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数学人教A版必修5第二章2.3等差数列的前n项和(第1课时)


第 1 课时

等差数列的前 n 项和

1.理解等差数列前 n 项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前 n 项和公式及其应用.

1.数列的前 n 项和 对于数列{an},一般地,我们称 a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示, 即 Sn=______________. 数列的前 n 项和必须从第 1 项开始,逐项相加到第 n 项,不能是 其中几项的和. 【做一做 1】 数列 9,-2,-10,3 的前 3 项和 S3=__________. 2.等差数列{an}的前 n 项和 n(a1+an) 设等差数列{an}的公差是 d, 则 Sn= =na1+__________. 2
[来源:学#科#网]

n(a1+an) n(n-1) 等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d, 前 n 项和公式 Sn= =na1+ d. 2 2 ①上述两个公式共涉及到 a1,an,Sn,n,d 五个量,通常已知其中三个,可求另外两个, 即“知三求二”,而且方法就是解方程 组,这也是解决等差数列问题的策略. n(a1+an) ②当已知首项 a1,末项 an,项数 n 时,常用公式 Sn= ;当已知首项 a1,公差 d, 2 n(n-1) 项数 n 时,常用公式 Sn=na1+ d. 2 【做一做 2-1】 等差数列{an}中,a1=1,d=1,则 Sn 等于( ) A.n B.n(n+1) n(n+1) C.n(n-1) D. 2 【做一做 2-2】 等差数列{an}中,an=2n-1,则其前 n 项和 Sn=__________. 答案:1.a1+a2+a3+…+an 【做一做 1】 -3 n(n-1) 2. d 2 【做一做 2-1】 D 【做一做 2-2】 n2

1.等差数列前 n 项和公式与函数的关系 n(n-1) d? d 剖析:等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ d 可以写为 Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 2 d d 若令 =A,a1- =B,则上式可以写成 Sn=An2+Bn,即 Sn 是关于项数 n 的函数. 2 2 当 A=0,B=0 时(此时 a1=0,d=0),Sn=0 是关于 n 的常数函数; 当 A=0,B≠0 时(此时 a1≠0,d=0),Sn=Bn 是关于 n 的一次函数(正比例函数);
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当 A≠0 时(此时 d≠0),Sn=An2+Bn 是关于 n 的二次函数. 从上面的分析,我们可以看出: (1)一个数列{an}是等差数列,则其前 n 项和公式 Sn=f(n)是关于 n 的二次函数或一次函 数或常数函数,且其常数项为 0,即 Sn=An2+Bn(A,B 为常数 ). (2)如果一个数列的前 n 项和的表达式为 Sn=An2+Bn+C(A,B,C 为常数),则当 C≠0 时,数列{an}不是等差数列. d? d (3)当 d≠0 时,点(1,S1),(2,S2),(3,S3),…,(n,Sn),…在抛物线 y= x2+? ?a1-2?x 2 的图象上. (4)由二次函数图象的性质可知,当 d>0 时,{an}是递增数列,Sn 有最小值;当 d<0 时,{an}是递减数列,Sn 有最大值. 2.Sn 与 an 的关系 剖析:已知数列 {an}的通项公式 an,前 n 项和 Sn,则 Sn 与 an 有如下的关系: an= ? S , ? 1 n=1,
? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

推导如下: ∵Sn=a1+a2+a3+…+an, 且当 n≥2 时,Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1. ∴当 n≥2 时, Sn-Sn-1=(a1+a2+a3+…+an)-(a1+a2+a3+…+an-1)=an. ? ?S1,n=1, 又当 n=1 时,a1=S1,∴an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? 若 S1 满足 Sn-Sn-1 形式,则有 an=Sn-Sn-1(n≥1,n∈N*);若 S1 不满足 Sn-Sn-1 形式, 则可表示成上述分段形式. 这是实现 an 与 Sn 相互转化的重要方法. 题型一 已知 Sn 求 an 【例题 1】 已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析:利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)求解. 反思:已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn,求通项公式 an 的步骤: (1)当 n=1 时,a1=S1. (2)当 n≥2 时,根据 Sn 写出 Sn-1,化简 an=Sn-Sn-1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式为 an =Sn-Sn-1(如本题(1)); 如果 a1 不满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表 ? ?S1,n=1, 示为 an=? (如本题(2)). ?Sn-Sn-1,n≥2 ? 题型二 等差数列前 n 项和的有关计算 【例题 2】 已知等差数列{an}中, 3 1 (1)a1= ,d=- ,Sn=-15,求 n 及 an; 2 2 (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d. 分析:合理地使用前 n 项和公式,并注意其变形;要应用方程的思想. 反思:a1,d,n 称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示, 五个量 a1,d, n,an,Sn 中可知三求二,即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求 二”的问题,一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数 列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 题型三 等差数列前 n 项和的最值问题 【例题 3】 数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6.

(1)该数列前多少项都是非负数? (2)求此数列的前 n 项和 Sn 的最大值. ? ?am≥0, 分析:(1)满足不等式组? 的正整数解即是;(2)既可 以从项的正负考虑,也可 ?am+1<0 ? 以利用等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数,考虑对应二次函数的最值. 反思:求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法: (1)由二次函数的最值特征得解. n(n-1) d 2 ? d Sn=na1+ d= n +?a1-2? ?n 2 2 ?a -d?2 d d? a1- ?2 ? 1 2? 2? - = ? 2 n+ 2d ? d ? 1 a1 d d 1 a1 = ? n-? - ??2- ? - ?2. 2? ?2 d ?? 2?2 d ? 1 a1 由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知,当 n 取最 接近 - 的正整数时,Sn 取 2 d 1 a1 到最大值(或最小值),如本题(2)方法二.值得注意的是最接近 - 的正整数可能有 1 个, 2 d 也可能有 2 个. (2)根据项的正负来定. ?am≥0, ? ①首项 a1>0,公差 d<0,m 满足? 时,前 n 项和 Sn 的最大值是 Sm. ?am+1<0 ?
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? ?am≤0, ②首项 a1<0,公差 d>0,m 满足? 时,前 n 项和 Sn 的最小值是 Sm. ?am+1>0 ? 题型四 易错辨析 【例题 4】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2,求此数列的通项公式. 错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1. 错因分析: ∵Sn=n2+2 , ∴a1=S1=12+2=3, 而当 n=1 时, an=2n-1=2× 1-1=1≠3, 则 an=2n-1 不是数列{an}的通项公式.错解中忽视了 an=Sn-Sn-1 成立的条件是 n≥2. 反思:已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系求 an,一般使用公式 an=Sn-Sn-1(n≥2), 但必须写明 它成立的条件:n∈N*,n≥2,忽视了这一点往往会导致错误.

答案: 【例题 1】 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则 an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5 =4n-5. 此时若 n=1,则 an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故 an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=31-2=1; - 当 n≥2 时,Sn-1=3n 1-2, - - 则 an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n 1-2)=3n-3n 1 n-1 n-1 n-1 =3· 3 -3 =2· 3 . - - 此时若 n=1,则 an =2· 3n 1=2· 31 1=2≠a1, ? n=1, ?1, 故 an=? n-1 ?2· 3 , n≥2. ? 3 n(n-1)? 1? - =-15, 【例题 2】 解:(1)∵Sn=n·+ 2 2 ? 2? 整理,得 n2-7n-60=0,
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解得 n=12 或 n=-5(舍去), 1? 3 ∴a12= +(12-1)×? ?-2?=-4. 2 n(a1+an) n(-512+1) (2)由 Sn= = =-1 022, 2 2 解得 n=4. 又由 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解得 d=-17 1. 【例题 3】 解:(1)由 a1=50,d=-0.6, 知 an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6. ?am≥0, ?-0.6m+50.6≥0, ? ? 令? 即? ? ? ?am+1<0, ?-0.6(m+1)+50.6<0, 250 253 解得 <m≤ , 3 3 * 又 m∈N ,则 m=84, 即前 84 项都是非负数. (2)方法一:由(1)得 a84>0,a85<0, 84×83 则 Sn 的最大值是 S84=50×84+ ×(-0.6)=2 108.4. 2 n(n-1) 503 5032 n- ? 2 + 方法二:Sn=50n+ · (-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3? ,由二次函 6 ? ? 2 120 数的性质知,当 n=84 时,Sn 取最大值 S84=2 108.4. 【例题 4】 正解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1; 当 n=1 时,a1=S1=12+2=3,不适合上式, ?3,n=1, ? 故 an=? ?2n-1,n≥2. ?

1 (2011· 山东济南二模)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n2-17n,则当 Sn 取得最小值 时,n 的值为( ) A.4 或 5 B.5 或 6 C.4 D.5 2 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 3(2011· 北京丰台一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,S5=10,则 S7= __________. 4(2011· 安徽“江南十校”高三联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通 项公式为__________. 5 等差数列{an}中,a3=-5,a6=1,此数列的通项公式为__________,设 Sn 是数列{an} 的 前 n 项和,则 S8 等于__________.
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答案:1.C 2.B 3.21 4.an= ? 5.an=2n-11 -16

? ?1, n ? 1,
n ?1 ?2 , n ≥ 2


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