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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解



绝密 ★ 启用前 理工农医类) 数 学(理工农医类 理工农医类
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 (2)设集合 A={x| B.2 C.1 或 2 D.-1

x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ∈ A”是“m ∈ B”的 x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128

(4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x ∈ R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2

(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 A.

16 625

B.

96 625

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 192 256 C. D. 625 625

(6)如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值 为

A.

6 3

B.

2 6 5

C.

15 5

D.

10 5

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

(8)若实数 x、y 满足 A.(0,1)

{ x ? y + 1 ≤ 0, 则
B. ( 0,1]

y 的取值范围是 x
C.(1,+ ∞ ) D. [1, +∞ )

(9)函数 f(x)=cosx(x)(x ∈ R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可 以为 A.

π
2

B. π

C.- π

D.-

π
2

(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.

π
6

B.

π
3

C.

π
6



5π 6

D.

π
3



2π 3

(11)又曲线

x2 y2 = = 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则 a2 b2
B. (1,3] C.(3,+ ∞ ) D. [3, +∞ )

双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)

(12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos θ (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin θ

( θ 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是

.

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 (16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、

.

a b

∈P(除

数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F = a + b 2 a, b ∈ Q 也是数 域.有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域;

{

}

③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x + 4 cos A sin x( x ∈ R ) 的值域. (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直 角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为 若不存在,请说明理由. (19)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

3 2

?若存在, 求出

AQ QD

的值;

1 3 x + x2 ? 2 . 3
2

(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点 (an , an +1 ? 2an +1 ) (n∈N*)在函 数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20)(本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 成绩合格的概率均为

2 ,科目 B 每次考试 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ξ ,求 ξ 的

数学期望 E ξ . (21)(本小题满分 12 分) 如图、椭圆

x2 y2 + = 1(a f b f 0) 的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点. a2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动, B 值有 OA + OB p AB ,
2 2 2

求 a 的取值范围. (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 [ 0, π] (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. (Ⅲ)如果对一切 n,不等式 an p

an + 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an + 2

(Ⅳ)求证:

a a a2 n ?1 a1 a1a3 + + + 1 3 p 2an + 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 a 2 n

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数 学(理工类)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 选择题: 只有一项是符合题目要求的。 只有一项是符合题目要求的。
(1)若复数 (a ? 3a + 2) + ( a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为
2

A.1
2

B.2

C.1 或 2

D.-1

解:由 a ? 3a + 2 = 0 得 a = 1或2 ,且 a ? 1 ≠ 0得a ≠ 1 ∴ a = 2 (纯虚数一定要使虚部不为 0) (2)设集合 A = {x |

x < 0} , B = {x | 0 < x < 3},那么“m ∈ A”是“m ∈ B”的 x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件 解:由

x < 0 得 0 < x < 1 ,可知“ m ∈ A ”是“ m ∈ B ”的充分而不必要条件 x ?1

(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1 = 1, a5 = 16 ,则数列 {an } 前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128

解:由 a1 = 1, a5 = 16 及{an}是公比为正数得公比 q = 2 ,所以 S7 = (4)函数 f ( x ) = x 3 + sin x + 1( x ∈ R ) ,若 f ( a ) = 2 ,则 f ( ? a ) 的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2

1 ? 27 = 127 1? 2

解: f ( x ) ? 1 = x 3 + sin x 为奇函数,又 f ( a ) = 2 ∴ f ( a ) ? 1 = 1 , 故 f ( ? a ) ? 1 = ?1 即 f ( ? a ) = 0 . (5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 A.

16 625

B.

96 625

C.

192 625

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 256 D. 625
2 2

4 96 2?4? ?1? 解:独立重复实验 B (4, ) , P ( k = 2) = C4 ? ? ? ? = 5 ? 5 ? ? 5 ? 625
(6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.

6 3

B.

2 6 5

D1 A1 B1

C1

D A B

C

C.

15 5

D.

10 5

解:连 A1C1 与 B1 D1 交与 O 点,再连 BO,则 ∠OBC1 为 BC1 与平面 BB1D1D 所成角.

OC1 COS ∠OBC1 = , OC1 = 2 , BC1 = 5 BC1

D1 A1 D A B O B1

C1

2 10 ∴ COS ∠OBC1 = = 5 5

C

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么 不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28
4

D.48

解:6 人中选 4 人的方案 C6 = 15 种,没有女生的方案只有一种, 所以满足要求的方案总数有 14 种 (8)若实数 x、y 满足 ?

?x ? y +1 ≤ 0 ?x > 0



y 的取值范围是 x
D. [1, +∞ )

A.(0,1)

B. ( 0,1]

C.(1,+ ∞ )

解:由已知 y ≥ x + 1 ,

y x +1 1 y = = 1 + ,又 x > 0 ,故 的取值范围是 (1, +∞) x x x x

(9)函数 f ( x ) = cos x ( x ∈ R ) 的图象按向量 (m, 0) 平移后,得到函数 y = ? f ' ( x ) 的图象, 则 m 的值可以为 A.

π

2

B. π

C.- π

D.-

π
2

解: y = ? f ′( x ) = sin x ,而 f ( x ) = cos x ( x ∈ R ) 的图象按向量 (m, 0) 平移后 得到 y = cos( x ? m) ,所以 cos( x ? m) = sin x ,故 m 可以为 所以

π
2

.

(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 (a 2 +c 2 -b 2 )tanB= A.

3ac ,则角 B 的值为

π
6
2 2

B.

π
3

C.

π
6



5π 6

D.

π
3



2π 3

(a 2 +c 2 -b 2 ) 3 cos B 3 cos B 解: 由 (a +c -b )tanB= 3ac 得 = 即 cos B = 2ac 2 sin B 2 sin B
2

∴ sin B =

3 π 2π ,又在△中所以 B 为 或 2 3 3

(11)双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲 a2 b2
B. (1,3] C.(3,+ ∞ ) D. [3, +∞ )

线离心率的取值范围为 A.(1,3)

解: 如图, PF2 = m ,∠F1 PF2 = θ (0 < θ ≤ π ) , P 在右顶点处 θ = π , 设 当

e=

m 2 + (2m) 2 ? 4m 2 cos θ 2c = = 5 ? 4 cos θ 2a m

∵ ?1 < cos θ ≤ 1 ,∴ e ∈ (1,3] 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前 者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定 a 与 c 的关系。 (12) 已知函数 y = f ( x ), y = g ( x ) 的导函数的图象如下图, 那么 y = f ( x ), y = g ( x ) 图象可能是

解:从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同,可以排除 B 答案,再者导函数的函数值反映 的是原函数增加的快慢,可明显看出 y = f ( x) 的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢, 排除 AC,最后就只有答案 D 了,可以验证 y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
小题, 把答案填在答题卡的相应位置. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置 填空题:
(13)若 ( x ? 2) = a5 x + a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 ,则 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = (用数字作答)
5 5 4 3 2

解:令 x = 1得a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = ?1 ,令 x = 0 得 x = 0得a0 = ?32 所以 a5 + a4 + a3 + a2 + a1 = 31 (14) 若直线 3 x + 4 y + m = 0 与圆 ? 则实数 m 的取值范围是 解:圆心为 (1, ?2) ,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得

? x = 1 + cos θ ( θ 为参数)没有公共点, ? y = ?2 + sin θ

d=

3 × 1 + 2 × (?4) + m 32 + 42

> r = 1 ,即 m ? 5 > 5 , m ∈ ∞,0)(10,+∞) (U

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.

2r = 3 + 3 + 3 = 3 , S = 4π r 2 = 9π
(16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、

数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F = a + b 2 a, b ∈ Q 也是数域.有 下列命题: ①整数集是数域; ③数域必为无限集; 其中正确的命题的序号是 解:①对除法如 ②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域; ④存在无穷多个数域. .(把你认为正确的命题的序号填填上)

{

}

a b

∈P(除

②取 M = a + b 3 2 a, b ∈ Q ,对乘法 3 2

{

1 ? Z 不满足,所以排除, 2

}

3

2 = 3 4 ? M , ③④的正确性容易推得。

小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
)(本小题满分 (17)(本小题满分 12 分) )( 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x + 4 cos A sin x( x ∈ R ) 的值域.

解:(Ⅰ) 由题意得 m n = 由 A 为锐角得 A ?

π π 1 3 sin A ? cos A = 1, 2 sin( A ? ) = 1,sin( A ? ) = . 6 6 2

π

6

=

π

6

,A=

π

3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 cos A =

1 , 2
2

所以 f ( x ) = cos 2 x + 2sin x = 1 ? 2sin x + 2sin s = ?2(sin x ? ) +
2

3 . 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x ∈ [ ?1,1] ,因此,当 sin x = 时,f(x)有最大值 . 2 2
当 sin x = ?1 时, f ( x ) 有最小值-3,所以所求函数 f ( x ) 的值域是 ? ?3, ?

1 2

? ?

3? 2?

)(本小题满分 (18)(本小题满分 12 分) )( 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直 角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为

3 2



若存在,求出

AQ QD

的值;若不存在,请说明理由.

解法一: 解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ∩ 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形,所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 在 Rt△PBO 中,tan∠PBO=

PG 1 2 2 = = , ∠PBO = arctan . BC 2 2 2

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arctan

2 . 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 设 QD=x,则 S ?DQC =

3 . 2

1 x ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 2

在 Rt△POC 中, PC = OC 2 + OP 2 = 所以 PC=CD=DP, S ?PCD =

2,

3 3 ( 2) 2 = , 4 2
AQ 1 = . QD 3

由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 解法二: 解法二: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 OD OP

uuur uuur uuu r

O-xyz,依题意,易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

,0), 1 ? ? ). 所以 CD=( ? 11, PB=( , 1, 1
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos

uuu r

uuu r

6 , 3 3 , 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 由(Ⅱ)知 CP = ( ?1, 0,1), CD = ( ?1,1, 0).

uuu r

uuu r

uuu r ?n CP = 0, ?? x0 + z0 = 0, ? 则 ? uuu 所以 ? 即 x0 = y0 = z0 , r ?? x 0 + y0 = 0, ?n CD = 0, ?
取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).

设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).

uuuuur CQ n uuu r ?1 + y 3 3 = ,得 = , 设 Q (0, y , 0)( ?1 ≤ y ≤ 1), CQ = ( ?1, y , 0), 由 n 2 2 3
解 y=-

1 5 1 3 或 y= (舍去),此时 AQ = , QD = , 2 2 2 2 AQ 1 = . QD 3

所以存在点 Q 满足题意,此时

)(本小题满分 (19)(本小题满分 12 分) )( 已知函数 f ( x ) =

1 3 x + x2 ? 2 . 3
2

(Ⅰ)设 an } 是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn ,其中 a1 = 3 .若点 (an , an +1 ? 2an +1 ) (n∈N*) 在函数 y = f ' ( x ) 的图象上,求证:点 (n, S n ) 也在 y = f ' ( x ) 的图象上; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 (a ? 1, a ) 内的极值. 解:(Ⅰ)证明: 因为 f ( x ) =
2 +

{

1 3 x + x 2 ? 2, 所以 f ' ( x) = x 2 + 2 x , 3
' 2 2

由点 ( an , an +1 ? 2an +1 )(n ∈ N ) 在函数 y = f ( x ) 的图象上, an +1 ? 2an +1 = an + 2an

(an +1 + an )(an +1 ? an ) = 2(an + an +1 ) , 又 an > 0(n ∈ N + ),
所以 an +1 ? an = 2 , an } 是 a1 = 3, d = 2 的等差数列 所以 S n = 3n +

{

n(n ? 1) × 2=n 2 + 2n ,又因为 f ' (n) = n 2 + 2n ,所以 S n = f ′(n) , 2

故点 (n, S n ) 也在函数 y = f ' ( x ) 的图象上. (Ⅱ)解: f ′( x ) = x 2 + 2 x = x ( x + 2) ,令 f ′( x ) = 0, 得 x = 0或x = ?2 . 当 x 变化时, f ′( x ) ﹑ f ( x ) 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

注意到 ( a ? 1) ? a = 1 < 2 ,从而 ①当 a ? 1 < ?2 < a, 即 ? 2 < a < ?1时,f ( x )的极大值为f ( ?2) = ?

2 ,此时 f ( x ) 无极小值; 3

②当 a ? 1 < 0 < a, 即0 < a < 1时,f ( x) 的极小值为 f (0) = ?2 ,此时 f ( x ) 无极大值; ③当 a ≤ ?2或 ? 1 ≤ a ≤ 0或a ≥ 1时,f ( x) 既无极大值又无极小值.

)(本小题满分 (20)(本小题满分 12 分) )( 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 成绩合格的概率均为

2 ,科目 B 每次考试 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ξ ,求 ξ 的 数学期望 E ξ . 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1 ,“科目 A 补考合格”为事件 A2 ;“科目 B 第一次 考试合格”为事件 B1 ,“科目 B 补考合格”为事件 B2 (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1 B1 ,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P ( A1 B1 ) = P ( A1 ) × P ( B1 ) =

2 1 1 × = . 3 2 3 1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得, ξ =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P(ξ = 2) = P( A1 B1 ) + P( A1 A2 )
2 1 1 1 1 1 4 = × + × = + = . 3 2 3 3 3 9 9

P(ξ = 3) = P( A1 B1 B2 ) + P( A1 B1 B2 ) + P( A1 A2 B2 )
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 = × × + × × + × × = + + = , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3

P(ξ = 4) = P( A1 A2 B2 B2 ) + P( A1 A2 B1 B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 = × × × + × × × = + = , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 Eξ = 2 × + 3 × + 4 × = . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的数学期望为 . 3
)(本小题满分 (21)(本小题满分 12 分) )(

x2 y2 如图、椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点. a b
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角 形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 OA + OB < AB ,求 a 的取值范围.
2 2 2

解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,

因为△MNF 为正三角形, 所以 OF =

3 3 2b MN , 1 = , 解得b= 3. 2 2 3

a 2 = b 2 + 1 = 4, 因此,椭圆方程为
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

x2 y 2 + = 1. 4 3

OA + OB = 2a 2 , AB = 4a 2 (a 2 > 1),
2 2 2

因此,恒有 OA + OB < AB .
2 2 2

(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: x = my + 1, 代入

x2 y 2 + = 1, a 2 b2

2 2 2 2 2 2 2 2 整理得 ( a + b m ) y + 2b my + b ? a b = 0,

所以 y1 + y2 = ?
2

2b 2 m b 2 ? a 2b 2 , y1 y2 = 2 a 2 + b 2 m2 a + b2m2
2 2

因为恒有 OA + OB < AB ,所以 ∠ AOB 恒为钝角. 即 OA OB = ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) = x1 x2 + y1 y2 < 0 恒成立.

uuu uuu r r

x1 x2 + y1 y2 = ( my1 + 1)( my2 + 1) + y1 y2 = ( m 2 + 1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + 1

(m 2 + 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m2 ? 2 +1 a2 + b2m2 a + b2 m2 ? m 2 a 2b 2 + b 2 ? a 2b 2 + a 2 = < 0. a 2 + b2m2
=
又 a + b m > 0 ,所以 ? m a b + b ? a b + a < 0 对 m ∈ R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 m a b > a + b ? a b 对 m ∈ R 恒成立,当 m ∈ R 时, m a b 最小值为 0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a + b ? a b < 0 , a 2 < b 2 ( a 2 ? 1) = b 4 ,
2 2 2 2

因为∵ a > 0, b > 0,∴ a < b 2 = a 2 ? 1 ,即 a ? a ? 1 > 0 ,
2

解得 a >

1+ 5 1? 5 1+ 5 或a < (舍去),即 a > , 2 2 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 ( )(本小题满分 (22)(本小题满分 14 分) )(

1+ 5 , +∞) . 2

已知函数 f ( x ) = ln(1 + x ) ? x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)记 f ( x ) 在区间 [ 0, n ] (n∈N*)上的最小值为 b n 令 an = ln(1 + n) ? bn ①如果对一切 n,不等式 an <

an + 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an + 2

②求证: 解:

a a a2 n ?1 a1 a1a3 + + + 1 3 < 2an + 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 a 2 n
1 ?x ?1 = 。 1+ x 1+ x

(I)因为 f ( x ) = ln(1 + x ) ? x ,所以函数定义域为 (?1, +∞) ,且 f ( x ) =
'

由 f ' ( x ) > 0 得 ?1 < x < 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (?1, 0) ; 由 f ' ( x ) < 0 <0 得 x > 0 , f ( x ) 的单调递增区间为(0,+ ∞ ). (II) 因为 f ( x ) 在 [0, n] 上是减函数,所以 b n = f ( n) = ln(1 + n) ? n 则 an = ln(1 + n) ? bn = ln(1 + n) ? ln(1 + n) + n = n . ①

an + 2 ( an + 2 ? an ) = n + 2( n + 2 ? n ) = n + 2 2 n+2 = 1. n+2+ n+2

2 n+2+ n

>

又 lim n + 2( n + 2 ? n ) = lim

2 2 1+ 1? n+2

x →∞

=1,

因此 c ≤ 1 ,即实数 c 的取值范围是 (?∞,1] .
② 由① 知

1 < 2n + 1 ? 2n ? 1. 2n + 1

因为[

1 ? 3 ? 5 ?K ? (2n ? 1) 2 ] 2 ? 4 ? 6 ??K ? (2n)

=

1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n + 1) 1 1 ? 2 ? 2 ?L ? ? < , 2 2 2 4 6 (2n) 2n + 1 2n + 1 1 3 5 L (2n ? 1) 1 < < 2n + 1 ? 2n ? 1 (n ∈ N*), 2 4 6 L (2n) 2n + 1

所以



1 13 1 3 5 L (2n ? 1) + +L + < 2 24 2 4 6 L (2n)

3 ? 1 + 5 ? 3 + L + 2a + 1 ? 2n ? 1 = 2 n + 1 ? 1
即 a a L a2 n ?1 a1 a1a3 + +L + 1 3 < 2an + 1 ? 1(n ∈ N * ) a2 a2 an a2 a4 L a2 n



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