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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲



第8讲

函数的应用

最新考纲

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与

方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个

数;2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,
结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不 同函数类型增长的含义;3.了解函数模

型(如指数函数、 对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用.

知识梳理
1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点 ? 函数 y =f(x)有 零点 . (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 f(b)<0 ;则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点,即 条曲线;② f(a)· 存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 二次函数 Δ=0 Δ<0

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

与x轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

无交点

零点个数

两个

一个

零个

3.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 y=ax(a>1) 单调 递增 越来越快 y=logax(a>1) 单调 递增 越来越慢

y=xn(n>
0) 单调递增 相对平稳 随n值变化 而各有不 同

性质
在(0,+∞)

上的增减性
增长速度

随x的增大逐渐表 随x的增大逐渐表 图象的变化 现为与 y轴 平行 现为与 x轴 平行 值的比较

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2) 函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点 ( 函数图象连续不断 ) ,

则f(a)· f(b)<0.( × )
(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)存在一个正零点、一个 负零点的充要条件为ac<0.( √ ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (5)当x>0时,函数y=2x与y=x2的图象有两个交点.( √ )

2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,

4),(0,2)内,那么下列命题中正确的是(
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点

)

解析

由题意可知,函数 f(x) 的唯一零点一定在

区间(0,2)内,故一定不在[2,16)内. 答案 C

6 3.已知函数 f(x)=x-log2x.在下列区间中,包含 f(x)零点 的区间是( A.(0,1) ) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

解析 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 又 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4) 6 3 1 =4-log24=2-2=-2<0,由零点存在性定理,可 知函数 f(x)在区间(2,4)上必存在零点,故选 C.
答案 C

4.(2015· 天津卷)已知函数

? ?2-|x|,x≤2, f ( x) = ? 函数 2 ? ?(x-2) ,x>2,

g(x)=3-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

解析

由已知条件可得

? ?|x-2|+1,x≥0, g(x)=3-f(2-x)=? 2 ? ?3-x ,x<0,

函数 y=f(x)-g(x)的零点个数.即为函数 y=f(x)与 y=g(x)图象的 交点,在平面直角坐标系内作出函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如 图所示,由图可知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有 2 个交点,所 以函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 2,选 A.

答案 A

5.( 人教 A 必修1P104 例 5 改编) 某桶装水经营部每天的房租、
人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售 单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480 440

400

360

320

280

240

请根据以上数据作出分析,这个经营部为获得最大利 润,定价应为________元.

解析 设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,

日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶),
则y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13. 当 x = 6.5 时, y 有最大值 . 所以只需将销售单价定为 11.5 元, 就可获得最大的利润.

答案 11.5

考点一

函数与方程 函数零点所在区间的判定 ) C.(1,2) D.(2,3)

[微题型 1]

【例 1-1】 (1)(2015· 唐山一模)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间( A.(-1,0) B.(0,1)

(2)(2015· 长沙模拟)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x -b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于 区间( ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内

解析

(1)∵f(x)=ex+x-4, ∴f′(x)=ex+1>0, ∴函数 f(x)


在 R 上单调递增,对于 A 项,f(-1)=e 1+(-1)-4= -5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A 不正确; 同理可验证 B,D 不正确,对于 C 项,∵f(1)=e+1-4 =e-3<0, f(2)=e2+2-4=e2-2>0, f(1)f(2)<0.故 f(x) 的零点位于区间(1,2).

(2) 令 y1 = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) = (x - b)· [2x -(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由a<b<c作出函 数y1,y2的图象(图略),由图可知两函数图象的两 个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数f(x)

的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 答案 (1)C (2)A

规律方法

判断函数在某个区间上是否存在零点,

要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时, 就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根 据零点存在性定理判断,当用零点存在性定理也 无法判断时可画出图象判断.

[微题型 2]

判断函数零点个数
?1?x 1 f(x)=x2-? ? 的零点个数为( ?2?

【例 1-2】 (1)函数 A.0 B.1

)

C.2

D.3

(2)(2015· 郑州一模)函数 零点个数是________.

2 ? ?ln x-x +2x,x>0, f(x)=? 的 ? ?4x+1,x≤0

解析

(1)因为 y=x

1 2

?1?x 在 x∈[0, +∞)上单调递增, y=?2? 在 x∈R ? ?
1 2

上单调递减,所以 f(x)=x

?1?x -?2? 在 ? ?

x∈[0,+∞)上单调递增,

?1?x 1 1 又 f(0)=-1<0,f(1)=2>0,所以 f(x)=x 2 -?2? 在定义域内 ? ?

有唯一零点.

(2)当 x>0 时,令 g(x)=ln x, h(x)=x2-2x.画出 g(x)与 h(x)的图象如图: 故当 x>0 时,f(x)有 2 个零点. 1 当 x≤0 时,由 4x+1=0,得 x=-4,综上函 数 f(x)的零点个数为 3.

答案 (1)B (2)3

规律方法

函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点,

令f(x)=0,有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定 理,要求函数在区间 [a , b] 上是连续不断的曲线,且

f(a)· f(b) < 0 ,再结合函数的图象与性质确定函数零点
个数;(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察 其交点个数即得零点个数.

[微题型 3]

根据函数零点的存在情况,求参数

【例 1-3】 (2015· 湖南卷)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零 点,则实数 b 的取值范围是________.
解析 由 f(x)=|2x-2|-b=0,

得 |2x- 2| = b. 在同一平面直角坐标系中画出 y =|2x-2|与 y=b 的图象, 如图所示.则当 0<b<2 时, 两函数图象有两个交点, 从而函数 f(x)=|2x -2|-b 有两个零点.

答案 (0,2)

规律方法

已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法

和思路: (1) 直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过 解不等式确定参数范围; (2) 分离参数法,先将参数分离,

转化成求函数值域问题加以解决; (3) 数形结合,先对解析
式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然 后观察求解.

【训练 1】 (1)(2016· 济南一模)已知实数 a>1,0<b<1, 则函数 f(x)=ax+x-b 的零点所在的区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) )

D.(1,2)

(2)(2015· 安 徽 皖 北 四 校 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) =
x ? ?2 -a,x≤0, ? (a∈R), 若函数 f(x)在 R 上有两个零点, ? ?2x-1,x>0

则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1) C.[-1,0)

) B.(-∞,1] D.(0,1]

解析

(1)∵a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,

1 ∴f(-1)=a-1-b<0,f(0)=1-b>0,则由零点存在 性定理可知 f(x)在区间(-1,0)上存在零点.

1 (2)当 x>0 时,由 f(x)=0,即 2x-1=0,解得 x=2. 当 x≤0 时, 由题意可得 f(x)有一个零点, 故 a=2x, 因为 x≤0, 所以 2x∈(0,1],所以 a 的取值范围为(0,1],所以选 D.

答案 (1)B (2)D

考点二 二次函数的零点问题 【例2】 已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.

(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;

(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,
求实数a的取值范围.
解 (1)因为不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2],所以 a=-3,于

是 f(x)=x2-3x+2.由 f(x)≥1-x2,得 2x2-3x+1≥0, 1 解 得 x≤ 2 或 x≥1 , 所 以 不 等 式 f(x)≥1 - x2 的 解 集 为
? ? 1 ?x?x≤ 2 ? ? ? 或x≥1 ?. ?

(2)函数 g(x)=2x2+ax+3 在区间(1,2)上有两个不同的 ?g(1)>0, a+5>0, ? ? ? ?g(2)>0, ?2a+11>0, 零点,则? 即? a ?-8<a<-4, ?1<-4<2, ? ? ?a<-2 6或a>2 6, 2 ?Δ=a -24>0, 解得-5<a<-2 6. 所以实数 a 的取值范围是(-5,-2 6).

规律方法

解决与二次函数有关的零点问题:

(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用 一元二次方程的判别式及根与系数之间的关 系;(3)利用二次函数的图象列不等式组.

【训练2】 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点
比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围.



法一

设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别

为x1 , x2(x1<x2) ,则(x1-1)(x2 - 1)<0,∴x1x2-(x1 + x2) +1<0,由根与系数的关系, 得(a-2)+(a2-1)+1<0,即a2+a-2<0,∴-2<a<1.

法二 函数图象大致如图,则有 f(1)<0,即 1+(a2-1)+a-2<0,得 a2+a-2<0, ∴-2<a<1.故实数 a 的取值范围是(-2,1).

考点三 函数模型的应用

[微题型1] 二次函数模型的应用
【例3-1】 A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处建一 核电站给 A , B 两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距 离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供 电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供

电量为每月10亿度.
(1)求x的取值范围; (2)把月供电总费用y表示成x的函数; (3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?



(1)x 的取值范围是[10,90].
2

5 (2)y=5x +2(100-x)2(10≤x≤90). 5 15 2 2 (3)因为 y=5x +2(100-x) = 2 x -500x+25 000=
2

15? 100?2 50 000 100 50 000 ?x- ? + 3 ? 2? 3 ,所以当 x= 3 时,ymin= 3 . 100 故核电站建在距 A 城 km 处,能使供电总费用 y 3 最少.

规律方法

在建立二次函数模型解决实

际问题中的最优问题时,一定要注意自
变量的取值范围,需根据函数图象的对 称轴与函数定义域的位置关系讨论求解.

[微题型 2]

分段函数模型的应用

【例 3-2】 某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的 旅游人数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 1 p(x)=2x(x+1)(39-2x)(x∈N*, 且 x≤12).已知第 x 个月 的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)= 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? ?160 * ( x ∈ N ,且7≤x≤12). ? ? x

(1)写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位:万人)与x
的函数关系式; (2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅 游消费总额为多少元?



(1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37,

当 2≤x≤12,且 x∈N*时,f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 =2x(x+1)(39-2x)-2(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x, 验证 x=1 也满足此式, 所以 f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12).

(2)第 x 个月旅游消费总额为
(-3x +40x)(35-2x)(x∈N ,且1≤x≤6), ? ? g(x)=? 160 2 (- 3 x + 40 x ) · (x∈N*,且7≤x≤12), ? x ?
2 *

即 g( x) =

3 2 * ? ?6x -185x +1 400x(x∈N ,且1≤x≤6), ? * ? ?-480x+6 400 (x∈N ,且7≤x≤12).

①当 1≤x≤6, 且 x∈N*时, g′(x)=18x2-370x+1 400, 140 令 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= 9 (舍去).

当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). ②当 7≤x≤12,且 x∈N*时, g(x)=-480x+6 400 是减函数, ∴当 x=7 时, g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2015 年 5 月份的旅游消费总额最大, 最大旅游消费总额为 3 125 万元.

规律方法

(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用

一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如

出租车的票价与路程的函数就是分段函数.(2)求函数最
值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方 法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值, 然后比较得最大值、最小值.

【训练3】 (1)(2016· 武汉检测)某汽车销售公司在A,B两地销售同
一种品牌的汽车,在A地的销售利润 (单位:万元) 为y1=4.1x- 0.1x2 ,在 B 地的销售利润 ( 单位:万元 ) 为 y2 = 2x ,其中 x 为销售 量( 单位:辆 ) ,若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车, 则能获得的最大利润是( A.10.5万元 B.11万元 ) C.43万元 D.43.025万元

(2)某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不

超过800元,不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过 800元,
则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计 计算.

可以享受折扣优惠金额 不超过500元的部分 超过500元的部分

折扣率 5% 10%

某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金 额为 y 元,则 y 关于 x 的解析式为 y= ?0,0<x≤800, ? ?5%(x-800),800<x≤1 300, ?10%(x-1 300)+25,x>1 300. ? 若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元.

解析

(1)设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆,则在 B 地销

售该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+
2 21 21 2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x- 2 )2+0.1× 4 +32.

因为 x∈[0,16]且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得 最大值 43 万元.

(2)若 x=1 300 元, 则 y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元), 因此 x>1 300.∴由 10%(x-1 300)+25=30, 得 x=1 350(元).
答案 (1)C (2)1 350

[思想方法]

1.判定函数零点的常用方法有:
(1)解方程f(x)=0;(2)零点存在性定理;(3)数形结合. 2.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的 个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域 问题.

3.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数
的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.

4.解函数应用题的四个步骤:①审题;②建模;③解模;

④还原.
[易错防范] 1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是 必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性 或结合函数图象.

2.在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注意
寻找量与量之间的相互依赖关系. 3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.



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