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第十章 2毕奥定律



§10-5 毕奥-萨伐尔定律

一 毕奥-萨伐尔定律
? 电流元在空间任一点 P 产生的磁感应强度 dB 的 ?

大小与电流元 Idl 成正比,与距离 r 的平方成反比, ? ? 与 和电流元 到场点 ? dl Idl P 的位矢之间的夹角 ? ? 的正弦成正比。其方向与 Idl一致。 ?r

(电流元在

空间产生的磁场)
dB ?

? 0 Idl sin ?

2

? Idl

? dB

r ? ? ? ?0 Idl ? r dB ? 4 π r3

? r

? dB
P*

I
?
? Idl

真空磁导率 ?0 ? 4 π?10?7 N ? A?2

? r

任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
任意线电流在场点处的磁感应强度B 等 于构成线电流的所有电流元单独存在时在该 点的磁感应强度之矢量和。

? Idl

? dB

? ? B ? ? dB ?

? r

?

? ? ? 0 I dl ? r 4 π r3

? dB
P*

I
?
? Idl

? r

例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1 8
×

2
×3

7

? Idl
R
6
×

4

? ? ? ?0 Idl ? r dB ? 3 4π r

5

1、5点 :dB ? 0 ? 0 Idl 3、7点 :dB ? 4 π R2 2、 4、 6、 8 点 : ? 0 Idl 0 dB ? sin 45 4 π R2 毕奥-萨伐尔定律

二 毕奥-萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场. ? 0 Idz sin ? z 解 dB ? 2 ? D 2 4π r
dz
I
?

z
?1

? r
*

? dB

? dB 方向均沿

x 轴的负方向
?0 Idz sin ? B ? ? dB ? 2 ? CD 4π r

x
C

o r0

P

y

?0 Idz sin ? B ? ? dB ? 4 π ?CD r 2 z
D
?2

z ? ?r0 cot ? , r ? r0 / sin ?
dz ? r0d? / sin ?
2

dz ? ?
I

B?
? dB
*

?0 I
4 π r0

z
?1

r

??

?2
1

sin ?d?

x
C

o r0

P

y

? B 的方向沿 x 轴的负方向

?0 I ? (cos?1 ? cos? 2 ) 4 π r0

B?

?0 I
4 π r0 z
?2

(cos?1 ? cos ? 2 )

无限长载流长直导线
?1 ? 0 ?2 ? π
×

D

B?

?0 I
2 π r0

I

? B
y

半无限长载流长直导线
π ?1 ? 2 ?2 ? π

x
C

o
?1

P

BP ?

?0 I
4πr

无限长载流长直导线的磁场

B?

?0 I
2πr

I
B

I
X

B

电流与磁感强度成右螺旋关系

例2 圆形载流导线轴线上的磁场. 解 B ? Bx ? ? dB sin ? cos? ? R
? Idl
R

r 2 2 2 r ?R ?x

r
x

?
*p

? dB
?

dB ?
dB x ?

? 0 Id l
4 π r2

o

?

x

? 0 I cos ?dl
4π r
2

dB x ?

? 0 I cos ?dl
4π r2

cos ?dl B? 2 ? l 4π r
? dB
?

?0 I

? Idl
R

? 0 IR 2 π R B? dl 3 ?0 4πr
? 0 IR
2 2 2 3

r
x

?
*p

o

?

x B?

( 2 x ? R)2

讨 (1)若线圈有 N 匝 B ? 3 2 2 ( 2 x ? R)2 论 ?0 I x?0 B? ( 2) 2R
R

N ? 0 IR

2

r
x

o

I

x ?? R ( 3) 2 ? ? IR 0 B B? , 3 *p x 2x ? 0 IS B? 2 π x3

(1)



I (2)

? R B x 0 o
R o×

B0 ?
B0 ?

?0 I
2R

广


I

?0 I
4R



(3)

I R
× o

B0 ?

?0 I
8R

(4)
d

*A
R1

?0 I BA ? 4πd
B0 ?

(5)
I

?0 I
4 R2 ?

R2

?

?0 I
4 R1

* o

?0 I
4 π R1

? ? m ? ISen ? 2 ? ?0 m ? 0 IR B? B? 3 3 2π x 2x ? ?0m ? B? e 3 n 2π x

三 磁偶极矩

I

S

? en

? m

? m

S 说明:只有当圆形电流的 面积S很小,或场点距圆电流 很远时,才能把圆电流叫做磁偶极子.

? en

I

例3 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示,有一长为l , 半径为R的载流 密绕直螺线管,螺线管的总匝数为N,通 有电流I. 设把螺线管放在真空中,求管内 轴线上一点处的磁感强度.
R

*

P

x

×× × ×× × ×× × ×× ×× ×



由圆形电流磁场公式 ?0 IR2 B? 2 2 3/ 2 2( x ? R )

dB ?

?0
2
P

?R
x

R Indx
2

2

?x

2 3/ 2

?

R

O*

x

×× × ×× × ×× × ×× ×× ×

x ? Rcot?

dx ? ?R csc ?d?
2

B ? ? dB ?
2

?0 nI
2
2 2

? ?R
x1

x2

R 2dx
2

?x

2 3/ 2

?

R ? x ? R csc ?
2

R

x1

?1 O*

?
?2

x2 x

×× × ×× × ×× × ×× ×× ×

B??

?0 nI
2

??
?2
1

?2
1

R 3csc2 ?d? 3 3 R csc ?d?

?0 nI ?? 2
R

??

sin ? d ?

x1

?1 O*

?
?2

x2 x

×× × ×× × ×× × ×× ×× ×

?0 nI ?cos ? 2 ? cos ?1 ? B? 讨 论 2 (1)P点位于管内轴线中点 ?1 ? π? ? 2
cos?1 ? ? cos?2
cos ? 2 ? l/2

?l / 2?
l

2

?R

2

B ? ?0 nI cos ? 2 ?
若 l ?? R

?0 nI
2

?l

2

/4? R

2 1/ 2

?

B ? ?0nI

(2)无限长的螺线管(3)半无限长螺线管

?1 ? π, ? 2 ? 0
B ? ?0 nI
B O

?1 ? 0.5π, ?2 ? 0
B ? ?0 nI / 2
?0 nI
x

1 ? 0 nI 2



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