M=3,最小值m=-1,

则 A ? 3 ? (?1) ? 2, b ? 3 ? (?1) ? 1.
又 T ? 2( 2 ? ? ? ) ? ?,
3 6 2? 2? ?? ? ? 2, T ? 2 2

所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.
? ? ,y=3代入上式,得sin( +φ)=1, 6 3 ? ? ? 所以 +φ= +2kπ,k∈Z,即φ= +2kπ,k∈Z. 3 2 6

将x=

因为|φ|< ,所以φ=
所以f(x)=2sin(2x+
2 6

? 2

②由2kπ- ? ≤2x+ ? ≤2kπ+ ? (k∈Z),得kπ- ? ≤x≤kπ+ ? (k∈Z),
所以函数f(x)的单调增区间是[kπ- ? ,kπ+ ? ](k∈Z).
3 6 2 3 6

? )+1. 6

? , 6

【易错警示】解答本例(2)有三点容易出错: (1)识别图象不清,无法确定A,b的值. (2)不能从图象中求出周期,从而求不出ω. (3)忽视φ的取值范围,从而求错φ的值.

【互动探究】对于本例(2),根据图象写出函数f(x)的对称轴及其单调 递减区间.
2 ? ? ? )=π.函数f(x)的 3 6 ? 对称轴是x= k? ? ? (k∈Z),单调递减区间是[kπ+ ,kπ+ 2 ? ] 6 3 2 6

【解析】由图象知,函数f(x)的周期是2〓(

(k∈Z).

【规律方法】确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步


(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则 A ? M ? m ,B ? M ? m .
2 2

(2)求ω,确定函数的周期T,则 ? ? 2? .
T

(3)求φ,常用方法有:

①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间
上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.

②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破
口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=

? ;“第三点” (即图象 2

下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)

为ωx +φ=

;“第五点”为ωx+φ=2π.

3? 2

【变式训练】(2015·郑州模拟) 如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>
? 5? 0,ω>0,x∈R)在区间[ ? , ]上的图象,为了得到这个函数的图 6 6

象,只要将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点(

)

1 A.向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3

2

倍,纵坐标不变 B.向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍,
3

纵坐标不变 C.向左平移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
6 2

倍,纵坐标不变 D.向左平移 纵坐标不变
? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍, 6

【解析】选A.由图象知A=1,T ? 5? ? (? ? ) ? ?,
2? =2.所以f(x)=sin(2x+φ), T ? 2? 又图象过点( ? ,0),由五点法知 +φ=π,所以 ? ? , 3 3 3 所以y=sin(2x+ ? ). 3 故将函数y=sin x的图象先向左平移 ? 个单位后,再把所得图象上各 3 点的横坐标缩短为原来的 1 (纵坐标不变),可得函数y=sin(2x+ ? ) 2 3 6 6

所以ω=

的图象.

【加固训练】(2015·贵州模拟)若函数f(x)的部分图象如图,则函 数f(x)的解析式以及S=f(1)+f(2)+?+f(2 014)的值分别为( A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=
1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 ?x 2 ?x 2 ?x 2 ?x 2

)

+1,S=2 014 +1,S=2 014 +1,S=2 014.5 +1,S=2 014.5

【解析】选C.根据已知图象,可设f(x)=Asin ωx+1(ω>0,A>0),由 T=4得 2? ? 4, 所以 ? ? ? ,A ? f (x) max ? f (x) min ? 1.5 ? 0.5 ? 1 , 所以f(x)= 1 sin ?x ? 1.
2 2 ?

2

2

2

2

又f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4,

所以S=f(1)+f(2)+?+f(2 014)=503〓[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
+f(1)+f(2)

=503〓4+ f(1)+f(2)=2 014.5.

2.(2015·运城模拟)已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx), b=(-cos ωx-sin ωx, 2 3 cos ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R) 的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈( 1 ,1).
2

(1)求函数f(x)的最小正周期. (2)若y=f(x)的图象经过点( ? ,0),求函数f(x)在区间[0, 3? ]上的
4 5

取值范围.

【解析】(1)因为f(x)=a·b+λ=(cos ωx-sin ωx)(-cos ωxsin ωx)+sin ωx· 2 3 cos ωx+λ=sin2ωx-cos2ωx+
2 3 sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+ 3 sin 2ωx+λ ? =2sin(2ωx- )+λ, 6

由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,
可得sin(2ωπ- ? )=〒1,
? =kπ+ ? (k∈Z),即ω= k ? 1 (k∈Z). 6 2 2 3 又ω∈( 1 ,1),k∈Z,所以k=1,故 ? ? 5 . 6 2 6

所以2ωπ-

所以f(x)= 2sin( 5 x ? ? ) ? ?. 所以f(x)的最小正周期是 6? .
3 6 5 (2)由y=f(x)的图象过点( ? ,0), 4 得f( ? )= 2sin( 5 ? ? ? ? ) ? ? ? 0, 4 3 4 6 故 ? ? ?2sin( 5 ? ? ? ? ) ? ?2sin ? ? ? 2, 3 4 6 4 故f(x)= 2sin( 5 x ? ? ) ? 2. 3 6 由0≤x≤ 3? ,有 ? ? ? 5 x ? ? ? 5? , 5 6 3 6 6

所以 ? 1 ? sin( 5 x ? ? ) ? 1,
2 3

得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ? 2 ? 2. 故函数f(x)在[0, 3? ]上的取值范围为[?1 ? 2,2 ? 2 ].
5

5 3

6

? 6

考点3

三角函数图象性质的应用

知·考情
三角函数的图象及性质、三角函数模型是高考的重点,与其他知 识交汇考查,三角函数模型的应用是常见考题类型,常与函数的最值、 方程的根、平面向量等知识相结合,常以选择、填空、解答题的形式 出现.

明·角度

命题角度1:方程的根与函数的零点问题
【典例3】(2015·长沙模拟)函数f(x)= 3sin ? x ? log 1 x 的零点的
2
2

个数是(
A.2

)
B.3 C.4 D.5
2

【解题提示】在同一个坐标系中,作出函数 y ? 3sin ? x 和 y ? log 1 x
2

的图象,观察后得交点个数.

【规范解答】选D.函数 y ? 3sin ? x 的周期 T ? 2? ? 4, 由 log 1 x ? 3,
2

可得x= 1 .由 log x ? ?3 ,可得x=8.在同一平面直角坐标系中,作出 1 函数 y ? 3sin ? x 和 y ? log 1 x 的图象(如图所示),易知有5个交点,故
2
2

? 2

2

8

2

函数f(x)有5个零点.

命题角度2:三角函数模型的应用
【典例4】(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间

t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)= 10 ? 3cos
t∈[0,24).

? ? t ? sin t, 12 12

(1)求实验室这一天上午8时的温度.
(2)求实验室这一天的最大温差.

【解题提示】化简函数关系式,代入t=8计算上午8时的温度;求出这一
天温度的最大值与最小值,从而可求出最大温差.

【规范解答】f(t)= 10 ? 2( 3 cos ? t ? 1 sin ? t)
2 12 2 12 ? ? ? ? ? 10 ? 2sin( t ? ) ? ?2sin( t ? ) ? 10. 12 3 12 3 (1)当t=8时,f(8)= ?2sin( ? ? 8 ? ? ) ? 10 ? 10, 12 3

故实验室这一天上午8时的温度为10℃. (2)因为0≤t<24,所以 ? ? ? t ? ? ? 7 ?,
3 12 3 3

所以f(t)max=-2〓(-1)+10=12, f(t)min=-2〓1+10=8,f(t)max-f(t)min=12-8=4. 故实验室这一天的最大温差为4℃.

悟·技法 1.三角函数图象与性质的应用技巧 方程根的个数问题可转化为两个函数的交点个数问题,通过数形结合 求解. 2.三角函数模型的应用 三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题, 二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函 数的有关知识解决问题.

通·一类 1.(2015·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系 可近似地用函数y=a+Acos[ ? (x-6)](x=1,2,3,?,12)来表示,已
6

知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为 18 ℃,则10月份的平均气温为__________℃.

【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;

当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,
所以y=f(x)=23+5cos[ ? (x-6)],
6

所以当x=10时,f(10)=23+5cos( ? 〓4)
=23-5〓 1 =20.5.
2 6

答案:20.5

2.(2015·锦州模拟)如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,
? )的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的 2 2 ? 最高点和最低点,点F(0,1)是线段MD的中点,MD MN ? . 18

0<φ<

(1)求函数f(x)的解析式. (2)求函数f(x)的单调递增区间.

【解析】(1)由已知F(0,1)是线段MD的中点,可知A=2,
2 T T ? 因为 MD MN ? ? (T为f(x)的最小正周期), 4 2 18 所以T= 2 ? ,ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ), 3

设D点的坐标为(xD,2),则由已知得点M的坐标为(-xD,0), 所以xD-(-xD)= T= 以sin(
1 4 1 2? 〓 ,则xD= ? ,则点M的坐标为( ? ? ,0),所 4 12 12 3

? -φ)=0. 4 ? ? 因为0<φ< ,所以φ= , 2 4

所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(3x+ ? ).
4

(2)由2kπ- ? ≤3x+ ? ≤2kπ+ ? (k∈Z),
3? ≤3x≤2kπ+ ? (k∈Z), 4 4 2k? ? 2k? ? 得 ? ≤x≤ ? (k∈Z), 3 4 3 12 所以函数f(x)的单调递增区间为[ 2k? ? ? , 2k? ? ? ](k∈Z). 3 4 3 12 2 4 2

得2kπ-

3.(2015·中山模拟)为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了

一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一
些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪 费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现 每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以 下规律:

①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;

②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最 多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份 之间的关系. (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?

【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ| <π),根据条件①,可知这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最 小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知, f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500. 根据上述分析可得,2? ? 12,
? ?A ? B ? 100, 故ω= ? ,且 ? ? 6 ?A ? B ? 500, A ? 200, 解得 ? ? ?B ? 300.

根据分析可知,当x=2时,f(x)最小, 当x=8时,f(x)最大,
? +φ)=-1, 6 ? 且sin(8〓 +φ)=1. 6

故sin(2〓

又因为0<|φ|<π,故φ= ?

5? . 6

所以入住客栈的游客人数(f(x))与月份(x)之间的关系式为f(x)=
? 5? 200sin( x ? ) ? 300. 6 6

(2)由条件可知, 200sin( ? x ? 5? ) ? 300 ≥400,化简,
6 得 sin( ? x ? 5? ) ? 1 ? 2k? ? ? ? ? x ? 5? ? 2k? ? 5? , k ? Z, 6 6 2 6 6 6 6 6

解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.

自我纠错8

三角函数图象的平移伸缩变换问题
4 3

? 【典例】(2015·青岛模拟)把函数y=sin(3x- ? )的图象向左平移

个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标 不变),则所得函数的解析式为( A.y=sin(6x+ ? )
12 ? C.y=sin( 3 x+ ) 12 2

)
4

B.y=sin(6x+ 3? ) D.y=sin( 3 x ? 3? )
2 4

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:解题过程中没能正确理解左右平移的实质,平移后误得函数解 析式为y=sin(3x+ ? );另外对横向的伸缩变换理解不到位,误得函
12

数解析式为y=sin(6x+

? ). 12

【规避策略】正确理解函数图象的平移变换和伸缩变换 (1)图象的左右平移是针对单个x而言的. (2)图象的伸缩变换,在变换中纵坐标不变,横坐标伸长,周期变大, x的系数缩小,反之,横坐标缩短,周期变小,x的系数扩大,即横坐 标变为原来的ω倍,则x的系数相应变为原来的
1 . ?

【自我矫正】选D.把函数y=sin(3x- ? )的图象向左平移 ? 个单位长
? 度,可得y=sin[3(x+ )- ? ]的图象, 4 即函数解析式为y=sin(3x+ 3? ), 4 3 4 3

再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),

可得y=sin( 3 x ? 3? )的图象.
即所得函数的解析式为y=sin( 3 x ? 3? ).
2 4 2 4


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