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课时作业50



课时作业 50 证明平行与垂直

一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的是( )

A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若 l∥α,则 a

· n=0, D 中,a· n=1×0+(-1)×3+3×1=0, ∴a⊥n. 答案:D 2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的 一个单位法向量是( A.? B.?
? ? ? 3 3 3? ? , ,- 3 3? ? 3

)

? 3 3 3? ? ,- , 3 3? ?3

C.?- D.?-
? ?

3 3 3? ? , , 3 3 3? 3 3 3? ? ,- ,- 3 3 3?

解析:因为 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), 所以 AB―→=(-1,1,0),AC―→=(-1,0,1).

经验证,当 n=?-
?

?

3 3 3? ?时, ,- ,- 3 3 3?

3 3 3 3 n· AB―→= 3 - 3 + 0 = 0 , n· AC―→= 3 + 0 - 3 = 0 ,故选 D. 答案:D 3.若 AB―→=λCD―→+μCE―→,则直线 AB 与平面 CDE 的 位置关系是( A.相交 C.在平面内 ) B.平行 D.平行或在平面内

解析: ∵AB―→=λCD―→+μCE―→, ∴AB―→, CD―→, CE―→ 共面.则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案:D 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD =2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点,则 AM 与 PM 的位置关 系为( )

A.平行 C.垂直

B.异面 D.以上都不对

解析:以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x,y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,

依题意,可得 D(0,0,0),P(0,1, 3),C(0,2,0),A(2 2,

0,0),M( 2,2,0). ∴PM―→=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3), AM―→=( 2,2,0)-(2 2,0,0)=(- 2,2,0), ∴PM―→· AM―→=( 2,1,- 3)· (- 2,2,0)=0, 即 PM―→⊥AM―→,∴AM⊥PM. 答案:C 5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 在 EF 上,且 AM∥平面 BDE.则 M 点的坐标为( )

A.(1,1,1) C.?
? 2 ? 2 ? , , 1 2 ?2 ?

B.?

? 2 ? 2 ? , , 1 3 ?3 ? ? 2 2 ? ? , 4 ,1? ? 4

D.?

解析:设 AC∩BD=O,连接 OE,由 AM∥平面 BDE,且 AM? 平面 ACEF,平面 ACEF∩平面 BDE=OE,∴AM∥EO, 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点, ∴M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系,E(0,0,1),F( 2, 2,1). 由中点坐标公式,知点 M 的坐标? 答案:C 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 A1D,AC 2 1 上,且 A1E=3A1D,AF=3AC,则( )
? 2 2 ? ?. , 2 ,1? ? 2

A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 解析:以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x, y,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1), 1? ?2 1 ? ?1 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E?3,0,3?,F?3,3,0?,B(1,
? ? ? ?

1,0),D1(0,0,1), A1D―→=(-1,0,-1),AC―→=(-1,1,0), 1? ?1 1 EF―→=?3,3,-3?,BD1―→=(-1,-1,1),
? ?

1 EF―→=-3BD1―→,A1D―→· EF―→=AC―→· EF―→=0, 从而 EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选 B. 答案:B 二、填空题 7.已知平面 α 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0), 平面 β 的一个法向量 n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是________. 解析:AB―→=(0,1,-1),AC―→=(1,0,-1),∴n· AB―→ =0,n· AC―→=0,∴n⊥AB―→,n⊥AC―→,故 n 也是 α 的一个 法向量.又∵α 与 β 不重合,∴α ∥β . 答案:平行

8. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点, 如果 AB―→ =(2,-1,-4),AD―→=(4,2,0),AP―→=(-1,2,-1).对 于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP―→是平面 ABCD 的法向量; ④AP―→∥BD―→.其中正确的是________. 解析:∵AB―→· AP―→=0,AD―→· AP―→=0. ∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.又 AB―→与 AD―→不平行, ∴AP―→是平面 ABCD 的法向量,则③正确. 由于 BD―→=AD―→-AB―→=(2,3,4),AP―→=(-1,2, -1), ∴BD―→与 AP―→不平行,故④错误. 答案:①②③ 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为 ________.

解析:以 D1A1,D1C1,D1D 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系,设 CE=x,DF=y,则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0), 所以 B1E―→=(x-1,0,1),又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以 FB―→= (1 , 1 , y) ,由于 AB⊥B1E ,故若 B1E ⊥平面 ABF ,只需 FB―→· B1E―→=(1,1,y)· (x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案:1

三、解答题 10.如图所示,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰 直角三角形, ∠BAC=90°, 且 AB=AA1, D、 E、 F 分别为 B1A、 C1C、 BC 的中点.求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

证明:(1)如图建立空间直角坐标系 A-xyz, 令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0, 4). 取 AB 中点为 N,连接 CN, 则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), ∴DE―→=(-2,4,0),NC―→=(-2,4,0), ∴DE―→=NC―→,∴DE∥NC, 又∵NC?平面 ABC,DE?平面 ABC. 故 DE∥平面 ABC. (2)B1F―→=(-2,2,-4),EF―→=(2,-2,-2),AF―→= (2,2,0),B1F―→· EF―→=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,

B1F―→· AF―→=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴B1F―→⊥EF―→,B1F―→⊥AF―→,即 B1F⊥EF,B1F⊥AF, 又∵AF∩EF=F,∴B1F⊥平面 AEF. 11.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等 边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 证明:设 AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a, 3a,0),E(a, 3 a,2a).

∵F 为 CD 的中点,
?3 ? 3 ∴F? a, a,0?. 2 ?2 ? ?3 ? 3 (1)∵AF―→=? a, a,0?,BE―→=(a, 3a,a),BC―→= 2 ?2 ?

(2a,0,-a), 1 ∴AF―→=2(BE―→+BC―→),又 AF?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE.
?3 ? 3 (2)∵AF―→=? a, a,0?,CD―→=(-a, 3a,0),ED―→ 2 ?2 ?

=(0,0,-2a),

∴AF―→· CD―→=0,AF―→· ED―→=0,∴AF―→⊥CD―→, AF―→⊥ED―→, ∵CD∩ED=D,∴AF⊥平面 CDE,又 AF∥平面 BCE, ∴平面 CDE⊥平面 BCE.

1.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正 方形,PD=DC,E,F 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD. (2)在平面 PAD 内是否存在一点 G,使 GF⊥平面 PCB,若存在, 请求出 G 的位置;若不存在,请说明理由.

解:如图,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系,设 AD=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a, a ? ? ?a a a? 0),C(0,a,0),E?a,2,0?,P(0,0,a),F?2,2,2?.
? ? ? ?

a? ? a (1)EF―→=?-2,0,2? ,DC―→=(0,a,0).EF―→· DC―→
? ?

=0,所以 EF―→⊥DC―→,即 EF⊥CD. (2)假设点 G 存在.设 G(x,0,z), a a a? ? 则 FG―→=?x-2,-2,z-2?, ? ? 因为 GF⊥平面 PCB,则 a a a? ? 由 FG―→· CB―→=?x-2,-2,z-2?·(a,0,0) ? ?

a? ? a =a?x-2?=0,得 x=2;
? ?

a a a? ? 由 FG―→· CP―→=?x-2,-2,z-2?·(0,-a,a) ? ? a2 ? a? = 2 +a?z-2?=0,得 z=0. ? ?
?a ? 所以 G 点坐标为?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. ? ?

2.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M, N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1 的中点,点 P,Q 分别在棱 DD1, BB1 上移动,且 DP=BQ=λ(0<λ<2).

(1)当 λ=1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ; (2)是否存在 λ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面 角?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. 解:以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴的正半 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.由已知得 B(2, 2, 0), C1(0, 2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ),则 BC1―→=(-2, 0,2),FP―→=(-1,0,λ ),FE―→=(1,1,0).

(1)证明:当 λ=1 时,FP―→=(-1,0,1), 因为 BC1―→=(-2,0,2), 所以 BC1―→=2FP―→,即 BC1∥FP.

而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n=(x,y,z),则
? ? n=0, ?FE―→· ?x+y=0, ? 由 可得? ?FP―→· ?-x+λz=0. n=0, ? ?

于是可取 n=(λ,-λ,1). 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m=(λ-2,2-λ,1). 若存在 λ, 使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m· n=(λ-2,2-λ,1)· (λ,-λ,1)=0,即 λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0, 2 解得 λ=1± 2 . 2 故存在 λ=1± 2 ,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二 面角.



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