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第十三篇 推理证明、算法、复数第2讲 直接证明与间接证明



第2讲

直接证明与间接证明

1.在历年的高考中,证明方法是常考内容,考查的主要方式是对它们原理的理 解和用法.难度多为中档题,也有高档题. 2.从考查形式上看,主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列 等知识为载体,考查综合法、分析法、反证法等方法. 【复习指导】 在备考中,对本部分的内容,要抓住关键,即分析法、综合法、反证法

,要搞清 三种方法的特点, 把握三种方法在解决问题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于 解决的问题的类型,同时也要加强训练,达到熟能生巧,有效运用它们的目 的 .

基础梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义: 利用已知条件和某些数学定义、 公理、 定理等, 经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为 止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 一般地,由证明 p?q 转向证明:綈 q?r???t. t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假,推出 q 为真的方法, 叫做反证法.

一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论 与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者 在证明时将两种方法交叉使用. 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没 有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用 “要证(欲 证)?”“即要证?”“就要证?”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所 要证明的数学问题成立. 双基自测 b d 1.(人教 A 版教材习题改编)p= ab+ cd,q= ma+nc· m+n(m、n、a、b、 c、d 均为正数),则 p、q 的大小为( A.p≥q 解析 q= B.p≤q ). C.p>q D.不确定

mad nbc ab+ n + m +cd≥ ab+2 abcd+cd

mad abc = ab+ cd=p,当且仅当 n = m 时取等号. 答案 B 2.设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 大小关系为( A.a>b C.a=b B.a<b D.a≤b ).

解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex,当 x<0 时,0<b<1. ∴a>b. 答案 A 3.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 ).

C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c 恰有一个偶数,即 a,b,c 中只有一个偶数,其反面是有两个 或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数,故只有 D 正确. 答案 D 4.(2012· 广州调研)设 a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+a>0 ).

解析 ∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0. 答案 D 5.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结 论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的正确. 例如:在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB>∠APC,求证: ∠BAP<∠CAP,用反证法证明时应分:假设________和________两类. 答案 ∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP

考向一

综合法的应用

a2 b2 c2 【例 1】?设 a,b,c>0,证明: b + c + a ≥a+b+c. [审题视点] 用综合法证明,可考虑运用基本不等式. 证明 ∵a,b,c>0,根据均值不等式, a2 b2 c2 有 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c. a2 b2 c2 三式相加: b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c). 当且仅当 a=b=c 时取等号. a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. 综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推导出所要 证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑 依据是三段论式的演绎推理方法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保 证结论的正确性.

1 1 【训练 1】 设 a,b 为互不相等的正数,且 a+b=1,证明:a+b>4. 1 1 ?1 1? b a 证明 a+b=?a+b?· (a+b)=2+a+b≥2+2=4. ? ? 1 1 又 a 与 b 不相等.故a+b>4. 考向二 分析法的应用

?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ 【例 2】?已知 m>0,a,b∈R,求证:? . 1+m ? 1+m ? [审题视点] 先去分母,合并同类项,化成积式. 证明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证. 逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成 立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. 【训练 2】 已知 a,b,m 都是正数,且 a<b. a+m a 求证: > . b+m b 证明 要证明 a+m a > ,由于 a,b,m 都是正数, b+m b

只需证 a(b+m)<b(a+m), 只需证 am<bm, 由于 m>0,所以,只需证 a<b. 已知 a<b,所以原不等式成立. (说明:本题还可用作差比较法、综合法、反证法) 考向三 反证法的应用

x-2 【例 3】?已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

(2)用反证法证明 f(x)=0 没有负根. [审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明;第(2)问假设存在 x0<0 后,应推 导出 x0 的范围与 x0<0 矛盾即可. 证明 (1)法一 任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-

x1>1,且 ax1>0. 所以 ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又因为 x1+1>0, 2+1>0, x 所以 ?x2-2??x1+1?-?x1-2??x2+1? 3?x2-x1? = = >0, ?x2+1??x1+1? ?x2+1??x1+1? 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1 x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 法二 f′(x)=axln a+ 3 >0, ?x+1?2

∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- x0-2 ,又 0<ax0<1,所以 x0+1

x0-2 1 0<- <1,即2<x0<2,与 x0<0(x0≠-1)假设矛盾.故 f(x0)=0 没有负根. x0+1 当一个命题的结论是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式 出现时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以 是:①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实 矛盾等方面, 反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中的 一件有力武器. 【训练 3】 已知 a,b 为非零向量,且 a,b 不平行,求证:向量 a+b 与 a-b 不平行. 证明 假设向量 a+b 与 a-b 平行, 即存在实数 λ 使 a+b=λ(a-b)成立, 则(1-λ)a+(1+λ)b=0,∵a,b 不平行, ?1-λ=0, ?λ=1, ∴? 得? ?1+λ=0, ?λ=-1, 所以方程组无解,故假设不成立,故原命题成

立.

规范解答 24——怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法,其基本特点是反设结论,导出矛 盾,当问题从正面证明无法入手时,就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中, 对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行. 【解决方案】 首先反设,且反设必须恰当,然后再推理、得出矛盾,最后肯定. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 安徽)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其 中实数 k1,k2 满足 k1k2+2=0. (1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上. 第(1)问采用反证法, 第(2)问解 l1 与 l2 的交点坐标, 代入椭圆方程验证. [解答示范] 证明 (1)假设 l1 与 l2 不相交,

则 l1 与 l2 平行或重合,有 k1=k2,(2 分) 代入 k1k2+2=0,得 k2+2=0.(4 分) 1 这与 k1 为实数的事实相矛盾,从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交.(6 分) ?y=k1x+1, (2)由方程组? ?y=k2x-1, 2 ?x=k2-k1, ? 解得交点 P 的坐标(x,y)为? k +k ?y=k2-k1. ? 2 1 ? 2 ? ?k2+k1?2 ? 从而 2x2+y2=2?k -k ?2+? ? 2 1? ?k2-k1? 8+k2+k2+2k1k2 k2+k2+4 2 1 1 2 = 2 2 = 2 2 =1, k2+k1-2k1k2 k1+k2+4 此即表明交点 P(x,y)在椭圆 2x2+y2=1 上.(12 分) 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的 反面;(2)必须从否定结论进行推理, 即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾

(9 分)

可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但 是推导出的矛盾必须是明显的. 【试一试】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. [尝试解答] (1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1.

1 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2,两式相减得 an+1=2an, 1 1 所以{an}是首项为 1,公比为2的等比数列,所以 an= n-1. 2 (2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q< r,且 p,q,r∈N*), 1 1 1 则 2·q=2p+2r,所以 2·r-q=2r-p+1.① 2 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N*. 所以①式左边是偶数, 右边是奇数, 等式不成立, 所以假设不成立, 原命题得证.



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