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一元二次不等式及其解法的教学设计



一元二次不等式及其解法的教学设计

一 设计思想 建构主义认为,知识存在“同化”和“顺应”过程,需要经过学习者自身体验.因此, 教学设计应注重学生的主体地位, 发挥教师组织和引导的主导作用, 调动学生的主动性和积 极性,使数学教学成为数学活动过程的教学,激发学生学习数学的兴趣. 本节课从实际问题入手,抽象出一元二次不等式模型,结合课件展示,先回忆初中相关 知识,进而类比解决引入问题中的一元二次不等式,然后从特殊到一般深入探究.最后,通 过学生的合作交流总结解法, 再以学生出题学生解答的方式加以巩固, 让学生亲自体验自己 的成果. 二 教材分析 本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法 是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化, 对已学习过的集合、 函数等知识 的巩固和运用具有重要作用, 也与后面的线形规划、 直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相 关,许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整个 高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用. 三 学情分析 学生在初中已经学习了一元一次不等式(组)和二次函数,对不等式的性质有了初步了 解 . 在解决引入问题中的一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 时,学生可能会转化为不等式组
2

{ x ?5?0 或{ x ?5?0 求解.这种等价转化法非常好,应给予肯定和鼓励,但不在本节课学习之 列. 四 三维目标 1 知识与技能 (1)经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程; (2)通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图. 2 过程与方法 (1)采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; (2)发挥学生的主体作用,作好探究性实验;

x ?0

x ?0

(3)理论联系实际,激发学生的学习积极性. 3 情感态度与价值观 (1) 通过利用二次函数的图象求解一元二次不等式的解集, 培养学生数形结合的数学思想; (2)通过研究函数、方程、不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互 转化的,树立辨证的世界观. 五 重点与难点 重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出体 现数形 结合的思想; 难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 六 教学策略与手段 采用探究与合作相结合的教学方式,进行启发式教学. 七 课前准备 1 学生预习“一元二次不等式及其解法”第一课时的内容(P85 至 P88 的例 2) ; 2 教师认真备课,做好相关课件. 八 教学过程 本节课的教学框图如下所示:

从实际问题中,建立一元二次不等式模型

类比一元一次不等式解法,进行探究 从特殊到一般,深入探究

尝试设计程序框图,归纳解法

运用成果,解决问题

1 从实际问题中,建立一元二次不等式模型(T:教师,S:学生) T: 随着网络的发展, 上网已经是一种比较常见的休闲方式.大家知道网吧一般是怎样收费的 吗? S:积极回答. T:看来大家对网吧收费行情了解的很全面,但我们不能沉迷于网络游戏,上网更重要的是

帮助我们获取信息.下面我们来看一道有关网络收费的问题: 某同学要把自己的计算机接入因特网, 现有两家因特网服务公司可供选择, 公司 A 每小 时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时计算) ;公司 B 的收费原则是在用户上网的第 1 小时内 (含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时减少 0.1 元(若 用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算). 一般来说,一次上网的时间不会超过 17 小时,所以,不妨假设一次上网时间总小于 17 小时.那么,一次上网多长时间以内能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所需费用少? 师生活动:引导学生分析问题中的不等关系,由学生代表叙述观点,其他学生补充,教师板 书解题过程,列出不等式 x ? 5 x ? 0 .
2

T:因此这个问题实际就是解不等式 x ? 5 x ? 0 的问题.这一不等式有几个未知数,最高次
2

是多少? S:只有 1 个未知数,最高次是 2 次. T: 我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 次的不等式叫做一元二次不等式, 它的一般形式是 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) . 注 从比较普遍的“网吧收费”问题讲起,再提出“网络收费”问题,低起点,贴进学生生 活, 利于激发学生的学习兴趣.既呈现由简单到复杂的数学思想, 又进一步加深了学生对 “数 学源于生活”的认识. 2 类比一元一次不等式解法,进行探究 T: 在初中,我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式,以及一次函数的有关知识, 那么,这三者之间有什么关系吗? 师生活动:由教师演示几何画板制作的课件(如图 1) 引导学生观察 P 点在抛物线上移动时,随着 P 的横坐标 的变化,P 的纵坐标有什么变化,并得出以下结论: (1) x 轴是一条分界线,一次函数 y ? 2 x ? 7 与 x 轴的交点是分界点. (2) y ? 0 的解即为 y ? 2 x ? 7 在 x 轴上方的图象对应的 x 的范围; 图1
y

y

y ? 2x ? 7


P x

O

3.5 x

y ? 0 的解即为 y ? 2 x ? 7 与 x 轴交点的横坐标; y ? 0 的解即为 y ? 2 x ? 7 在 x 轴下方的图象对应的 x 的范围.

(3)写出 2 x ? 7 ? 0(? 0, ? 0) 的解. T:在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系, 利用这种联系,我们可以快速准确的求出一元一次不等式的解集,类似地,我们能否对一元 二次不等式 x ? 5 x ? 0 的求解与二次函数联系起来讨论,从而找到其求解方法呢?
2

师生活动:由教师演示几何画板制作的课件(如图 2) ,不断拖动 P 点,引导学生完成以下 问题: (1)当 x 为何值时, y ? 0 ? 当 x 为何值时, y ? 0 ? 当 x 为何值时, y ? 0 ? (2)方程 x ? 5 x ? 0 的解是
2

y
y

y ? x2 ? 5 x



P x

O
; ; 图2

5x

不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是
2

不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是
2

(解决了引入问题).

注 结合几何画板的动态演示,类比初中所学知识,联系学生的最近发展区,利于激发学生 的好奇心和探究欲.

3 从特殊到一般,深入探究 T :由一元二次不等式的一般形式可知,任何一个一元二次不等式,最后都可以化为

ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的
解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关, 即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对 应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢?

3.1 探究一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 由教师演示几何画板制作的课件 (如图 3) ,上下拖动 P 点,观察 ? 的值以及抛物线与 x 轴相关位置,引导学生得出一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解 集应分为 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况讨论,并组织学生完成以下表格:

y ? ax 2 ? bx ? c( a ? 0)
y

y

O

x

P
图3 3.2 讨论一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 T:对于二次项系数 a 是负数的一元二次不等式,又应该如何求解呢? S1:还是通过相应的二次函数图象来解. T:这位同学说的很好!他抓住了应用“数形结合”思想求一元二次不等式的解集这一本质 (用几何画板制作的课件简要演示说明).还有其他方法吗? S2:可以先把二次项系数 a 化为正数,再求解. T:非常好!由于我们对 a ? 0 这一情况有了较详细的认识,因此把 a ? 0 这一不熟悉的情况 转化为 a ? 0 这一已知情况,正体现了化未知为已知的数学思想. 注 从特殊到一般,化未知为已知,符合学生思维过程. 4 尝试设计程序框图,归纳解法 T:下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来,请同学们将判断框和 处理框中的空格填充完整. 学生活动:



开始
将原不等式化成一般形式 ax 2 +bx+c>0(a>0) =b 2 -4ac



师生活动:用简要的语句来概括求解一元二次不等式的步骤: (1)化二次项系数 a 为正数; (2)算 ? ; (3)结合图象,写一元二次不等式解集(心中有 图). 注 程序框图的设计, 使学生对前面所学知识有了更系统的认识, 进一步明确了求解一元二 次不等式的步骤. 5 运用成果,解决问题 T: 让学生出题, 由学生解答, 引导不同的学生出不同类型的一元二次不等式 (3、 4 个为宜) . S:很活跃,积极参与. 注 以学生出题学生解答,教师在旁引导的形式设计,不仅能让学生充分体验到自己的“劳 动成果” ,而且能帮助他们更深刻地理解如何求解一元二次不等式. 九 板书设计

3.2.1 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的概念 多媒体演示区 2.一元二次不等式的解题步骤 例题

十 作业设计 1 完成课本第 90 页练习及习题 3.2A 组第 1-4 题;

2 思考课本第 116 页复习参考题 A 组第 3 题和 B 组第 1 题. 问题研讨: 1 对一些同学提出的用等价转化思想求解一元二次不等式问题,应该解释到什么程度; 2 对二次项系数小于 0 的一元二次不等式求解问题是否应该详细归纳; 3 一元二次不等式的解集是 R 或 ? 的情况往往容易混淆,应该如何加强.

参考资料:
① 任志鸿: 《高中优秀教案》 ,南方出版社 2005 年 9 月第 2 版,第 174-180 页. ② 刘品德: 《中学教研》 ,2006 年第 12 期. ③ 李建华: 《教师教学用书》 ,人民教育出版社,2006 年 3 月第 2 版,第 77-78 页.



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