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2009年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案(高一版)



2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 7 分,共 56 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1、

已知集合M ? ? x x ? 3n, n ? Z ? , Q ? ? x x ? 3n ? 1, n ? Z ? , P ? ?x x ? 3n ? 1, n ? Z

? , 且a ? M , b ? Q, c ? P,d ? a ? b ? c,则 ?

?

A d ? M, B d ? P, C d ? Q, D 以上都不对。
2、有一个长方体的箱子,它的十二条棱长之和是 140,并且从箱子的一角到最远的一角的距离是 21,那 么这个箱子的总表面积是( ) A 776,B 784, C 798, D 800。 3、

一个三角形的三边恰为m2 ? m ? 1, 2m ? 1, m2 ? 1, 则这个三角形的最大角为? A

?

?
3

,B

2? 3? 5? ,C ,D 。 3 4 6
2 2 2 2

4、 若实数x,y满足 ? x ? 2 ? + ? y ? 5 ? =9,,则 ? x ? 1? + ? y ? 1? 的最大值为? A 5、 2, B 4, C 8, D 64。

?

将函数y ? f ? x ? cos x的图象向右平移 个单位后,再作关于x轴的对称变换, 4 得函数y ? cos 2 x的图象,则f ? x ? 可以是 ? ? A sin x, B cos x, C 2sin x, D 2cos x.
6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 K 的值为( ) A 3, B 4, C 5, D 6。 7、 开始 K=0

?

已知f ? x ? =a-

2 3 是R上奇函数,则方程f ? x ? = 的根为 ? 2 ?1 5 3 1 5 A 2,B , C ,D 。 5 2 3
x

?

S=0 否 S<100? 是

8、

已知向量OB =? 2,0 ?,向量OC=? 2,2 ?, 向量CA=

?

2cos? , 2 sin ? ,则向量

?

S=S+SS

输出 K

OA与向量OB的夹角的范围是 ? ? ?? ? ? 5? ? A ?0, ? ,B ? , ? , ? 4? ? 4 12 ? ? 5? ? ? ? ? 5? ? C ? , ? ,D ? , ? ? 12 2 ? ?12 12 ?
1

?

K=K+1

结束

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分,请将正确的答案填在横线上。 )

2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案

9、 设数列?an ?的通项为an =2n-7 ? n ? N ?,则 a1 ? a2 ? 10、

? a15 ? _____.

已知方程 x ? ax ?1有一个负根而没有正根,则实数a的取值范围是___。
11、考虑十进制中的四位数,其数码是互不相同的正整数,且数码之和是 12,则这样的四位数中的四个 数码只可能是___________。 12、先后抛掷两粒均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6) ,骰子朝上的面的点数 分别为 x,y,则 log 2 x y ? 1的概率为______。 13、正三棱柱的侧面展开图是边长为 2 和 4 的矩形,则它的体积是_______。 14、

对任意整数x,函数f ? x ? 满足f ? x ? 1? ?

1? f ? x? 三、解 ,且f ?1? ? 2,则f ? 2009?=_____。 1? f ? x?

答题(本大题共 5 个小题,共 52 分,要求解答有必要的过程。 ) 15、 (本题满分 10 分)

已知a= ? cos x,sin x ? , b= ? ? cos x, cos x ? , c= ? ?1, 0 ? , ( 1)若x= ,求向量a与c的夹角。 6 ? 9? ? , 时,求函数f ? x ? =2a ? b+1的最大值。 ? 2 ?当x ? ? ? ?2 8 ? ?

?

16、 (本题满分 10 分)
2

2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案

已知函数f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? ax ? a ? R ? , ?1? 判断函数f ? x ?的对称性和奇偶性。

? 2 ?当a ? 2时,求使g 2 ? x ? f ? x ? ? 4 x成立的x所构成的集合。 ? 3? 若a ? 0, 记F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ?,且F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最大值,求a的取值范围。

17、 (本题满分 10 分)已知 O 为两同心圆的圆心,且大圆半径为 5,小圆半径为 2,如图所示,过小圆上 任意一点 P 作弦 PA 与过 P 点的大圆之弦 BC 垂直,求证: AB +BC +AC 为定值,并求出这个定值。
2 2 2

A O C B P

18、 (本题满分 10 分)已知圆 O 的方程为 x ? y ? 5 ,其中 O 为坐标原点。 (1)设点 P ? a, b ? 是圆 O 内
2 2

一点,点 Q 是直线 ax ? by ? 1 上一动点,试求 OQ 的取值范围。
3

2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案

( 2 ) 设 a ? ?1 , 2 ? ,直线 l 与圆 O 相交于两点 A、B,若圆 O 上存在一点 C,使得

OC ? OA ? OB ? ? a ? ? ? ? ? ,试求直线 l 的方程。

19、 (本题满分 12 分)

已知二次函数f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c. ? a ? 0 ? , ?1? 若x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 且f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 有两个不相等的实数根,且必有 2? 1 一个根属于 ? x1 , x2 ? , ? 2 ? 若关于x的方程f ? x ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 在 ? x1 , x2 ?的根为 2? m, 且满足x1 ? x2 ? 2m ? 1, 设函数f ? x ?的图象的对称轴为x ? x0 , 求证:x0 ? m 2 . 求证:关于x的方程f ? x ? ?

答案:一、1、C,2、B,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、D。 二、9、153,10、 a ? 1 ,11、1、2、3、6 或 1、2、4、5。 14、2.
4

12、

1 4 3 8 3 . 13、 或 . 12 9 9

2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案

三、15、

? 3 1? ? a?c 3 5? 解: a?? , ? cos a , c ? ? ? ? a , c ? , ?1?当x= 时, ? ? 2 2? 6 2 6 a ? c ? ?

? 2 ? f ? x ? ? 2a ? b ? 1 ? ?2 cos 2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x
?? ? ? ?? ? ? ? 9? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? , x ? ? , ? , ? ? 2 x ? ? ? ? , 2? ? 4? 4? ?4 ? ?2 8 ? ? ? ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ?1,1? ? f ? x ?max ? 2. 4? ?
16、

解: ?1? f ? x ? 关于直线x ? a对称,当a ? 0时, f ? x ? 为偶函数,当a ? 0时, f ? x ? 为非奇非偶函数。

? 2 ?当a ? 2时,g 2 ? x ? f ? x ? ? 4 x 2

x ? 2 ? 4 x, 1 当x ? 0时, 适合题意

?x ? 2 ? x ? 2, x ? 0 2 ? 2 ? x ? 2 ? 1, 3 ? 2 ? x ? 1, x ? 2 x ? 1 ? 0 x ? 2 x ? 1 ? 0 ? ? ? 综合知x ? 0,1, 2 ? 1

?

?

17、

? 3?

? ?? a ? 1? x ? a x ? a F ? x ? ? ax ? x ? a ? ? , a ? 0, a ? 1 x ? a x ? a ? ? ? ? f ? x ? 在 ? 0,+? ? 上有最大值, ? a-1 ? 0,又a ? 0, ? a ? ? 0,1?.

A D O E B P C

如图,作 OE ? BC于E,OD ? AP于D,

设 OE ? x, OD ? y, ? AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ? 2 AP 2 ? BP 2 ? CP 2 ? 4 BE 2 ? 8 x 2 ? ? BE ? y ? ? ? BE ? y ? ? 4 BE 2 ? 8 x 2 ? 6 BE 2 ? 2 y 2
2 2

? 8 x 2 ? 6 ? 25 ? x 2 ? ? 2 y 2 ? 150 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? 158.
18、

5

2009 年湖南省高中数学竞赛 B 卷试题与答案

解: ?1? a 2 ? b 2 ? 5, OQ ?

1 a ?b
2 2

?

5 . 5

? 2 ? OC ? OA ? OB ? ? a=? ?-1,2 ? , ? ? 0, C点在圆O上,且 ?-1,2 ? 在圆O上, ? ?=1,C ?-1,2 ?,设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ? x1 ? x2 ? ?1,
又OC ? OA ? OB, OA = OB ? AB ? OC,k AB ? ? 1 1 ? , kOC 2

1 ? 设l的方程为y= x ? b代入圆的方程得5x2 ? 4bx ? 4b 2 ? 20 ? 0 2 4b 5 1 5 ? x1 ? x2 ? ? ? ?1, ? b ? ,?l的方程为y= x ? . 5 4 2 4
19、

1 1 解: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? , ? g ? x1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?1? 设g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? ? ?, 2 2? 2 1 1 g ? x2 ? ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? , ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0, ? ? ? ? 2 4 又 g ? x ? 也是二次函数,由二次函数的图象特征知,g ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 上必有 一个根,且g ? x ?=0有两个不相等的实数根。 ? f ? x? ? 1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 有两个不相等的实数根,且在 ? x1 , x2 ? 上必有一个根. 2? b 1 1 1 2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? a ? x12 ? x2 ? b ? x1 ? x2 ? ? c ? 2 ? x0 ? ? , f ? m ? ? am2 ? bm ? c ? ? ? ? ? 2a 2 2 2 1 1 b 1 2 ? am2 ? bm ? a ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? b ? 2m ? 1? ? x0 ? ? ? ?m 2 ? 2m ? ? x1 x2 ? ? 2 2 2a 2
2 2

1 2m ? 1 ? 1 1 ? 2 ? ?m ? 2m ? ? x1 ? 2m ? 1 ? x1 ? ? ? ? x1 ? ? ?m? ? m? ? m , 2 2 ? 4 4 ? 1 上式等号成立时, m ? , x1 ? 0, ? x1 ? x2 ? 2m ? 1 ? 0 ? x2 ? 0与x1 ? x2矛盾。 2 2 ? x0 ? m .

6

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