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高中数学必修5高中数学必修5《2.5等比数列前n项和(一)》教案



2.5 等比数列的前 n 项和(一)
教学目标
(一) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (二) 过程与能力目标 1. 等比数列前 n 项和公式及其获取思路; 2. 会用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2. 培养学生应用意识.

教学重点

/>等比数列前 n 项和公式的理解、推导及应用.

教学难点
灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题.

教学过程
一、复习引入: 1.等比数列的定义. 2. 等比数列的通项公式: a n ? a1 ? q 3. a n }成等比数列 ? {
n ?1

(a1 ? q ? 0) , a n ? a m ? q m?1 (a1 ? q ? 0)

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

a n ≠0

4.性质:若 m+n=p+q, a m ? a n ? a p ? a q 二、讲解新课: (一)提出问题 :关于国际相棋起源问题 62 63 例如:怎样求数列 1,2,4,…2 ,2 的各项和? 即求以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 2 62 ? 2 63
由②—①可得: S 64 ? 2
64



2 S 64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? 2

63

? 2 64



?1

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法. , (二)怎样求等比数列前 n 项的和? 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a 2 ? a3 ,? a n ? 它的前 n 项和是 由?

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

得?

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q ?qS n ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ?

? (1 ? q) S n ? a1 ? a1q n

∴当 q ? 1 时, S n ?

a ? an q a1 (1 ? q n ) ① 或 Sn ? 1 1? q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 由定义,

a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a 2 a n ?1

由等比的性质,

a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 S n ? a n



S n ? a1 ? q ? (1 ? q) S n ? a1 ? a n q (结论同上) S n ? an

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ? an?1 ) = a1 ? qSn?1 = a1 ? q( S n ? a n )

? (1 ? q) S n ? a1 ? a n q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方 程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决. (三)等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1

思考:什么时候用公式(1) 、什么时候用公式(2)? (当已知 a1, q, n 时用公式①;当已知 a1, q, an 时,用公式②.) 三、例题讲解 例 1:求下列等比数列前 8 项的和. (1)

1 1 1 , , ,… 2 4 8

(2) a1 ? 27, a9 ?

1 ,q ? 0 243
8

解:由 a1=

1 1 1 1 , q ? ? ? , n ? 8, 得 2 4 2 2

S8 ?

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2 ? ?2? ? 1? 1 2

? ? ? 255 ?? . 256

例 2:某商场第一年销售计算机 5000 台,如果平均每年的售价比上一年增加 10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到 30000 台(保留到个位)? 解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第一年起,每年的销售量组成一 个等比数列{an},其中

a1=5000, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 ,
n

5000 (1 ? 1.1n ) ? 30000 . 于是得到 1 ? 1.1
用计算器算得 n ? 5 (年).

整理得 1.1 ? 1.6. 两边取对数,得 n lg 1.1 ? g1.6 答:约 5 年内可以使总销售量达到 30000 台.

例 3.求数列 1 , 2

1 2

1 1 1 , 3 , 4 ,.... 前 n 项的和。 4 8 16
2 3 n ?1

例 4:求求数列 1, 3a, 5a , 7a ,...., (2n ? 1)a 练习:教材第 58 面练习第 1 题. 三、课堂小结: 1. 等比数列求和公式:当 q = 1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?

的前 n 项的和。

a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q



2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法) 推导出了等比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 四、课外作业: 1.阅读教材第 55~57 页; 2.《习案》作业十七.



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