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数学:第二章《平面向量教学设计》教案(新人教A版必修4)


人教 A 版数学必修 4 第二章平面向量教学设计
一、教材分析 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念 之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景和深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用.在本单元中,学 生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、 平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量 语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力. 1.本单元的教学内容的范围

(1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等 的含义,理解向量的几何表示。 (2)向量的线性运算 ① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线 的含义。 ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义。 ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积 ① 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问 题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和 解决实际问题的能力。
网 -1-

本章知识结构如下:
平面向量、实际背景

向量及其基本概念

线性运算

向量的数量积

基本定理

坐标表示

向量的应用

根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容 向量是高中数学课程近年来引进的新内容,为了保证其科学性,同时又易于被学生接受, 根据向量知识的发展过程和学生的思维规律,根据“标准”对向量内容的定位,并考虑到学 生在数及其运算中建立起来的经验,本章按照如下次序来编排: 向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的 数量积一向量应用举例. 课标要求的具体化和深广度分析

①平面向量的实际背景及基本概念 《标准》 表述 《标准》要求的具体化和深广度分析
通过力和 力的分析等实 例,了解向量 的实际背景, 理解平面向量 和向量相等的 含义,理解向 量的几何表 示. 如:用向量 a 表示向东走了 3km ,则-a 表示 ____. 一辆汽车从 A 地出发向西行驶了 100 km , 到 达 B 地, 可以用向量 a 表示, 那么从 B 地出发到 A 达地应如何表示? 向量 a,b 都是非零向量,下面说法不正确的 是( ) (A)向量 a 与 b 反向,则向量 a+b 与向量 a 的方向可能相同 (B)向量 a 与 b 反向,则向量 a+b 与向量 b 的方向可能相同 (C)向量 a 与 b 反向,且 a ? b ,则向量 a+b 与向量 a 的方向可能相同 (D)向量 a 与 b 反向,且 a ? b ,则向量 a+b

《大纲》 相应的要求
理解向量的概念,掌握 向量的几何表示,了解 共线向量

?

?

?

?



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与向量 a 的方向可能相同

②向量的线性运算 《标准》 表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》 相应的要求 ①通过实例, ①如:若向量 a 表示向东走了 2km ,b 表示向南 ① 掌 握 向 量 的 加 法 与 掌握向量加、 走了 1km ,则 a ? b 表示___________. 减法,并理解其几何意
减法的运算, 并理解其几何 意义. ②通过实例, 掌握向量数乘 的运算,并理 解其几何意 义,以及两个 向量共线的含 义. ③了解向量的 线性运算性质 及其几何意 义. 已知下列各式 ① AB ? BC ? CA ; ② AB ? MB ? BO ? OM ; ③ OA ? OB ? BO ? CO ; ④ AB ? AC ? BD ? CD ; 其中结果为零向量的个数为( ) (A)1(B)2(C)3(D)4

??? ??? ??? ? ? ?

??? ???? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

义. ②掌握实数与向量的 积的运算,理解两个向 量共线的充要条件. ③会进行向量的线性 运算.

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ? ② 已知向量 a,b 满足 AB ? a+2b,

??? ? ??? ? BC ? ? 5a+6b, CD ? 7a ? 2b,则一定共线的三
点是( ) (A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D ③如:在 ?ABC 中,D,F 分别是 AB,AC 的中点,

BF 与 CD 交于 O,设 AB ? a, AC ? b,用 a,b
表示向量 AO .

??? ?

??? ?

????

③平面向量的基本定理及坐标表示 《标准》 表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》 相应的要求 ①了解平面向 ①如:某人在静水中游泳,速度为每小时 3km , ① 了 解 平 面 向 量 的 基 量的基本定理 水流的速度为每小时 4km ,如果他要垂直游到对 本定理
及其意义. ②掌握平面向 量的正交分解 及其坐标表 示. ③会用坐标表 示平面向量的 加、减与数乘 运算. ④理解用坐标


岸,则他的实际速度是多少? ②如: 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别 为 A(-2,1),B(3,4) C(-1,3) , ,则顶点 D 的坐标为___________. ③如: 已知 A(0,1) ,B(3, ?4) 且点 C 在 ?AOB 的 平分线上, OC ? 2 , 若 则向量 OC ? _________. ④ 已 知 向 量 OA ? (k ,12) , OB ? (4,5) ,

②理解平面向量的坐 标的概念 ③掌握平面向量的坐 标运算 ④理解两个向量共线 的充要条件

??? ?

??? ?

??? ?

-3-

表示的平面向 量共线的条 件.

??? ? OC ? (?k ,10) 且 A , B , C 三 点 共 线 , 则
k ? _________.

④平面向量的数量积 《标准》 表述 《标准》要求的具体化和深广度分析
①通过物理中 “功”等实 例,理解平面 向量数量积的 含义及其物理 意义. ②体会平面向 量的数量积与 向量投影的关 系. ③掌握数量积 的坐标表达 式,会进行平 面向量数量积 的运算. ④能运用数量 积表示两个向 量的夹角,会 用数量积判断 两个平面向量 的垂直关系. ①如:用两根夹角为 120 角的等长的绳子悬挂一
?

《大纲》 相应的要求

①明确平面向量数量 积的定义、数学表达式 个灯具,若灯具的重量为 10 N ,则每根绳子的拉 及其几何意义 ②明确向量 b 在向量 a 力大小是_________. 的方向上的投影 ②如:已知点 A(0, ?1) , B (2, 2) , C (?4, 6) ,则 ③掌握数量积的公式, ? ??? ??? ? 能进行数量积的运算 AB 在 AC 上的投影的值为_________. ④明确两向量夹角的 ③如:a=( ? 3,2) b=( ? 4,k) , ,若(5a ? b) 意义,掌握两向量垂直 的充要条件,能用两种 ? (3a ? b)=55,求实数 k 的值. 形式表示向量垂直的 ? ④如:两单位向量 a,b 的夹角为 60 ,则两向量 充要条件.

p=2a+b 与 q=3a+2b 的夹角为_________.

换垂直的题

⑤向量的应用 《标准》 表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 1 经历用向量方 如图,在平行四边形 ABCD 中, DE ? DC , 法解决某些简 3 单的平面几何 AE 与 BD 交 于 F , 用 向 量 的 方 法 证 明 : 1 问题、力学问 DF ? DB . 题与其他一些 4
实际问题的过 程,体会向量 是一种处理几 何问题、物理 问题等的工 具,发展运算 能力和解决实 际问题的能 力.
D F A B E C

《大纲》 相应的要求
掌握平面两点间的距 离公式、 掌握线段的 定比分点和中点坐标 公式、平移公式,并能 熟练运用,会用平面向 量数量积处理长度、角 度等有关问题

实际问题如:一条河的两岸平行,河的宽度为

0.4km ,一艘船从一岸边的 A 处出发驶向对岸, ?? ?? ? 已知船速为 v1 ? 5 km ,水速为 v2 ? 3 km , h h
欲使航行最短,则所用时间为_________.



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(2)本单元变化之处 ①删繁就简,降低了知识的难度 ②调整章节,凸显了知识的框架 ③贴近生活,重视了知识的应用 (3)人教 B 版向量一章的教材特点 强调向量法的基本思想,明确向量运算及运算律的核心地位 向量具有明确的几何背景,向量的运算及运算律具有明显的几何意义,因此涉及长度、 夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外,向量及其运算(运算律)与几何图形 的性质紧密相联,向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示,图形的一些性质也可以用 向量的运算(运算律)来表示.例如,平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,而向量的 加法及其交换律( a + b = b + a )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形 AB∥CD 中,AD ∥BC,AB∥CD, ?ABD ≌ ?CBD ).这样,建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关 系后,可以使图形的研究推进到有效能算的水平,向量运算(运算律)把向量与几何、代数有 机地联系在一起. 几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性,不同的只是用“向量和向量运算”来 代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这 些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应 结果.如果把解析几何的方法简单地表述为 [形到数]——[数的运算]——[数到形], 则向量方法可简单地表述为 [形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]. 教科书特别强调了向量法的上述基本思想,并根据上述基本思想明确提出了用向量法解 决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性,教科书注意引导学生 在解决具体问题时及时进行归纳,同时还明确使用了“因为有了运算,向量的力量无限;如 果没有运算,向量只是示意方向的路标”的提示语. 说明:由于我们按照必修 1,必修 4 的顺序进行教学,因此向量法这种解决问题的方法就 显得尤其重要,他为今后学习解析法奠定了基础。 二、教学方式概述 人教 B 版教材对教师的教学方式,教师驾驭课堂的能力,教师把握教材的程度提出了更高的 要求。 讲授启发式、自主探究式 向量是以往高中课程中已经出现的内容,新课标教材考虑的是通过改进呈现方式,提供 直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、 演绎证明、反思与建构等思维活动的载体,达到体现数学教育新理念,促使学生采取积极主 动、勇于探索的学习方式进行学习,教师改进教学方式,可以提高教学质量,使学生打好数 学基础,提高数学思维能力. 1.引导学生用数学模型的观点看待向量内容 2.加强向量与相关知识的联系性,使学生明确研究向量的基本思路 3.引导学生认真体会向量法的思想实质 掌握向量法的“三步曲” : (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题;


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(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 4.注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比 三、教学资源概述 教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规 四、课时建议 本单元教学约需 12 课时 2.1 平面向量的实际背景及基本运算 2 课时 2.2 平面向量的线性运算 2 课时 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2 课时 2.4 平面向量的数量积 2 课时 2.5 平面向量应用举例 2 课时 小结 2 课时

数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第一学时~第二学时 2.1.1 向量的概念 一. 学习目标 1.关于向量的概念 (1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何 表示; (2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用 向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题,分析问题和解决问题的能力. (3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作 用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和 钻研精神. 2.关于向量的线性运算 (1)通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义; (2)让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律, 强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果. (3)通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用 问题. 二. 重点难点 1.关于向量的概念 (1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示; (2)难点是对向量概念的理解; 2.关于向量的线性运算 (1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解 及其几何意义; (2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,


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并利用向量方法解决几何问题. 三. 教学过程 教学环节 教学内容 引入新课 对向量全章的 的介绍:通过对书 上章前话的解读 , 让学生体会向量的 丰富实际背景 , 了 解向量的研究对象 和研究方法,初步 了解向量与几何代 数之间的关系. (2) 概 念 引 入 与 形 成 概念形成 1 从常见的物理量 力, 位移等了解它 们的特征是既有大 小又有方向的量 , 建立向量的认知基 础, 自然引出向量 概念; 2 类比学生熟悉的 数量如温度,身高, 体积,风速,时间, 通过比较 ,使学生 在比较中加深对概 念的认识. 3 让再举出几个既 有大小又有方向的 量, 以准确抓住向 量的特点. (3)表示方法 ① 再次类比数 的表示方 法,引出用 有向线段表 示向量;(几 何表示) ② 用有向线段 的方向和长 度分别表示 向量的方向 和大小,赋

师生互动 概念应用 (1)通过具体的 例题 1 体会向量的 概念和几何表示; 通过例题 2 和例题 3 巩固向量的几何 表示,相等,共线 向量等概念

设计意图 让学生了解大致 内容和小学习本 章的重要性

例 1 船向南航行 100 海里和向西航 行 100 海里的位移 相等吗?选择适当 的比例尺,用有向 线段表示这两次 航行. 例 2 某人从点 A 出 发向西走 200 m 到 达 B 点,然后朝西 偏北 45 ? 方向走 300 m 到达 C 点, 最后又向东走 200 m 到达 D 点. (1)按 1:10000 的 比例作出向量

AB, BC 和 CD ;
(2) DA 和 AC 求 的 值 .( 精 确 到 1m) 例 3 在图中的 4 ? 5 的方格纸中有一 个 向 量 AB , 分 别 以图中的格点为



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予向量的几 何意义; ③ 提出字母表 示方法,明 确书写上的 要求,为向 量的运算做 好准备. (4)相关概念辨析 ① 从向量的模 引出零向量 和单位向量 的概念; ② 让学生了解 相等向量规 定的合理 性,可利用 计算机演示 向量的平行 移动,体会 向量的相 等,体会向 量与有向线 段之间的关 系; ③ 由向量的平 行移动体会 平行向量和 共线向量的 等价性;

向量的起点和终 点作向量.

(1) 其 中 与 AB 相 等的向量有几个? (2) AB 长度相 与 等的共线向量有 多少个?

归纳小结:向量的简单应用,找相等向量和用向量表示点的位置 作业: 练习 A,B P79 2.1.2 向量的线性运算 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 引入新课 1)引入 实验准备 通过实际例子,使 数 因 为 有 了 运 情景 1:让两个学 学 生 学 会 用 向 量 算而使数的威力无 生 中 的 甲 从 教 室 解 决 实 际 问 题 的 穷, 与数的运算类 的 某 地 A 位 移 到 方法 比, 向量是否也能 B 地,再从 B 地位 进行运算呢?从向 移到 C 地, 量的物理背景和数 乙 从 A 直 接 到 达 的运算中应该可以 C 地,观察比较. 得到一些启发 结论:前者是位


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探究向量加法的定 义法则 ①教师提出问 题: 怎么定义任意 二个向量的和? (教师在黑板上画 出二个自由 向量) 让学生小组 , 讨论以后 ,出现两 种不同定义方式三 角形法则和平行四 边形法则. ②针对两种方 式, 教师引导学生 理解它们的本质的 一致性; ③同时提出思考 问题那种定义更 加严密?根据学 生的回答,启发 学生注意到平行 四边形法则对于 二个向量不能构 成平行四边形时 要增加补充说 明,即二向量共 线时的向量和如 何? ④最后看书上相 关内容,补充对 零向量的运算规 定. (5) 向量加法定义 的运算律 ① 请学生类比 实数加法运 算律,猜测 一下运算律 是什么? ② 由学生提出 探究的途 径,并分组 验证,交流 作图思路


移的合成, 两次 位 移 AB, BC 的 结

??? ? 果 为 AC , 而 与 后
者从 A 点直接

??? ? 到 C 点的位移 AC
相同; 情景 2:观看事前 由学生做的力的 合成的实验经过 要求①用二个互 相垂直的力

F1 ? 3, F2 ? 4
把橡皮条拉长 一定的距离 OE , 再撤去 F1 , F2 ,用 一个力 F 作用在 橡皮条上,使橡皮 沿着相同的方向 伸长相同的长度, 记录 F 的大小和 方向; ②改变 F1 , F2 的大 小和方向,重复以 上实验,探究 F 与

F1 , F2 的关系.
③得出结论:排除 误差,合力 F 的方 向在以 F1 , F2 为邻 边的平行四边形 的对角线上,且大 小等于平行四边 形该对角线的长. 例 4 如图,已知向 ? ? 量 a , b ,用三角 形法则和平行四 边形法则求作向

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③ 教师投影学 量 a ? b 生设计,并 根据情况进 行归纳点 评,总结探 究过程和探 究结论,让 学生有一个 完整的认 识. (6)应用举例 ① 通过例 5 体 会向量加法 的实际应 用; ② 通过例 6 体 会向量加法 在几何中的 应用. 例 5 一架飞机向南 飞行 400 km ,然后 改变方向向东飞行 300 km , 试 求 飞 机 飞行的路程和位 移. 例 6 在平面内能否 构造三个非零向量 ? ?? 使 a, b, c

? ?

? ? ? ? a?b?c ? 0 . 根 据
构造结果还可以 继续提出若 ? AB ? BC ? CA ? 0 , 则 A, B, C 三点共线 是否正确? 3.关于向量的减法 运算部分教学内容 (1) 类 比 数 的 减 法 运算 ,提出相反向 量的概念 ,定义减


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法运算; (2) 根 据 减 法 的 定 义, 探索做出两个 向量的差的方法 , 总结出向量减法的 三角形法 则; (3) 比 较 加 法 和 减 法的三角形法则的 区别 (4)应用举例 ① 通过例 7 体 会向量的加 法和减法的 三角形法则 的混合应用; ② 通过例 8 体 会向量减法 的实际应用. 例 7 在五边形 ABCDE 中, ? 若 AB ? a ??? ? ??? ? ? ? BC ? b , CD ? c , , ???? ? ??? ? , ? DE ? d , EA ? e 求作向量 ? ? ? ? ? a ?c ?b ?d ?e 例 8 已知一艘船从 A 点 出 发 , 以

2 3km/ h 的 速 度
向垂直于对岸的方 向行驶,而船 实际行驶速度为 4 km / h ,求河水的 流速的大小. 归纳小结:使学生理解并掌握向量加法的就几何意义。 作业 1:P83 练习 A,B 作业 2:P85 练习 A,B 数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案


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第三学时~第四学时

§2.1.4 数乘向量(新教改 B 版教材)
教学目标:(1)掌握向量数乘运算法则,并理解其几何意义; (2)让学生能由实数运算律类比向量运算律,并且验证强化 对知识的形成过程的认识,正确表示结果; (3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。 教学重点、难点: 重点:向量的数乘运算法则的理解及几何意义。 难点:正确运用法则解决几何问题。 教学过程: 教学 环节 教学内容 (1)前两节我们介绍了解了向 量的加法和减法,其中“加法” 我们要牢固掌握 “三角形法则” 和“平行四边形法则” ; 例如:平面内有向量 a 和 b , : 和 ① 当 顺 次 首 尾 连 结 时: , 师生互答 与 教师讲解 结合 复习旧知识, 引出新知识
? ?

师生互动

设计意图

复习 和向量即为图中所示;(副板 提问 书) ②当重合起点或终点时, 图略, 和向量应用 “平行四边形法则” 求得; 而且向量的减法我们可以看成


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一个向量加上另一个向量的等 模、反向、或记住口诀“连结 终点,指向被减”直接由代数 形式求得结果。 例如: AB - AC = CB (2)下面我们来看这么一道 题: 1.例:已知如图向量 a 为非零 向量, 试用作图方式表示 a + a 复习 提问 (投影) + a 和- a +(- a )
? ? ? ? ? ?

??

??

??

师生互答 与 教师讲解 结合 复习旧知识 引出新知识

一.向量数乘的相关概念及 性质:

首先我们

学生通过对

抓 住 它 的 特 老师利用向量加
? ? ?

1.向量数乘 (实数和向量相乘) 点, a + a + a 的定义:

法的讲解,能够

是区别于一般 很自然地接受向
量和实数相乘的 这样一种从一般

实数 ? 和向量 a 的乘积是 情况下的三个 一个向量,记作 ? a ,且 ? a 的 相同的向量的 长 ?a ? ? a . 定理 加法,显然顺

(而且我们可以根据刚才 次连结首尾,

的加法到乘法的

我们依照加法 变换,通过观察、 的例题总结出这样的结论:) 形成 ? a ( a ? 0) 的 方 向 规律可以很容 比较、抽象、概
网 - 13 -

?当? ? 0时,与 ? ?当? ? 0时,与

a 同方向; a 反方向.

易的得到 3 a 的几何表示

?

括出实数与向量 相乘的几何表示


? ? 0 或 a ? 0 时, 0a ? 0 或 ? 0 ? 0.

这一点学生是 与代数表示法。 容易理解并接 发展学生的理性
?

受的,而- a + 思维的能力。 2.实数和向量相乘所满足的运 算率: (1)
(? ? ? )a ? ?a ? ?a

(- a ) 也是两 ; 个和 a 等模反 向的向量的
?

?

(2) ? (?a) ? (?? )a ;

(3) ? (a ? b) ? ?a ? ?b ( 分 和。这时我们 配率). 会发现:当有

(以上各运算律证明方法 非零实数和非 见后面,(3)的证明类似于例 零向量相乘时 1,略,由学生自己证明) 我们只需相应 扩大或缩小向 量的线段长 运算 率的 形成 及证 明 度, “例如 3 a
? ?

对于数乘向

是 将 a 的 线 段 量的计算法则, 扩 大 为 a 的 三 证明要求不是很 倍” ,并且应注 高,学生们只需 意所乘的常数 要理解、掌握、 是正数时得到
并且能够灵活运 用该法则解答、 证明题就可以了
?

的新向量方向 不变,负数时 变为和原向量


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相反即可。若 原向量已有非 零实系数,那 么实系数相乘 再作系数。 并且:特殊地, 当实数 0 和一 个向量相乘 时,得到的仍 为一个向量, 且模为 0,即 “零向量” 。 (因为零向量 的方向不固定 且模为 0, 所以 我们不能以一 个固定方向的 箭头或一个点 来表示它,所 以“零向量” 没有几何表示 方法,它的代 数形式为 0 。 ) 1.计算下列各式: 例 3 作图 通过分段
?



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(1) (?2) ? a ; (2) 2(a ? b) ? 3(a ? b) ; (3) (? ? ? )(a ? b) ? (? ? ? )(a ? b) . 解:
(1)( ?2) ? ? a ? ? ? ( ?2 ? )a ; ? ? (?1)a ? ?a

? ?

是学生需要锻 设问,引导学 炼 的 能 力 之 生体会解题思 一,督促学生 路 的 形 成 过 画 好 , 其 次 是 程,培养学生 注意回顾和正 独 立 思 考 分 确使用向量加 析、解决问题 法 法 则 , 亦 可 的能力 ; 以使用相似先 得到线段长度 的关系,判断 方向,从而得 到结论

应用 举例

(2)2(a ? b) ? 3(a ? b) ? 2a ? 2b ? 3a ? 3b ? (2a ? 3a ) ? (2b ? 3b) ? ?a ? 5b
(3)(? ? ? )(a ? b) ? (? ? ? )(a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ?a ? ?b ? ? a ? ? b ? ? a

??b ? ?a ? ?b ? 2 ? a ? 2? b

例 2.设 x 是未知向量,解方程:

5( x ? a) ? 3( x ? b) ? 0.

解:原式可变形为:

5 x ? 5a ? 3 x ? 3b ? 0 8 x ? ?5a ? 3b x ? ? 5a ? 3b 8 8

(例 1 和例 2 所需要注意的是书



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写格式要正确,箭头不要丢掉) 例
??

3. 如 图 所 示 , 已 知
?? ?? ??

OA' ? 3 OA , A' B' ? 3 AB, 说明向量
OB 与 OB ' 的关系.
??

??

解:因为 应用 举例
OB ' = OA' + A' B '
?? ??
??

=3 OA +3 AB =3( OA + AB ) =3 OB 所以 OB ' 与 OB 共线且方向 相同,长度是 OB 的 3 倍.
?? ?? ??

??

??

??

??

??

布置 作业

书后练习 A 组题目和 B 组 1,2 小题. 学生独立完成

巩固所学知识 方法

三.教学资源建议: 可以参阅之前向量这一部分的参考资料,结合新教材 B 版的 自有的参考资料共同完成。

四.教学方法与学习指导策略建议: 本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定 义、性质以及运算法则,对于这一部分的内容我觉得关键是在于让 学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表 示。
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课文一开始的引入是从图形的放大和缩小是否能使用向量的 手段进行解决这个问题入手的,是从向量和实数相乘的用法的角 度切入的,可能相当一部分学生对这个问题不怎么感兴趣。而从 向量的数乘是向量加法的一种特殊情况入手不仅复习回顾了前面 向量的加减运算,而且从加法的特例(即几个相同的向量相加) 入手,使得学生能自然地接受几何表示,不会觉得很突兀。其次 牢记实数与向量相乘的结果是向量,而不是数,也比较重要,尤其 是当向量为零或实数为零时,是讲解的重点。并且对于代数形式, 稍加归纳总结即可。运算率可以让学生自己来证明。最后就是在 解题的过程中,要强调格式的正确性,因为是高中的新知识,初 中没有接触过,所以正确的格式要坚持强调。

§2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运 算
─(新教改 B 版教 材)
教学目标:使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用 该定理解题,掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标, 利用向量的坐标解题。 教学重点难点:重点是平行向量基本定理; 难点是平行向量基本定理的应用. 教学内容安排: 教学 教学内容 环节 复习 在学习向量概念的时候,我

师生互动 师生互答

设计意图 复习旧知识,



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提问 们已经定义了什么是向量共线 (即平行).而我们要知道向量的 共线和平行是同一个含义,它与 直线的平行、重合不同,两个向 量的基线是同一条直线或两条 平行直线时,向量都称为共线 (或平行)向量,<因为向量是自 由的>。它的表示方法是 a// b , 而且由于零向量觉得方向不定, 所以可以把零向量认为成和任 一向量平行的向量。 1.平行向量基本定理: 定理 如 果 a ? ?b , 则 a // b ; 反
? ?

与 教师讲解 结合

引出新知识

同学们要

形成 之,如果 a // b ,且 b ? 0 ,则存在 牢 记 基 本 定 唯一一个实数 ? ,使得 a ? ?b . ( 这样我们给出的这个平 行向量的基本定理,根据它就可 以判断两个向量是否共线了,实 际上,给出的这种判断方法是一 条轴上的向量 建立起一一对 理, 而且这 样 以来实数与这

种代数的判断方法,后面在学习 应 的关系, 至 了坐标后我们在判断是否共线 此, 我们就 可 时也是根据这种方法来判断


学生通过 对老师利用向

以用数值来表

- 19 -

的.) 2.单位向量: 给定一个非零向量 a ,与 a 定理 形成 同方向且长度等于 1 的向量,叫 做向量 a 的单位向量. 如果 a 的单位向量记作 a0 , 由 数 乘 向 量 的 定 义 可 知: a = | a | a0 或 a0 =

示 向量.给 我 量 加 法 的 讲 们奠定了向量 解 , 能 够 很 自 的数量化的基 然地接受向量 础, 也是我 们 和实数相乘的 将来平面向量 这样一种从一 空间向量数量 般的加法到乘 化的基础. 法的变换,通 过观察、 比较、 抽象、概括出 向量的坐标表 那么我们 示,为以后向 由数轴上两点 量平面的坐标 已知轴 l .取单位向量 e ,使

a. a0

二.轴上向量的坐标及其运算: (对于数轴定义的回忆) 规定了方向和长度单位的 直线叫做轴.

e 的方向与 l 同方向,根据向量

的距离可以用 做好准备,是

平行的条件,对轴上任意向量 右边的点的坐 向量坐标非常

a , 一 定 存 在 唯 一 实 数 x , 使 标减去左边点 重要的坐标表 a =xe.
反过来,任意给定一个实 数 x ,我们总能作一个向量 的坐标这种方 示的引理。另 法来计算两点 一方面有助于 间 的距离, 所 发展学生的理 以以这两点为 性 思 维 的 能

a = x e ,使它的长度等于这个实
数 x 的绝对值,方向与实数的符
网 - 20 -

号一致.

起终点的向量 力,从简单的

这里的单位向量 e 叫做轴 l 的所在线段的 向量的知识开 的基向量, x 叫做 a 在 l 上的坐 长度就应为下 始, 逐步深入, 定理 形成 标(或数量). x 的绝对值等于 面的公式 为平面向量的 基本定理做好 充分的准备。 1.数轴上两点间的距离公 式:
AB ? x2 ? x1 ,

a 的长,当 a 与 e 同方向时, x 是
正数,当 a 与 e 反向时, x 是负 数.

2.轴上向量的坐标等于向 量终点的坐标减去始点的坐 标: AB ? x2 ? x1

例 1.已知数轴上三点 A, B, C 的 坐标分别是 4,-2,-6, 求: AB, BC , CA 的坐标长度. 应用 举例
C -6 B -2 O 0 A 4
?? ?? ??

学生需要

通 过 设

锻炼的能力之 问,引导学生 一, 注意回 顾 体会解题思路 和正确使用定 的形成过程, 理, 是平面 向 培养学生利用

过程见课本 92 页 量坐标的基础 现讲的定理解 定理。 题的能力。



- 21 -

三.教学资源建议: 可以参阅之前向量这一部分的参考资料,结合新教材 B 版的 自有的参考资料共同完成。

四.教学方法与学习指导策略建议: 本节的知识是在老教科书向量的坐标的基础上为学生能够更 顺利的了解向量坐标的相关知识而最新设立的。本小节的开始首 先介绍向量共线(即平行)的判定定理。即向量之间有线性关系 即表示两个向量共线(即平行) ,它也是我们今后利用向量证明相 关向量结论的基础定理,更是在立体几何使用空间向量来证明时 的有力辅助工具。在学习时要注意体会引入的过程,并且记牢。 总之,本小节所介绍的内容仍为向量的基本知识,是我们后边学 习向量相关知识的基础和保证,一定要重视对这块知识的讲解和 对学生的落实。

数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第五学时~第六学时 (一)学习目标 11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 13.会用坐标表示平面向量共线的条件,进而解决一些相关问题. 14.了解平面向量的基本定理及其意义. 22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程,培养学生观察,类比联想等
网 - 22 -

复 习 引 入

新 课 探 究

发现规律的一般方法,培养学生提出问题,分析问题和解决问题的能力. 23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养,激发学生的学习兴趣和钻研 精神. (二)重点难点 1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用 2.难点是平面向量的基本定理及其意义. (三)教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立 让学生回忆轴 与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的 从一维向二 上向量及其坐 坐标表示.从而对平面上的任一方向的向 维,从已知到 标表示相关的 量, 都可以用相应的轴给出坐标表示,那么 未知, 引入新 概念及思想方 能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表 课题 法 示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗? 借助已经学过的平面直角坐标系. 师生共同探究, (1)分别确认 x 轴和 y 轴上的单位向量 e1、 对平面上向量 e2 那么这两条轴上的向量都可以用相应的 的正交分解的 坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同. 存在唯一性,有 例如横轴、纵轴上的向量坐标 3 分别表示 3 所感受.确认坐 e1、3e2 标表示向量的 (2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两 可行性,及其具 个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向 体表示方法 量的线性组合。即:a=xe1+ye2) (3)取平面上两条互相垂直的单位向量 e1、 e2,那么对该平面内的任意向量 a,都存在 感受正交分 唯一的一对实数 x、y,使 a=xe1+ye2。 解产生的合 例如 课本 103 页练习 A 第一题 理性.使学生 证明 课本 96 页,97 页 容易接受平 (4)这里{e1,e2}叫做这一平面内所有向量 这里给出了课 面向量的坐 的一组正交基底;xe1+ye2 叫做 a 关于基底 本 97 页的两个 标表示,使部 {e1,e2}的分解式; (x,y)叫做 a 关于基 概念, 学生知道 分学生感受 底{e1,e2}下的坐标,即 a=(x,y) ;x(y) 这些名词就可 数学证明的 是向量 a 在横(纵)轴上的正投影向量的在 以了 严谨性和必 (横纵)轴上的坐标。显然 要性. 0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1) (5)平面直角坐标系中 有序实数对(x,y) 向量的直角坐 就有了双重意义,既表示点(x,y),又可以 标表示及其运 表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。 算性质, 学生应 (6)容易证明:两个向量和与差的坐标等于 该容易接受, 甚 两个向量坐标的和与差; 数乘向量的坐标等 至给出证明。 一 于该数与向量相应坐标的乘积。即: 些学生可能不 如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么 理解证明的必 a±b=(x1±x2,y1±y2),λ a=(λ x1,λ y1) 要性和合法性 a∥b 的充要条件是 x1y2=x2y1(需要证明) (不易深究) 。
- 23 -



(7)介绍:任意给定平面中两个不平行的向 量 e1、e2,那么平面中所有向量 a 都可以用 这两个向量表示。即 a=xe1+ye2.这里 x、y 是唯一确定的一对有序实数。 e1,e2}叫做 { 这一平面内所有向量的一组基底;xe1+ye2 叫做 a 关于基底{e1,e2}的分解式. 例如 课本 96 页图 2-34,证明同(3)。 例 11.课本 100 页例 1。 在直角坐标系 xOy 中, 向量 a,b,c 的方向 和长度如图所示。 分别求它们的坐标。
y 30? 45? 30?

一般学生以了 解为主, 重在以 具体问题为载 体, 落实基本定 理的思想方法 (消点法) 。 复习巩固初 中特殊角三 所有例题, 角函数, 学会 以教师为主导, 用坐标表示 向量, 为数量 关注优秀生 积作准备 是否能 可以进行多 从想得通 种解法, 以达 到写得通 到复习巩固 再到讲得通 向量的坐标 适当的给他们 并用于 机会锻炼展示; 表示, 向量的加减 关注一般同学 及数乘运算, 使学生加深 是否能 理解 从想不通 到想得通 再到写得通 这里, 初中学 给他们充分时 生已经接触 间来思考学习 过中点坐标 公式。 学生基 础好, 可以另 教师协调 用向量的方 全班讨论 法给出证明

x

例 12. 课本 102 页例 5,含 101 页例 2、4 已知 ?ABCD 的三个顶点 A(-2,1),B(0,3),C(3,4), 求(1)向量 BA 的坐标、方向和长度; (2)向量 BD 的坐标、顶点 D 的坐标。 深 化 理 总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐 解 标减去向量起点的坐标。即 AB=AO+OB=OB-OA=(x1-x2,y1-y2) 例 13.课本 102 页例 6,含 101 页例 3 已知 A(-2,1),B(4,4),求线段 AB 的中点 M 和三等分点 P、Q 的坐标。 注: OM=OA+AM=OA+0.5AB=0.5(OA+OB), 这里的向量分解变形是重点也是难点。 注:例题到此,应进行学生独立练习巩固



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例 21.课本 104 页例 1 已知 向量 AB=(2,5),向量 a=(1,y), 若 向量 AB∥a.求 a 的纵坐标 y. 例 22. 课本 104 页例 2 直角坐标系 xOy 内, 已知 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)。 求证 A,B,C 三点共线 例 31.课本 97 页例 1 已知 ?ABCD 的两条对角线相交于点 M, 试用 基底{AB,AD}表示向量 MA,MB,MC,MD.

熟悉巩固向 量平行或共 线的坐标条 件, 通过证明 共线, 感受向 量法的优势

例 32.课本 97 页例 2 已知直线 AB 上任意点 P 及直线 AB 外一点 O。 以{OA,OB}为基底,写出向量 OP 的分解式

这是基本定 理的例子, 渗 透了消元法 (消点法) 思 想, 练习量依 据学生具体 情况而定 对于部分习题 对应学生的 师生可以在充 差异性, 同学 分独立思考的 们在合作交 基础上, 进行小 流中获得不 组讨论. 同的发展 这是学生总 结本课堂研 究内容的练 习机会, 使学 生反思学习 进程的反馈 时间 温习巩固, 逐步理解

练习 1:课本 103 页练习 A2,4,5;B1,2,3,4 课 练习 2:课本 105 页练习 A1,2,3;B1,2 堂 练习 3:课本 98 页练习 A1,3,5;B1,3,4 练 习 今天学会了: ①向量的坐标表示 归 ②坐标表示的向量的加减及数乘运算 纳 ③向量平行的坐标条件 小 ④平面向量的基本定理 结

师生共同完成

作业 1:课本 105 页习题 2-2A2,3,4,5,6. 作 作业 2:课本 106 页习题 2-2B2,3. 业 127 页 9,11,19

学生自主完成

课 后 反 馈



- 25 -

板 书 设 计 一

2.2.2 平面向量的正交分解及其坐标表示 例1 例3 1.相关名词介绍 插入课本图 2-38 2.坐标表示的向量 3.向量坐标运算的性质 例2

板 书 设 例2 计 二

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 向量共线条件: 平面基本定理介绍 例1 例3

例4

归纳小结:

归纳小结:

(四)教学资源建议 教材、电子版教参中提供的教学课件、人教社网站(www.pep.com.cn) (五)教学方法与学习指导策略建议 将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑: (1) 平面向量的基本定理由原实验教材的 “掌握” 变成了新课标中的 “了解” 。 这一基本定理是正交分解的理论基础,是向量恒等变形中“消元”的基本依据, 应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课 的要求,适应所有学生的学习要求。 (2)从教学功能上,平面向量的正交分解可以替代基本定理。正交分解可以 直接证明,方法及思想与基本定理相同;同样包含了“消元”的基本思想方法(平 面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合) ;正交分解同样有多种选择性。 (3)从学生的主体作用看,先有平面向量的正交分解,再有基本定理,更适合 从特殊到一般的研究规律。有学生前面一维向量(轴上向量)的坐标表示,以及 平面直角坐标系与数轴的相关研究过程,平面向量用两个互相垂直的单位向量表 示,比两个不平行的向量表示应该更自然;基本定理作为所有学生要了解的内容, 也是部分同学可以有所拓展的内容,有了之前的正交分解的研究作为基础,更容 易通过类比加深理解。 (4)如果允许,可以用三课时完成这部分内容的教学。基础差的班级可以介 绍平面向量基本定理,并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示; 基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法



- 26 -

(六)备注:文中“向量 AB” ,符号不规范(少上面的前头线) ,需用正常的 公式编辑器修改,为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底{}。 ” 《标准》 表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》 相应的要求 ①了解平面向 ①如:某人在静水中游泳,速度为每小时 3km , ① 了 解 平 面 向 量 的 基 量的基本定理 水流的速度为每小时 4km ,如果他要垂直游到对 本定理
及其意义. ②掌握平面向 量的正交分解 及其坐标表 示. ③会用坐标表 示平面向量的 加、减与数乘 运算. ④理解用坐标 表示的平面向 量共线的条 件. 岸,则他的实际速度是多少?(实际速度的正交 分解) ②如: 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别 为 A(-2,1),B(3,4) C(-1,3) , ,则顶点 D 的坐标为___________. (向量的坐标表示) ③如: 已知 A(0,1) ,B(3, ?4) 且点 C 在 ?AOB 的 平 分 线 上 , 若 ②理解平面向量的坐 标的概念 ③掌握平面向量的坐 标运算 ④理解两个向量共线 的充要条件

OC ? 2 , 则 向 量

??? ? (定比分点) OC ? _________.
④ 已 知 向 量 OA ? (k ,12) , OB ? (4,5) ,

??? ?

??? ?

??? ? OC ? (?k ,10) 且 A , B , C 三 点 共 线 , 则
k ? _________. (向量共线)

数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第七学时~第八学时:第一方案

课题:向量数量积的定义及运算率
1、知识与技能 教 学 目 标 ①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。 通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上 探究数量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方法,进一步培 养学生的抽象概括和推理论证的能力 利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与现实 生活以及其他学科的联系,从中感受数学的应用价值。

2、过程与方法

3、情感态度价值观 教 学 重 点 教 学 难 点


本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量积的运算律

对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用

- 27 -

教 学 关 键 教 学 方 法 教 学 环 节

利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义,运用几何直观引导学生理解定义实质,揭示定义的 几何意义

将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来,使用讲授式教学与活动式教学相 结合,接受式学习和发现式学习相结合,不断引导学生的概括活动实现的。

教学内容



生 互



设计意 图

时 间

反思

教师介绍数学发展历程。 注意情感教育, 引 言

承前 启后回顾已学 习的向 量运算 复 习 提 问

教师引言:对问题的深入研究来源于人类对知 识的永不满足,正如过去学过的实数,人们不 仅认识实数的分类,还研究实数的运算,并且 进一步想弄清楚运算有无规律可循,当然,幸 运的是,我们有了“交换率、结合率、分配率” 等等,当向量进入我们的视野时,我们与生俱 来的好奇心又起作用, “向量是数吗?” “能算 吗? ” 由前面的学习,我们已经知道,向量的运算要 比实数的运算复杂的多,不仅有大小还要考虑 方向,已经定义了向量的什么运算?这些运算 的结果是什么?以加法为例说明我们是按照怎 样的顺序研究这种运算的? 期望学生回答: 物理模型→概念→性质→运算律→应用 还可能定义什么运算? 期望学生回答:向量相乘 我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完 善,而是有其客观背景和现实意义的; 问题 1:你能用文字语言来表述功的计算 公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到 一般向量,其结果又该如何表述? 期望学生思考后回答:功是力与位移的大小及 其夹角余弦的乘积;两个向量的大小及其夹角 余弦的乘积。 教师要让学生明白:本节课所要研究的数量积 与向量的加法、减法及数乘一样,都是向量的 运算,但与向量的线性运算相比,数量积运算 又有其特殊性,那就是其结果发生了本质的变 化,运算结果是实数。学生事实上已经得到数 量积概念的文字表述了,在此基础上,自然引 进数量积的定义 回答后归纳夹角特征:两个向量同起点,若不

调动学 生参与 课堂学 习活动 的兴趣 和积极 性

1

复习向 量有关 运算

2

引 入 新 课

以物理背景引入 实际上,在物理课上,我们 已经多多少少知道了一些: 如图所示,一物体在力 F 的 作用下产生位移 S, (1)力 F 所做的功 W= 。 (2) 请同学们分析这个公 式的特点: W(功)是 量, F(力)是 量, S(位移)是 量, α 是 。 F
α S

设计意 图在于 使学生 了解数 量积的 数学背 景,概 念。

4

B O A



- 28 -

同起点平移至同起点。回答问题 1 后定义夹角: P107 数量积的定义 定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我 们把数量 注意: ①? 0 =0? 0 ? a =0②“? ”并非实数运算中的

?

?

定 义 给 出

乘号,既不能写成“ ? ”也不能省略 在强调记法和“规定”后 ,为了让学生进一 ︱ a ︱?︱ b ︱cos ? 叫做 步认识这一概念,提出问题 , a 与 b 的数量积(或内积) 问题 2: 向量的数量积运算与线性运算的结果有 记作: a ? b , 什么不同?影响数量积大小因素有哪些?完成 下表: 即: a ? b = ︱ a ︱?︱ b ︱cos ?
角? 的 范围
0°≤

? <90°

? =90°

0°<

? ≤180°

在此可以强调 a ?b “请 同学们用一句 话来概 的符号 括功的数学本质:显然功是 不仅使学生认识到数量积的结果与线性运 力与位移的数量积” 算的结果有着本质的不同,而且认识到向量的 学生应用公式完成 夹角是决定数量积结果的重要因素, 例 1 已知: |a|=5,|b|=4, “补充”通过前后呼应达到强化理解、加深 0 〈a,b〉=120 ,求 a?b 认识的目的。 探究数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量 1?e?a = a?e =|a|cos〈a,e〉 2?a?b ? a?b = 0 且 a?b = 0 ? a?b 2 3? a?a = |a| ,
王新敞
奎屯 新疆

通过此 环节为 下面更 好地理 解数量 积的性 质和运 算律做 好铺 垫。对 角的范 围做好 分类讨 论的准 备

5

数 量 积 的 性 质

学生分组探究,两个向量的数量积的性质, 教师指导探究活动,体现特殊化的思想, 数形结合思想,基本运算能力培养 问题 3:简要叙述性质的特征和功能 1?单位向量的特征? 2?为什么 a?b = 0 可以用于判断 a、b 垂直? 3?a?a = |a| ,即 | a |? a ? a 的主要功能是什
2

即 | a |? a ? a 4?cos〈a,b〉=

a ?b | a || b |

么? 4?如何求夹角? 练习:P109/练习 A:1(3)2(1)

培养学 生自主 探究, 引导学 生动手 动脑解 决问题

5

5?|a?b| ≤ |a||b| 数 量 积 的 几 何 意 义


向量在轴上的正射影定义: ? 已知向量 a 和轴 l,作

由此我们知道了向量的数量积的代数定义,总 感到意犹未尽,有没有几何特征呢? 由上述定义我们已经得知:两个向量的数量积 ? OA = a ,过点 O、A 分别作 是一个实数,可以是正数、负数、零,其几何 轴 l 的垂线, 垂足分别为 O1、 含 义 见 P108/图 2-50
A

5

A1 ,则向量 O1A1 叫做向量

? a 在轴 l 上的正射影(简称
- 29 -

O

射影) ,该射影在轴 l 上的 ? 坐标称作向量 a 在轴 l 上的 数量或在轴 l 的方向上的数 量 体会公式,应用练习 应 用 向 量 数 量 积 的 运 算 律 向量数量积的运算律 1、 交换律 a?b = b? a

? OA = a 在轴 l 上的正射影的坐标记作:al,向 ? 量 a 的方向与轴 l 的正向所成的角为θ ,则由 ? 三角函数余弦定义可知:al= a cosθ
P108/例 1:了解:向量 OA 在轴 l 上的正射影 2 (向量)的坐标 ? OA 在轴 l 上的数量 从数学的角度考虑,我们希望向量的数量积运 算,也能像数量乘法那样满足某些运算律,从 向量数量积的定义和几何意义出发,回答下列 问题,课下分组探究运算律, 问题 3:向量问题解决思路 问题 4:单位向量的功能

2、 分配律 (a+b)?c =a?c +b?c 3、 λ (a?b) =(λ a)?b = a(λ ?b)

创设情 境,引 发思考

3

例 3、求证:

? ? 2 ?2 ? ? ? ① a + b )= a + a . b + b (
应 用 举 例

2

教师引导:考虑运用向量的数量积的性质和运 算律,板书 例 3、求证:①( a + b ) = a + a . b + b

? ?

2

?

2

? ?

?

2

②( a + b )?( a - b )

?

?

?

?

? ? = a 2_ b

2

例 4、求证:菱形的两条对 角线互相垂直 (用向量解决几何问题) 随 堂 练 习 测验 1、P109/练习 A:1(1) 2、P109/练习 B:1(2) 3、P111/练习 A:1 要点: 1、体会数学知识多来源于 实际需要 2、区分几种运算,数量积 结果是实数,联系向量与实 数 3、运算律不同于实数运算, 不能套用,课后思考:结合 律适用吗? P109/练习 A:1(4)2 P109/练习 B:1,2 P111/练习 A:2,3

学生证明②(提示:结论可直接应用) 例 4(线形运算已涉及)要求学生画出图形,已 知条件转化为符号语言,并在图像上找到对应 哪条有向线段? 步骤:用向量表示几何关系 ? 进行向量运算 ? 还原为几何结论 题号 1 2 3 教师引导学生回顾小结 向量数量积的概念、几何意义及其运算律, 总结用向量解题可以分为三步: 用向量表示几何关系 ? 进行向量运算 ? 还原 为几何结论 内容 难度 成绩 自评 总评

教师通 过板书 证明: 针对学 生比较 陌生的 内容, 说明每 部依据

7

6

归 纳 小 结

帮助学 生总结 知识方 法,便 于学生 系统掌 握 进一步 巩固本 节所学

3

布 置 作


学生课后独立完成 分组探究(自选) : 课后思考 1、证明两个向量的数量积的性质?
- 30 -

1



P111/练习 B:1,2 1、 多媒体演示一物体在力 F 的作用下产生位移 S 2、 几何画板反映夹角变化 3、 在实际探究活动中,可 以登陆查询资料的网站 有:中学教育网、K12 等

课后思考 2、分组探究运算律并进行证明? 课后思考 3、结合律适用吗? 教师在课堂使用多媒体 教师为学生课后自主探究提供相应的理论与技 术支持 对知识与技能目标的达成度,可以通过纸笔测 验的方式来检验 运用统计方法了解学生对知识的掌握以及对学 习数学的信心

知识、 方法

教 学 资 源 建 议

为学生 的发展 提供平 台

课 向量数量积的坐标运算和度量公式 题
1、知识与技能 掌握平面向量数量积的坐标表示和运算,度量公式的推导应用 (1)根据向量的坐标计算它们的数量积,由数量积的坐标形式 求两个向量的夹角. (2)运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题,特别 是运用坐标法证明两个向量垂直. (3)掌握平面内两点间的距离公式 通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化, 使学生进一 步体会数形结合思想, 增强用两种方法——向量法与坐标法处理 向量问题的意识. 通过本节内容的启发探研式学习, 培养学生的动手能力和探索精 神.

教 学 目 标
3、情感、态度、价值 观 2、过程与方法

教 学 重 点 教 学 难 点 教

1、 向量数量积的坐标运算和度量公式 2、 向量垂直的坐标表示的充要条件.

平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问 题。

设置情境,启发引导学生由旧知推新知,自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过 程,使学生树立学习数学的信心。



- 31 -

学 方 法 教 学
教学内容 师生互动 设计 意图

环 节
提问 1:如何用向量的长度、夹角反映 数量积?又如何用数量积、长度来反 映夹角?向量的运算律有哪些? 由学生口答, 教师板书向量数量积的定 义及向量的运算律公式

复 习 提 问

练习 2:已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若

a∥b,求 a?b;(2)若 a、b 的夹角为 60°,求|a+b|;(3)若 a-b 与 a 垂 直,求 a 与 b 的夹角. 练习 3:设 i,j 为正交单位向量,则
① ____________ ③ ____________ ________ ④ _______ ②

学生板书, 教师分析, 引导学生复习 前课重点??两个向量的数量积的运 算性质

为 量 的 标 算 度 公 的 导 明 好 论 础

数 积 坐 运 及 量 式 推 证 打 理 基

引 入 新 课 及 公

向量的坐标表示,为我们解决向量的 学生独立进行每个公式的证明, 教师 加、减、数乘向量带来了极大的方便, 个别指导 那么向量的坐标表示,对数量积的表 达方式会带来哪些变化呢? 问题 1 如果已知 样用 、 的坐标表示 ,怎 呢?

推 广

1 : 设 a ? ( x, y) , 则

?

教师小结: (1)两个向量的数量积等于它们对应

在 充 分 复 习 的 基 础 上, 培 养 学 生 用 旧 知 解 决 新 问 题 的 能力, 独 立



- 32 -

式 | a |2 ? x 2 ? y 2 推 | a |? x 2 ? y 2 导
推广 2:设 、

?

或 (长度公式)















王新敞
奎屯

新疆



?

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
(2) 向量的长度、距离和夹角公式

王新敞
奎屯

新疆

思 考 探 索 的 意 识

则 (距离

公式) 推广 3: cos?

? ? a ?b ? = ? | a |?|b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

( 0 ? ? ? ? )(夹角公式) 问题 2 内积为何值时说明两个向量是 垂直的? 教师小结:向量垂直的充要条件 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 教师演示第一问, 强调先写公式, 后计 算,学生完成全题。 巩 固 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 和 度 量 公 式 的 基 本 应用

?

?

a?b

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

?

?

例1

设 a = (3, ?1), b = (1, ?2), 求 a ? b , a , b , a, b

?

?

? ?

? ?

? ?

应 用 举 例
例2 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5), 求证:△ABC 是直角三角形
王新敞
奎屯 新疆

(1)教师引导,师生共同完成。

运 用 向 量 (2)教师提问:该题还有其他证明方法 垂 直 吗? 的 坐 标 表 (提示可计算 、 、 , 示 的 然后用勾股定理验证) 充 要 条 件 解 决 问题;



- 33 -

培 学 灵 运 所 公 解 问 的 力 例3 已知 A(1,2) ,B(3,4) ,C(5, 教师引导,师生共同完成。 0) ,求∠BAC 的值。

养 生 活 用 学 式 决 题 能

应 用 夹 角 的 坐 标 公 式, 揭 示 向 量 与 三 角 的 联 系,训 练 学 生 的 运 算 能力

教师讲解,学生归纳方法 例4 已知 的单位向量 ,求与 垂直 学生独立完成,教师指导 巩 固 新知

课 堂 练 习 归 纳 小 结

练习 A 1(1)(2) ,

1、向量垂直的坐标表示的充要条件, 师生共同完成 及向量的长度、距离和夹角公式 (1)用坐标表示的数量积公式,常用 来计算两向量的夹角. (2)两向量垂直时,在表达方式上有 一 定 技 巧 , 如 总是垂直的。 与

使 学 生 养 成 归 纳 总 结 的 习惯, 主 动 独 立 思 考



- 34 -

2、平面向量数量积的两种形式的内在 联系及有关知识的灵活运用。 练习 A 练习 B 1(3) (4),2,3 1 学生独立完成

问 题 的 能 力 巩 固 新知

布 置 作 业

教材、教参、多媒体、尺规

教 学 资 源 建 议

数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第七学时~第八学时:第二方案

2.3.1 平面向量数量积的物理背景及定义
一、教学目标
1.知识与技能: 掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法: (1)通过向量数量积物力背景的了解,体会物理学和数学的关系 (2)通过向量数量积定义的给出,体会简单归纳与严谨定义的区别 (3)通过向量数量积分配率的学习,体会类比,猜想,证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观: 通过本节探究性学习,让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点
重点:平面向量数量积的定义 难点:数量积的性质及运算率

三、教学方法:
探究性设计方法,提出问题,创设情境,引导学生参与教学过程

四、教学过程
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图



- 35 -

引入

以物理学中的做功为背景引入 问题:观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量? 什么影响了功的大小?如何精确的给出数学中的定义? 力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角

教师提出 问题,学 生思考

? b

?
定义 形成 算 一、两个非零向量夹角的概念

? a
教师引导 学生, 注意: 1.两向量 必须同起 点; 2.? 的 取 值范围; 3.数量积 的定义公 式形式; 4.注意特 殊向量零 向量

由旧知识 引出新内 容;同时 联系物理 学和数 学,理解 具体和一 般的关系

问题:给?一个精确定义 问题:定义向量的一种乘积运算,使得做功公式符合这种运

已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫 a 与 b 的夹角 说明: (1)当θ =0时, a 与 b 同向; (2)当θ =π 时, a 与 b 反向; (3)当θ =

?

?

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让学生自 己体会数 学的概括 性、严谨 性及可操 作性

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奎屯

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? ? ? ? ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2
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奎屯 新疆

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 范围 0? ≤?≤180?

C 二、平面向量数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是θ ,则数量 | a || b |cos? 叫 a 与 b 的 数 量 积 , 记 作 a ? b , 即 有 a ? b = | a || b |cos?, (0≤θ ≤π ) 并规定 0 与任何向量的数量积为
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0

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- 36 -

定义 深化

问题:根据向量数量积的定义进行变形分析,总结性质(考 虑特殊情况) 结论:两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 1、 e ? a = a ? e =| a |cos? 2、 a ? b ? a ? b = 0 3、 a ? a = | a | 或 | a |?
2

?

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学生自己 回顾、探 索、根据 已有知识 得到问题 的答案

养成学生 自 己 动 脑、动手 探索总结 的习惯

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? ? a ?a

? ? a? b 4、cos? = ? ? | a || b |
5、| a ? b | ≤ | a || b | 问题:在以往接触的实数运算中,有很多运算率,结合实数 乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率 问题: 数量积满足乘法交换率、 分配率、 结合率、 消去率吗? 如何验证。 结论:向量数量积满足的运算率:

? ?

?

?

?? ?? a? ? b? ; b a

? ? ? ?? ?? (a ? b)? ? a? ? b? ; c c c

?(a? ) ? (? a)? ? a? ?b) b b (
应用 举例 学生 自己动手 ? ? ? ? ? ? 简单应用 练习 1、 已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b , 以及总结 ? ? ? ? 数量积的 ③ a 与 b 的夹角是 60°时,分别求 a ? b 运算规律 练习 2、判断正误,并简要说明理由 (若易混淆可调整顺序) (类比多 ? ? ? ? ? ? ? 项式的运 ① a ? 0 = 0 ;②0? a =0;③ 0 - AB = BA ;④| a ? b | 算) 例1、 已知| a |=5,| b |=4,< a , b >= 120 ,求 a ? b
o
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??

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让学生由 理论到实 际操作, 逐 步 熟 悉、深入

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=| a || b |; ⑤若 a ≠ 0 , 则对任一非零 b 有 a ?b ≠0; ⑥ a ?b =0, a 与 b 中至少有一个为 0 ; 则 ⑦对任意向量 a ,

?

?

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?

?

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b , c 都有( a ? b ) c = a ( b ? c ) a 与 b 是两个单位 ;⑧
向量,则 a ? b

?2

?2
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- 37 -

例2、 求证: (1). (a ? b) ? a ? 2a? ? b ; b
2

? ?

?2

? ?

?2

(2). (a ? b)? a ? b) ? a ? b ; (

? ?

? ?

?2

?2

b (3). a? ?

? ?

1 ? ? 2 ?2 ?2 ( ( a ? b) ? a ? b ) 2

例 3 、 ? ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 且 斜 边 AC=

2 ,求

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? AB?BC ? BC ? ? CA?BA 的值 CA
练习:P109 练习 A(分组做) 课堂 小结 1. 平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项; 让学生写 2. 平面向量的数量积的运算性质 (注意结合率和消去率不成立) 出基本框 3. 对于平面向量的几种运算进行比较总结 架,然后 添加具体 内容 1、 看书反思本节内容; 2、 P111 练习 A---1、2、3 练习 B---2 进一步体 会数学的 严谨性, 培养学生 思考的能 力和习惯 养成学生 看书的习 惯

作业

2.3.2 向量数量积的坐标运算
一、教学目标 1.知识与技能: 掌握平面向量的数量积坐标运算及应用 2.过程与方法: (1)通过平面向量数量积的坐标运算,体会向量的代数性和几何性; (2)从具体应用体会向量数量积的作用 3.情感、态度与价值观: 学会对待不同问题用不同的方法分析的态度 二、教学重点、难点 重点:向量垂直的坐标表示的充要条件,及向量的长度、距离和夹角公式 难点:条件和公式的应用 三、教学方法 用学过的知识带动学生探求新知识 四、教学过程 教 教学内容 师生互动 学 环 节
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设计意 图



- 38 -

复 习 引 入

平面向量基本定理及向量的坐标表示 向量数量积的定义及性质、运算率

学生思考回 答上节课内容

温故知 新

定 义 形 成

向量具有几何性和代数性,上节课根据向量的几何性定 义出了数量积的运算,并掌握了运算率及性质。那么这一定 义如何由它的代数性反映出来?

那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来? 结论:已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2

教师引导学 生, 从向量的坐标 出发, 根据数量积 的定义推导出数 量积的坐标运 算 。从而很容易 推导出三个公式 和一个条件

?

?

让学生 自己联 系旧知 识推导 新 内 容,体 会自己 创作的 乐趣

? ?

从中总结出三个公式(向量的长度、距离、夹角公式)及 一个条件(向量垂直的充要条件) 向量的长度、距离和夹角公式 (1) a ? ( x, y) , | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? 设 则

?

?

?

x 2 ? y 2 (长
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度公式) ? (2) 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

? 2 2 那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) (距 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) ,
离公式) (3) cos? =

? ? a ?b ? | a |?|b|

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

( 0 ? ? ? ? )(夹角公式) 向量垂直的充要条件 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

?

?

?

?



- 39 -

定 义 深 化

对于从前的射影的概念,我们进行重新的认识 向量在轴上的正射影: 作图

学生主导发现问 题, 教师引导提出 和解决问题 注意: 射影是可正 可负可为零的

定义:| b |cos?叫做向量 b 在 a 所在轴上的正射影

?

?

?

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正射影也是一个数量, 不是向量; 当?为锐角时正射影为正值; 当?为钝角时正射影为负值;当?为直角时正射影为 0;当? = 0?时正射影为| b |;当? = 180?时正射影为?| b |

?

?

教 学 中,学 生不太 容易理 解的, 也不经 常用到 的 概 念,变 作例题 形式有 利于加 深印象

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挖掘向量在轴上的正射影的定义,和我们这两节的向量数量 积有什么关系?(或找出其本质) 练习:P108 例 1 应 用 举 例

例 1.已知 a =(3,-1) b =(1,-2) , ,求 a ? ,| a |,| b |, b <a ,b >

?

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? ?

?

?

? ?

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主要体会向量代 数运算的方便和 简便, 以及几何性 质的直观

例 2.求证菱形的两条对角线互相垂直. 练习.已知点 A (1, , (2, , (-2, , 2) B 3) C 5) 求证 AB ? AC

??? ?

??? ?

例 3.已知点 A(1,2) ,B(3,4) ,C(5,0) ,求 ?BAC 的 正弦值 练习.已知 a =(3,4),求: (1) a 的单位向量; (2)与 a 垂直的单位向量; (3)与 a 平行的单位向量 课 堂 小 结 作 业 1.数量积的定义、性质、运算率 2.几种特殊情况的讨论(注意事项) 教师提出问题:向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘 及数量积的运算,那么它们的区别和联系是什么?尤其是数 乘和数量积的运算,同是乘法,有何区别? 1、 看书总结平面向量数量积的注意事项(分别从定义、运 算率、性质、与数乘的区别总结) 2、 总结一些你认为很有用的式子(可以从例题、习题总结) 3、 P115 练习 B---2(1) 、3 (2) 练习 A---1(1) (2) 习题 A---2 习题 B---4 主要学 生总结, 教师不 做过多 引导

?

?

熟练准 确的运 用向量 数量积 进行运 算,并 对某些 结论性 的内容 有所了 解

?

?

让学生 掌握最 主要的 内容; 让大多 数学生 知道还 有某些 注意事 项



- 40 -

?注意: 1、 找向量夹角时,向量必须同起点; 2、 定义中注意垂直时数量积为 0; 3、 两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;符号“? ”在向量运算中既不能省略,也不能用 “?” 4、 数量积不满足结合率和消去率: 在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0 因为其中 cos?有可能为 0 已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c 但是 a?b = b?c a = c 在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 5、两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定
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数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第九学时~第十学时

2.4.1
一、教学目标

向量在平面几何中的应用

1.知识与技能: 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中 直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 2.过程与方法: 通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法 3.情感、态度与价值观: 通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探 究意识,培养创新精神。

二、教学重点难点
重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点:选择适当的方法,将几何问题转化为向量问题加以解决.

三、教学方法
本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教 学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。 指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。

四、教学内容安排: 教学 教学内容 环节
复 课前复习任务(由学生总结 成书面材料) (1) 向量的线性运算是怎样 的? (2) 平面向量共线的含义及 条件是什么? (3) 平面向量的基本定理及 向量的坐标运算有哪些? (4) 平面向量的数量积中有 哪些主要内容?

师生互动
讨论: (1)若 O 为 ?ABC 重心,则 ??? ??? ???? ? ? ? OA + OB + OC = 0 (2)水渠横断面是四边形 ???? ? 1 ??? ABCD , DC = AB , 且 2 ???? ??? ? | AD |= | BC |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之 间的关系,你会想到向量运算 之间都有什么关系?

设计意图
让学生回顾 学过的知识有力 于本节课的进行









- 41 -







平移、全等、相似、长度、 夹角等几何 性质可以由 向量线性运 算及数量积 表示出来: 例如,向量数量 积对应着几何中的长度.如 图: 平行四边行 ABCD 中, ??? ? ? ???? ? 设 AB = a , AD = b ,则 ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AC ? AB ? BC ? a ? b (平 ??? ??? ???? ? ? ? ? 移) DB ? AB ? AD ? a ? b , ,

???? ??? ? 量 AD , AB 的夹角为


???? 2 ? 2 ???? 2 . AD ? b ?| AD |(长度) 向

?DAB

讨论(让学生回顾学过的知 让学生掌握 识,有利于本课的顺利进行) 用向量方法解平 : (1) 向量运算与几何中的结 面几何问题的步 ? ? ? ? : 论"若 a ? b ,则 | a |?| b | ,且 骤 ? ? 建立平面几何与 a, b 所在直线平行或重合"相 向量的联系,用 类比,你有什么体会?(2) 向量表示问题中 由学生举出几个具有线性运 涉 及 的 几 何 元 算的几何实例. 向量平行、 素,将平面几何 (3) 垂直的判定方法 问题转化为向 量. 通过向量运算研 究几何运算之间 的关系, 如距离、 夹角等. 把运算结果"翻 译"成几何关 系. 问题 1 证明 AECF 是平行四 边形的方法有什么? 学生思考,回答 问题 2 选择合适的方法,问 如何转化为向量条件表示? 学生思考, 回答, 完成证明 (选 一名学生板书) 问题 3 由学生总结解题方法 通过分步设 问,引导学生展 开思维过程,让 学生体会分析、 解决问题的方法

例 1:如图 2-55,已知平行 四边形 ABCD 中, F 在对角 E、 线 BD 上,并且 BE=FD,求证 AECF 是平行四边形。



小结:本题的关键选择适当 的基底, 把四边形 AECF 的一 组对边表示出来



例 2: 求证平行四边形对角线 互相平分.



问题 4 如何证明? 学生思考,回答 老师点评学生思路: 要证明两 条对角线互相平分, 可以证明

小结:法一注重向量的坐标 运算和解析法的运用:法二 选取基底 AB 和 AD ,设未 知数,列向量方程,解方程 组的待定系数得结论,体现 了方程思想的运用。

??? ?

????



???? ???? ???? ???? ? ? ? ? AM ? MC, BM ? MD , 或 ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? ? ? AM ? AC , BM ? BD 。 2 2

前一种方法可以建立平面直 角坐标系, 将向量用坐标表示 后即可;后一种方法就是课本 提供的方法。 师生共同讨论交流, 由教师给 出证明过程

本题所用方 法比较特殊,学 生不易想到,教 师在分析学生提 供的思路的基础 上,点出方法, 又不直接说怎么 做,引导学生再 去探索,让学生 体验思路的形成 过程,学会分析 问题的方法。



- 42 -

例 3:已知正方形 ABCD(图 2-57)P 为对角线 AC 上任意 , 一点, PE ? AB 于点 E, PF ? BC 于点 F,连接 DP, EF。求证 DP ? EF。

问题 5 如何证明?能否用坐 标法完成?学生思考,回答 老师点评学生思 路:要证明两条直线(段)互 相 垂 直 , 可 以 证 明 kDP ? EF = ?1 ,也可以证明两 k 向量数量积为 0。前一种方法 可以建立平面直角坐标系,点 用坐标表示用斜率公式即可; 后一种方法就是课本提供的 方法, 将向量用坐标表示后进 行向量的数量积运算即可。 师生共同讨论交流, 由教 师指导学生给出证明过程



小结:结合图形特点,选定 正交基底,用坐标表示向量 进行运算解决几何问题,体 现几何问题代数化的特点, 数形结合的数学思想体现的 淋漓尽致。向量作为桥梁工 具使得运算简练标致,又体 现了数学的美。 有关长方形、 正方形、 直角三角形等平行、 垂直等问题常用此法。 练习 1. 求证:平行四边形 由向量的数量积的性质, 线段 两条对角线的平方和等于四 的长的平方可看做相应向量 条边的平方和. 自身的内积

本题用坐标 法。尤其是第二 种方法用向量坐 标法证明比较简 单,可见选定方 法是关键,学生 可从中体会,形 成思维习惯。

进一步巩固所学 知识,归纳方法

堂 练习 2. 如图, 在平行四边形 要证四边形 OBCA 为矩形, 只 ??? ? ??? ? ? ? OBCA 中, ? a , ? b , 需证一角为直角. OA OB





? ? ? ? | a ? b |?| a ? b | ,求证四边形 OBCA 为矩形

归纳 小结 布置 作业

本节主要研究了用向量知识 解决平面几何问题;掌握向 量法和坐标法,以及用向量 解决平面几何问题的步骤 练习:A 组 1、2 及 B 组 1 作 业: 习题 2-4A1 及习题 2-4B1

师生交流共同完成

帮助学生总 结知识,归纳方 法 巩固所学方 法,规范解题步 骤

学生独立完成

2.4.2
一、教学目标:

向量在物理中的应用举例

1.知识与技能: 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题. 2.过程与方法: 通过应用举例,让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际 问题,培养学生的探究意识和应用意识,体会向量的工具作用. 3.情感、态度与价值观: 通过本节的学习,让学生体验向量在物理问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探究意 识,培养创新精神。

二、教学重点难点:
重点:利用向量方法解决与物理相关的实际问题
网 - 43 -

难点:选择适当的方法,建立以向量为主的数学模型,把物理问题转化为数学问题

三、教学方法
本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教 学中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。 指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。

教学内容安排: 四、教学内容安排: 教学 教学内容 环节
复习引入,设置情景 引导学生回顾用向量法解 决平面几何问题的基本思 维过程,为学习用向量方法 解决物理以及生活中的问 题奠定理论与方法的基础.

师生互动

设计意图



讨论:出示相关的图片资料或多媒体演示, 让学生回顾学过 设置问题情景 的知识有力于本节课 两个人提一个旅行包,夹角越大越费 的进行 力. 在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 小越省力. 观察思考、探索思路



引引导学生从数学的角度解释这些现象,探讨 用向量知识来表示问题中的物理量,并利用 向量的线性关系表示各物理量之间的关系. 设| F |=| F 2 | ①当 θ 逐渐增大时, 1 |F1|的大小怎样变化,为什么?



?? ?

??


②θ 为何值时,|F1|最小?最小值是多 少? ③θ 为何值时, 1|=|G|?为什么?(F= F1+ |F F2) 讨论:力是向量,在不考虑作用点的情况下 可利用向量运算法则进行计算。 一质点在运动中每一时刻都有一个速 度向量。例如, “东北风 30 m / s ”可用图 2-64 中的有向线段来表示。









物理中的向量: ① 物理中有许多量,比如 力、速度、加速度、位移都 具有大小和方向,因而它们 都是向量. ② 力、速度、加速度、位 移的合成就是向量的加法, 因而它们也符合向量加法 的三角形法则和平行四边 形法则. 力、 速度、 加速度、 位移的分解也就是向量的 分解,运动的叠加也用到了 向量的加法. ③ 动量 mv 是数乘向量. ④ 力所做的功就是作用力 F 与物体在力 F 的作用下所 产生的位移 s 的数量积. ⑤ 用向量研究物理问题的 方法:首先把物理问题转化

用向量知识研究 物理中的相关问题的 “四环节” 1.把物 : 理问题转化为数学问 题 .2. 建 立 以 向 量 为 主 题 的 数 学 模 型 .3. 求出数学模型的有关 解 ------ 理 论 参 数 值 .4. 回 到 问 题 的 初 始状态,解释相关的 物理现象.



- 44 -

成数学问题,即将物理量之 间的关系抽象成数学模型, 然后利用建立起来的数学 模型解释和回答相关的物 理现象. ⑥ 探究:学生举出几个关 于力、速度、加速度、位移 的例子. 例 1: 如图 2-63 所示, 求两 个力 F1、 2 的合力 F 的大 F 问题 1 证明 AECF 是平行四边形的方法有 什么? 学生思考,回答 问题 2 选择合适的方法,问如何转化为向 量条件表示? 学生思考,回答,完成证明(选一名学生板 书) 问题 3 由学生总结解题方法 本题所用方法是建 立以向量为主的数学 模型,把物理问题转 化为数学问题来解 决。并通过两种方法 对比引导学生探索, 体验思路的形成过 程,学会分析问题的 方法。



小(精确到 0.1N )和方 向(精确到分)
小结:本题的关键选择适当 的基底,把四边形 AECF 的 一组对边表示出来







例 2:河水从东向西流,流 速为 2 m/ s ,一轮船以 2 m / s 垂 直 于 水 流 方向 向 北横渡,求轮船实际航行的 方向和航速(精确到 0 .1 m / s ) (图 2-65) 练习 1. 某人在静水中游泳, 速度为 4 3km/h ⑴如果他 径直游向河对岸,水流速度 为 4km/h ,那么他实际上沿 什么方向前进?速度大小为 多少?⑵他必须朝哪个方向 游才能沿与水流垂直的方 向前进?实际前进的速度大 小为多少? 练习 2. 如图,用两根分别长 5 2m和10m 的绳子将 100N 的物体吊在水平屋顶 上,平衡后 G 点距屋顶的距 离恰好为 5m ,求 A 处受力 的大小. 本节主要研究了用向量知 识解决物理问题;掌握向量 法和坐标法,以及用向量解 决物理问题的步骤

问题 3 如何解?学生思考,回答 老师点评学生思路: 由学生思 考轮船实际航行的速度是水流速和船速的 合速度,转化为向量加法运算。

本题所用方法是 建立以向量为主的数 学模型,把物理问题 转化为数学问题来解 决。



解决此类行船问题的关键在于"水速+船速 =船实际速度”,注意到速度是一个向量,既 有大小,又有方向.

进一步巩固所学 知识,归纳方法





习:

解决此类问题要先依题意将物理向量用有 向线段来表示,利用向量加法的平行四边形 法则,将物理问题转化为数学中向量加法, 然后由已知条件进行计算. 师生交流共同完成用向量知识研究物 理中的相关问题的“四环节” 1.把物理问 : 题转化为数学问题.2.建立以向量为主题的 数学模型.3.求出数学模型的有关解-----理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释 相关的物理现象. 帮助学生总结知识, 归纳方法

归 纳 小 结



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布 置 作 业

练习:123 页练习 A 组 1、2 及 B 组 1、2 作业:123 页练习 A 组 3、4 及B组3

学生独立完成

巩固所学方法,规范 解题步骤

五、教学资源建议
(1)多媒体教学系统(展示相关图片或视频资料). (2)引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面 的应用,加深对向量工具性功能的认识,扩大知识视野.

六、教学方法与学习指导策略建议
(1)重视问题的形成过程 利用多媒体教学手段和丰富的素材,通过典型问题创设教学情景,让学生动 手操作、观察思考,在探究中发现和提出问题,发现平面图形的几何性质. (2)关注解题方法产生的思维过程 引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题,揭示解题方法 产生的的思维过程,让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用,从 而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力. (3)强化学生的应用意识 一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生 活现象的习惯和意识,强化学生的应用意识;二是为学生提供充足的动手操作的 机会 ,一旦形成解决问题的思路,后续的解题过程则放手让学生独立完成,让学 生体验问题的解决过程,并在此过程中锻炼与提高数学能力. (4)引导学生探究解题规律 指导学生做好解题后的反思,总结解题规律,从而培养学生理性的、条理的 思维习惯,形成对通性通法的归纳意识. 数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第十一学时~第十二学时:全章小结 (一)学习目标 1.进一步理解向量的有关概念; 2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用. 4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。 5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些 问题. (二)重点难点 1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算 2. 难点是如何向量方法解决一些问题. (三)教学过程
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教学环 教学内容 节 全章知 识结构 介绍
向量及其基本概念

师生互动
平面向量、实际背景

设计意图

线性运算

向量的数量积

基本定理

坐标表示

让学生根 让学生从整体上 据表根中 对本章内容有一 的 各 项 个宏观的了解 要,回忆 相关的概 念 说明:给出这组题 的目的是,在复习 向量的加减法,坐 标运算和其相关 的几何表示都要 掌握,并且要会结 合在一起使用.

向量的应用

复习

例 1.填空(向量的线性运算) 1.已知平行四边形 ABCD,则

让学生自 己先解决 问题,让 AB ? AD ? _______,AB ? AD ? _______ . 后同学进 行回答, 2. AB ? AC ? CB ? BA ? _______ . 教师进行 1 指导 3. 已知 OM ? (OA ? OB ) ,则点 M 2 是 A,B 的_______; 若点 A( 2,?5, ), B(1,?7) , 则 M 的坐 标为_________.
1 1 4. 已 知 OM ? (1 ? )OA ? OB , 则 3 3

AM ? _____AB.
5.已知 A(2,1), B(?3,?2) , AM ? 则点 M 的坐标为_______. 例 2.(向量的数量积) (1) 已 知
2 AB , 3

a ? (1,3),b ? (?3,1)

,



? a, b ?,| a ? b |, | a ? b |, ? a ? b, a ? .
(2)已知在 ?ABC 中,有

OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,问:点 O 在
?ABC 的什么位置. 例 3.(向量基本定理)

(1)给定一个基底 {i, j} 且

说明:让学生首要 注意一些数据表 明的一些几何信 息以及向量的代 数式也可以告诉 我们一些相关的 几何信息,从而突 出代数和几何关 系. 会让学生在给出 基底的情况下表 示其它向量.

a ? 4i ? j, b ? 3 j, c ? 12i ? 3 j, 如果

c ? xa ? yb ,求 x, y .


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(2)已知 E,F 分别是 ? ABC 边 AB,AC 上的 1 点,其 EF//BC,AE= AB ,如果 3

AE ? a , AF ? b ,用 a, b 表示

BC, BF, EC, CF.
例 4.(向量的应用) 教师要对 (1)已知 ?ABC 中,引中线 AD,BE,CF,求 学 生 进 行 适当的提 证: AD ? BE ? CF ? 0 ; 示. (2) 若 O 为 ?ABC 的 重 心 , 求 证 : 这部分问题的对 学生的要求较高, 让学生会应用向 量方法解决相关 问题,而这包括用 向量和坐标方法.

OA ? OB ? OC ? 0 .
(根据此问让学生思考重心坐标公式) (3)用向量方法证明:平行四边形两条对 角线长度的平方和等于平行四边形四边 长度的平方和. (4) 已 知 向 量 OA, OB, OC 满 足

OA ? OB ? OC ? 0, | OA |?| OB |?| OC |? 1,
求证: ?ABC 是等边三角形. (5)已知

a ? (?3,2),b ? (2,1),c ? (3,1),t ? R .
求 | a ? tb | 的最小值和相应 t 的值; 若 a ? t b 与 c 共线,求 t 的值. 归纳小 本节主要复习向量的概念和相关的运算, 结 如何用向量来解决问题 布置作 课本 126 页习题. 业

学生自主 完成

(四)教学资源建议 教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规 (五)教学方法与学习指导策略建议 向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,掌握向量的解题技巧,方法显得非常 重要.向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相 应的基本概念比较清楚,因此教师在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上, 让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有 机的结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂,是连接数与形的纽带,教师应该突 出这一点.因此,教师在讲授时,
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(1)关注解题方法产生的思维过程 引导学生探究如何将把问题转化为向量问题,揭示解题方法产生的的思维过 程,让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用,从而提高学生综合 运用知识分析和解决问题的能力. (2)强化学生的应用意识 一是培养学生利用所学数学知识、 用数学的思维与观点去观察和分析现实生活 现象的习惯和意识,强化学生的应用意识;二是为学生提供充足的动手操作的机 会 ,一旦形成解决问题的思路,后续的解题过程则放手让学生独立完成,让学生 体验问题的解决过程,并在此过程中锻炼与提高数学能力. (3)引导学生探究解题规律 指导学生做好解题后的反思,总结解题规律,从而培养学生理性的、条理的 思维习惯,形成对通性通法的归纳意识.

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