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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3章章末复习课


章末复习课

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画一画·知识网络、结构更完善

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研一研·题型解法、解题更高效

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题型一
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指数、对数的运算

1.指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指 数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分 子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公 式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三 个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、 证明常用的技巧.

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2.对于底数相同的对数式的化简,常用的方法:
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(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

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例 1 (1)化简
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3 b 3 ÷ (1-2 )× ab; a

32 (2)计算:2log32-log3 +log38-25 log53 . 9

解 (1)原式=

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32 2log53 (2)原式=log34-log3 +log38-5 9
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? ? 9 =log3?4×32×8?-5 log59 ? ?

=log39-9=2-9=-7.

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跟踪训练 1 计算 8
0.25

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× 2+( 2× 3)6+log32

4

3

111 ×log2(log327)的值为________.
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解析 ∵log32×log2(log327)=log32×log23
lg 2 lg 3 = × =1, lg 3 lg 2
∴原式=2
3 1 4 ×2 4 +22×33+1=21+4×27+1=111.

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题型二 数的大小比较

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数的大小比较常用方法: (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题 型,主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应
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用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性 法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将 其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利 用该函数的单调性比较. (3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点, 即把它们分为“小于 0”,“大于等于 0 小于等于 1”,“大于 1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.

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例 2 比较下列各组数的大小. ? ? 0.9, 0.48 1 -1.5 (1)4 8 ,? ? ; ?2 ? (2)log20.4,log30.4,log40.4.
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?1?-1.5 ,?2? =21.5, ? ?

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解 (1)4 =2 8

0.9

1.8, 0.48

=2

1.44

∵y=2x 在(-∞,+∞)上是增函数,
∴4
0.9

?1?- >? ? 1.5>80.48. ?2?

(2)∵对数函数 y=log0.4x 在(0,+∞)上是减函数, ∴log0.44<log0.43<log0.42<log0.41=0. 又幂函数 y=x 1 在(-∞,0)上是减函数,


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1 1 1 所以 < < , log0.42 log0.43 log0.44
即 log20.4<log30.4<log40.4.

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跟踪训练 2 比较下列各组数的大小. (1)27,82;(2)log0.22,log0.049;(3)a1.2,a1.3;(4)0.213,0.233.
解 (1)∵82=(23)2=26,
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由指数函数 y=2x 在 R 上单调递增知 26<27 即 82<27.
lg 9 lg 32 (2)∵log0.049= = lg 0.04 lg 0.22 2lg 3 lg 3 = = =log0.23. 2lg 0.2 lg 0.2

又∵y=log0.2x 在(0,+∞)上单调递减, ∴log0.22>log0.23, 即 log0.22>log0.049.

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(3)因为函数 y=ax(a>0 且 a≠1),当底数 a 大于 1 时在 R 上是增 函数;当底数 a 大于 0 小于 1 时在 R 上是减函数,
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而 1.2<1.3,故当 a>1 时,
有 a1.2<a1.3;

当 0<a<1 时,有 a1.2>a1.3. (4)∵y=x3 在 R 上是增函数, 且 0.21<0.23,∴0.213<0.233.

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题型三

复合函数的单调性

1.一般地,对于复合函数 y=f(g(x)),如果 t=g(x)在(a,b)上是单调
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函数,并且 y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数, 那么 y=f(g(x))在(a,b)上也是单调函数. 2.对于函数 y=f(t),t=g(x). 若两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函 数;如果两个函数中一增一减 ,则其复合函数是减函数 ,即 “同增异减”,但一定要注意考虑复合函数的定义域.

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例3
2

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已知 a>0,且 a≠1,试讨论函数 f(x)=a x +6x+17 的单调性.

解 设 u=x2+6x+17=(x+3)2+8,
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则当 x≤-3 时,其为减函数, 当 x>-3 时,其为增函数, 又当 a>1 时,y=au 是增函数, 当 0<a<1 时,y=au 是减函数,
所以当 a>1 时,原函数 f(x)=a x +6x+17 在(-∞,-3]上是减函 数,在(-3,+∞)上是增函数. 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a 在(-3,+∞)上是减函数.
x2+6x+17 在(-∞,-3]上是增函数,
2

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跟踪训练 3 求下列函数的单调区间: (1)y=log0.2(9x-2×3x+2); (2)y=loga(a-ax).
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解 (1)令 t=3x, u=9x-2×3x+2=t2-2t+2=(t-1)2+1≥1>0.
又 y=log0.2u 在定义域内递减,

∴当 3x≥1(t≥1),即 x≥0 时,u=9x-2×3x+2 递增, ∴y=log0.2(9x-2×3x+2)递减.
同理,当 x≤0 时,y=log0.2(9x-2×3x+2)递增.
故函数 y=log0.2(9x-2×3x+2)的递增区间为(-∞,0],递减区 间为[0,+∞).

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(2)①若 a>1,则 y=logat 递增,且 t=a-ax 递减,而 a-ax>0,即 ax<a,∴x<1,∴y=loga(a-ax)在(-∞,1)上递减.
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②若 0<a<1,则 y=logat 递减,且 t=a-ax 递增,而 a-ax>0,即 ax<a,∴x>1,
∴y=loga(a-ax)在(1,+∞)上递减.

综上所述,函数 y=loga(a-ax)的递减区间为(-∞,1),(1,+∞), 没有递增区间.

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题型四

幂函数、指数函数、对数函数性质的综合应用

指数函数与对数函数性质的对比:
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指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数,它们的定义、图 象、性质、运算既有区别又有联系. (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1),对数函数 y=logax (a>0,a≠1,x>0)的图象和性质都与 a 的取值有密切的联系.a 变化时,函数的图象和性质也随之变化. (2)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0,1),对数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象恒过定点(1,0).

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(3)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数
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y=logax(a>0,a≠1,x>0)具有相同的单调性. (4)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0)互为反函数,两函数图象关于直线 y=x 对称.

章末复习课 研一研·题型解法、解题更高效 1+2x+a·x 4 例 4 已知函数 f(x)=lg 在 x∈(-∞,1]上有意义, 3

求实数 a 的取值范围.
1+2x+a·x 4 解 因为 f(x)=lg 在(-∞,1]上有意义, 3

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所以 1+2x+a·x>0 在(-∞,1]上恒成立. 4
因为 4 >0,所以 令
x

??1? ?1? ? x a>-??4? +?2?x?在(-∞,1]上恒成立. ?? ? ? ??

?? 1? ?1? ? x g(x)=-??4? +?2?x?,x∈(-∞,1]. ?? ? ? ??



?1? y=-?4?x ? ?



?1? y=-?2?x ? ?

在(-∞,1]上均为增函数,可知 g(x)

在(-∞,1]上也是增函数,

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?1 1? 3 ? + ? =- . g(x)max=g(1)=- 4 ?4 2?
??1?x ?1?x? a>-??4? +?2? ?在(-∞,1]上恒成立, ?? ? ? ??

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所以
因为

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3 所以 a 应大于 g(x)的最大值,即 a>-4. 故所求 a
? 3 ? 的取值范围为?-4,+∞?. ? ?

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跟踪训练 4 已知函数 f(x)=lg(1+x)+lg(1-x). (1)判断函数的奇偶性;

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(2)若 f(x)=lg g(x),判断函数 g(x)在(0,1)上的单调性并用定义
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证明.



?1+x>0 ? (1)由? ?1-x>0 ?

,

得-1<x<1,∴x∈(-1,1),
又 f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)g(x)在(0,1)上单调递减.

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证明如下: ∵f(x)=lg(1-x2)=lg g(x),∴g(x)=1-x2,
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任取 0<x1<x2<1,
则 g(x1)-g(x2)=1-x2-(1-x2) 1 2 =(x1+x2)(x2-x1),
∵0<x1<x2<1,∴x1+x2>0,x2-x1>0,
∴g(x1)-g(x2)>0, ∴g(x)在(0,1)上单调递减.

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1.函数是高中数学极为重要的内容,函数思想和函数方法贯穿
本 本函数形式出现的综合题和应用题,一直是常考不衰的热点 课 时 问题. 栏 目 对数函数概念的考查以基本概念与 开 2.从考查角度看,指数函数、 关

高中数学的全过程,纵观历年高考试题,对本章的考查是以基

基本计算为主;对图象的考查重在考查平移变换、对称变换 数的考查将会从概念、图象、性质等方面来进行.

以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力;对幂函


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