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2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件 文



第二章 函数、导数及其应用

第八节

函数与方程

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1. 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联

系,判断一元二次方程根的存在性

及根的个数; 2. 根据具体函数的图像,
能够用二分法求相应方程的近似解。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.函数的零点与方程的实数解 (1)函数的零点: 横坐标 称为这个函数的零点。 函数y=f(x)的图像与横轴的交点的__________ (2)利用函数性质判定函数零点: 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点 f(a)·f(b)<0 相反 的函数值符号_________ ,即_________ ,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)

一个 实数 至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有______ 解。

2.二分法
(1)每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中 一个_____________ 的方法称为二分法。 小区间

(2)用二分法求函数零点近似值的步骤。
第一步:确定区间[a,b],验证____________ f(a)·f(b)<0 ,给定精度ε。 第二步:求区间(a,b)的中点c。

第三步:计算f(c),
①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));

③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b))。
第四步:判断是否达到精度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值,否 则重复第二、三、四步。

基 础 自 测
[判一判] (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点。( × ) 解析 错误。函数的零点是一个实数而不是点。 (2) 函 数 y = f(x) 在 区 间 (a , b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 像 连 续 不 断 ) , 则 f(a)·f(b)<0。( × )

解析
1>0。

错误。如函数f(x)=x2,在[-1,1]内有零点,但是f(1)·f(-1)=

(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点。( √ ) 解析 正确。因为 Δ= b2-4ac<0时,二次函数 y=ax2 +bx+ c的图像 与x轴没有公共点。

(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值。( × )

解析
求解。

错误。只有零点左右两侧函数值的符号相反时,才能用二分法

(5) 若函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内,有 f(a)·f(b)<0 成立,那么 y = f(x) 在

(a,b)内存在唯一的零点。( × )
解析 错误。存在零点,但不一定是唯一的。

[练一练]
1.已知函数y=f(x)的图像是连续不间断的曲线,且有如下的对应值: x 1 2 3 4 5 6

y

124.4

35

-74

14.5

-56.7
)

-123.6

则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(

A.2个
C.4个 解析

B.3个
D.5个 依题意, f(2)·f(3)<0 , f(3)·f(4)<0 , f(4)·f(5)<0 ,故函数 y =

f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个,故选B。 答案 B

2.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零 点是( ) 1 B.0, 2 1 D.2,- 2

A.0,2 1 C.0,- 2

解析 ∵2a+b=0, ∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1)。 1 ∴零点为 0 和- 。 2 答案 C

3.(2015·山西太原一模)已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+x-b的 零点所在的区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) ) B.(-1,0) D.(1,2)

解析 ∵a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b, 1 ∴f(-1)= -1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知 f(x)在 a 区间(-1,0)上存在零点。 答案 B

? π? 2 2 。 ? 4. (2015· 湖北卷)函数 f(x)=2sin xsin x+ ?-x 的零点个数为________ 2 ? ? ? π? 解析 f(x)=2sin xsin?x+ ?-x2=2sin xcos x-x2= sin 2x-x2。 2? ?

如图所示,在同一平面直角坐标系中作出 y= sin 2x 与 y= x2 的图像,

当 x≥0 时,两图像有 2 个交点, 当 x<0 时,两图像无交点, 综上,两图像有 2 个交点,即函数的零点个数为 2。

5.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)· f(4)<0, 2+4 给定精度 ε=0.01,取区间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则 2
(2,3) 。(填区间) 此时零点 x0∈________ 解析 由f(2)· f(3)<0可知。

R

热点命题

深度剖析

考点一

函数零点所在区间的判定
(1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x- )

【例1】

c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

【解析】

解法一:由题意a<b<c,可得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)

= (b - c)(b - a)<0 , f(c) = (c - a)·(c - b)>0 。 显 然 f(a)·f(b)<0 , f(b)·f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A。 解法二:令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)·[2x-(a+c)], y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函数y1,y2的图像,由图可知两函数图 像的两个交点分别位于区间 (a,b)和(b,c)内,即函数f(x)的两个零点分 别位于区间(a,b)和(b,c)内。

【答案】 A

(2) 已 知 函 数 f(x) = ln x - x + 2 有 一 个 零 点 所 在 的 区 间 为 (k , k + 1)(k∈N*),则k的值为________ 3 。 【解析】 由题意知,当x>1时,f(x)单调递减,因为f(3)=ln 3-1>0, f(4)=ln 4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内。所以k=3。

(3) 函数 f(x) = x2 - 3x - 18 在区间 [1,8] 上 ________( 填“存在”或“不存 存在

在”)零点。
【解析】 -18=22>0, 解法一: ∵ f(1) = 12 - 3×1 - 18 =- 20<0 , f(8) = 82 -3×8

∴f(1)·f(8)<0,
又f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的图像是连续的, 故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点。

解法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8],
∴(x-6)(x+3)=0。 ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8],

∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点。

【规律方法】 判断函数零点所在区间的方法 (1)当能直接求出零点时,就直接求出进行判断; (2)当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断; (3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断。

1 变式训练 1 (1)函数 y=ln(x+1)与 y= 的图像交点的横坐标所在的区 x 间为( ) B.(1,2) D.(3,4)

A.(0,1) C.(2,3)

1 1 解析 令 f(x)= ln(x+1)- 。∵f(2)=ln 3- >0,f(1)=ln 2-1<0,又 x 2 函数 f(x)在 (1,2)上的图像是一条连续不断的曲线,∴函数 f(x)在区间 (1,2) 1 内有零点,此零点即函数 y=ln(x+1)与 y= 的图像交点的横坐标。 x 答案 B

(2)设x0是方程ln x+x=4的解,则x0属于( A.(0,1) C.(2,3) 解析 B.(1,2) D.(3,4)

)

设f(x)=ln x+x-4,∵f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,

∴x0∈(2,3)。
答案 C

考点二

判断函数零点个数
?x2-2,x≤0, 2 (1)函数 f(x)=? 的零点个数是________ 。 ?2x-6+ln x,x>0

【例 2】

【解析】 当 x≤0 时,令 x2-2=0,解得 x=- 2(正根舍去 ),所以 1 在 (-∞,0]上有一个零点。当 x>0 时,f′(x)=2+ >0 恒成立,所以 f(x) x 在 (0,+∞)上是增函数。又因为 f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(x) 在 (0,+∞)上有一个零点,综上,函数 f(x)的零点个数为 2。

?π ? ? (2)(2015· 湖北卷)函数 f(x)=4cos cos -x?-2sin x-|ln(x+1)|的零点 2 ?2 ?
2x

2 个数为________ 。
1+ cos x 【解析】 令 f(x)=4· · sin x-2sin x- |ln(x+1)|= sin 2x- |ln(x+ 2 1)|= 0,即 sin 2x= |ln(x+1)|,在同一坐标系作出 y= sin 2x 与 y= |ln(x+1)| 的图像。

由图像知共 2 个交点,故 f(x)的零点个数为 2。

【规律方法】 判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点。 (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间 [a,b]上是连续

不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质 (如单调性、奇
偶性、周期性、对称性 ) 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性 质。 (3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题。先画出两个 函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有 几个不同的零点。

变式训练2 (1)函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)内的零点个数是( A .0 B.1

)

C.2
解析

D.3
因为f′(x)=2xln 2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)内

递增,且 f(0) = 1 + 0 - 2 =- 1<0 , f(1) = 2 + 1 - 2 = 1>0 ,所以有 1 个零

点。
答案 B

(2)函数 f(x)=3cos A.2 C.4

πx 1 -log x 的零点的个数是( 2 2 B.3 D.5

)

π 解析 把求函数 f(x)的零点的个数问题转化为求函数 y=3cos x 的 2 1 图像与函数 y=log x 的图像的交点的个数的问题。在同一个坐标系中画 2 π 出这两个函数的图像,如图。函数 y=3cos x 的最小正周期是 4,当 x 2 1 =8 时,y=log 8=-3,结合图像可知两个函数的图像只能有 5 个交点, 2 πx 1 即函数 f(x)=3cos -log x 有 5 个零点。 2 2

答案 D

考点三

函数零点的应用

高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现,求函数零点 问题,难度较小;利用零点的存在性求相关参数的值,难度较大。 角度一:已知函数的零点或方程的根求参数 1.(2015· 湖南卷)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值
(0,2) 。 范围是________

解析

x ? 2 -2,x≥1, x 函数 f(x)的零点个数即为函数 g(x)=|2 -2|=? 的 x 2 - 2 , x <1 ?

图像与直线 y=b 的交点个数。 如图,分别作出函数 y=g(x)与直线 y=b 的图像,由图可知,当 0<b<2 时,直线 y=b 与 y=g(x)有两个交点,所以 b 的取值范围为(0,2)。

?x3,x≤a, 2.(2015· 湖南卷)已知函数 f(x)=? 2 若存在实数 b,使函数 x , x > a 。 ?

(-∞,0)∪(1,+∞) 。 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的取值范围是____________________ 解析 要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图像与直线y=b有

两个不同的交点。 当0≤a≤1时,由f(x)的图像知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=

b不可能有两个交点。
当a<0时,由f(x)的图像(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上 递减,在[0,+∞)上递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图像与

y=b有两个不同交点。

当a>1时,由f(x)的图像(如图②)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,+ ∞ ) 上递增,但 a3>a2 ,所以当 a2<b≤a3 时, f(x) 图像与 y= b 有两个不同的交

点。
综上,实数a的取值范围是a<0或a>1。

1 3.已知函数 f(x) = -m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围为 x+2
(1,+∞) 。 ________ 1 解析 函数 f(x)有三个零点等价于方程 =m|x|有且仅有三个实根。 x+2

1 1 当 m=0 时,不合题意,舍去;当 m≠0 时,∵ =m|x|? = |x|(x+2), m x+2 1 作函数 y= |x|(x+ 2)的图像,如图所示,由图像可知 m 应满足 0< <1,解得 m m>1。

角度二:利用函数零点比较大小 4.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,

g(b)=0,则(

)
B.f(b)<0<g(a) D.f(b)<g(a)<0

A.g(a)<0<f(b) C.0<g(a)<f(b)

解析 ∵f(x)在 R 上为增函数,且 f(0)= e0- 2<0,f(1)= e-1>0,又 f(a)=0,∴0<a<1。 ∵g(x)=ln x+x2-3,∴g(x)在 (0,+∞)上为增函数。 又 g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)= ln 2+1>0,且 g(b)=0,
?f?b?>f?a?=0, ∴1<b<2,即 a<b。∴? ∴选 A。 g ? a ? < g ? b ? = 0 。 ?

答案 A

5.(2016·广州模拟)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零
点为a ,函数 g(x) = ln x+ x-2 的零点为 b ,则 f(a) ,f(1) , f(b) 的大小关系为 f(a)<f(1)<f(b) _____________________ 。

解析

由题意,知 f′(x) = ex + 1>0 恒成立,所以函数 f(x) 在 R 上是增加

的,而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零 点a∈(0,1);

1 由题意,知 g′(x)= +1>0,所以函数 g(x)在(0,+∞)上是增加的, x 又 g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2= ln 2>0,所以函数 g(x)的零 点 b∈(1,2)。 综上,可得 0<a<1<b<2。 因为 f(x)在 R 上是增加的,所以 f(a)<f(1)<f(b)。

【规律方法】 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数零点求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参 数应分三步:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所

满足的不等式;③解不等式,即得参数的取值范围。
(2)已知函数零点的个数求参数。常利用数形结合法。 (3)借助函数零点比较大小。要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a)、

f(b)与0的大小。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个口诀——用二分法求函数零点的方法 用二分法求零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值计算两边

看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判
断。 ⊙2个防范——函数零点的两个易错点

(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根。
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而 不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异

号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件。

⊙3种方法——判断函数零点个数的方法
(1)直接求零点; (2)零点的存在性定理;

(3)利用图像交点的个数。
⊙3个结论——有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零 点。 (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 (3) 连续不断的函数图像通过一重零点时 ( 不是二重零点 ) ,函数值变 号;通过二重零点时,函数值可能不变号。



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