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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲



第8讲

函数的应用

最新考纲

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与

方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个

数;2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,
结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不 同函数类型增长的含义;3.了解函数模

型(如指数函数、 对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用.

知识梳理
1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点 ? 函数 y =f(x)有 零点 . (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 f(b)<0 ;则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点,即 条曲线;② f(a)· 存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 二次函数 Δ=0 Δ<0

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

与x轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

无交点

零点个数

两个

一个

零个

3.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 y=ax(a>1) 单调 递增 越来越快 y=logax(a>1) 单调 递增 越来越慢

y=xn(n>
0) 单调递增 相对平稳 随n值变化 而各有不 同

性质
在(0,+∞)

上的增减性
增长速度

随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表 图象的变化 现为与 y轴 平行 现为与 x轴 平行 值的比较

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2) 函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点 ( 函数图象连续不断 ) ,

则f(a)· f(b)<0.( × )
(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)存在一个正零点、一个 负零点的充要条件为ac<0.( √ ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (5)当x>0时,函数y=2x与y=x2的图象有两个交点.( √ )

2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,

4),(0,2)内,那么下列命题中正确的是(
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点

)

解析

由题意可知,函数 f(x) 的唯一零点一定在

区间(0,2)内,故一定不在[2,16)内. 答案 C

6 3.已知函数 f(x)=x-log2x.在下列区间中,包含 f(x)零点 的区间是( A.(0,1) ) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

解析 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 又 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4) 6 3 1 =4-log24=2-2=-2<0,由零点存在性定理,可 知函数 f(x)在区间(2,4)上必存在零点,故选 C.
答案 C

4.(2015· 天津卷)已知函数

? ?2-|x|,x≤2, f ( x) = ? 函数 2 ? ?(x-2) ,x>2,

g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

解析

由已知条件可得

? ?|x-2|+1,x≥0, g(x)=3-f(2-x)=? 2 ? ?3-x ,x<0,

函数 y=f(x)-g(x)的零点个数.即为函数 y=f(x)与 y=g(x)图象的 交点,在平面直角坐标系内作出函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如 图所示,由图可知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有 2 个交点,所 以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 2,选 A.

答案 A

5.( 人教 A 必修1P104 例 5 改编) 某桶装水经营部每天的房租、
人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售 单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480 440

400

360

320

280

240

请根据以上数据作出分析,这个经营部为获得最大利 润,定价应为________元.

解析 设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,

日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶),
则y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13. 当 x = 6.5 时, y 有最大值 . 所以只需将销售单价定为 11.5 元, 就可获得最大的利润.

答案 11.5

考点一

函数与方程 函数零点所在区间的判定 ) C.(1,2) D.(2,3)

[微题型 1]

【例 1-1】 (1)(2015· 唐山一模)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间( A.(-1,0) B.(0,1)

(2)(2015· 长沙模拟)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x -b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于 区间( ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内

解析

(1)∵f(x)=ex+x-4, ∴f′(x)=ex+1>0, ∴函数 f(x)


在 R 上单调递增,对于 A 项,f(-1)=e 1+(-1)-4= -5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A 不正确; 同理可验证 B,D 不正确,对于 C 项,∵f(1)=e+1-4 =e-3<0, f(2)=e2+2-4=e2-2>0, f(1)f(2)<0.故 f(x) 的零点位于区间(1,2).

(2) 令 y1 = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) = (x - b)· [2x -(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函 数y1,y2的图