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湖北省长阳县第一高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


长阳一中 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高二数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,计 60 分) 1、已知 a, b 为实数,“ ab ? 100 ”是“ lg a ? lg b ? 2 ”的 A、充分而不必要条件 C、充要条件 B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ( ) ( ) 试卷总分: 150 分

2、某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
X=3 Y=4 X=X+Y Y=X+Y

C.两次都不中靶

D.只有一次中靶 ( )

3.(程序如右图)程序的输出结果为 A. 3,4 C. 7,8 B. 7,7 D. 7,11

4.在区间 ? 0, 2? 上随机地取一个数 x ,则事件“ -1 ? log( ? 1 ”发生的概率为 1 x? )
2

PRINT

X,Y

1 2

( A.

)

1 3

B.

2 3

C.

3 4

D.

1 4

5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50), [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生 人数为( ).

A.588

B.480

C.450

D.120

6. 若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆的方程 是( )
2 2 B.(x+ 5 ) +y =5 2 2

2 2 A.(x- 5 ) +y =5 2 2

C.(x-5) +y =5

D.(x+5) +y =5

1

7. 执行右边的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 A A.[-3,4] C.[-4,3] B.[-5,2] D.[-2,5]

(

)

8.有下列四个命题:①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有
2

实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为( A.①② B.②③ C.①③ D.③④

)

9.为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气 温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( A.①③ B. ①④ ) D. ②④

C.②③

10.若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取值最多有( A.2 个 11. 已知点 、 ) B.3 个 , C.4 个 是直线 的函数为 D.6 个 上任意一点,以 A、B 为焦点 ,那么下列结论正确的是 B.函数 是增函

的椭圆过点 P.记椭圆离心率 关于 A. 与 数 C.函数 12. 已知椭圆 E : 无最小值,有最大值 一一对应

D.函数

有最小值,无最大值

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F .短轴的一个端点为 M ,直线 a 2 b2

l : 3 x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小


4 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 5

2

A.

(0,

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

二、填空题(每小题 5 分,计 20 分) 13. 用“秦九韶算法”计算多项式 f ( x ) ? 4 x 5 ? 3 x 4 ? 4 x 3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 3 的值,当 x=3 时,V3= 14. 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) .

x y

2 30

4 40

5 60

6

8 70

t

^=6.5x+17.5,则表中 t 的值 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y 为 .

15. 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校, 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率 为________. 16.在平面直角坐标系 中,已知点 A 在椭圆 ,且 为 . 上,点 P 满足

,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值

三、解答题(共 6 大题,计 70 分,要求写出详细解答过程) 17. (10 分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外 完全相同.随机有放回地抽取 3 次 ,每次抽取 1 张 ,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

18.(12 分) 命题 P:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0, 对一切实数 x 恒成立, Q:函数 f(x)=(3-2a) 是增函数,若 P∨Q 为真,P∧Q 为假,求 a 的取值范围。

2

x

x y 1 19.(12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M, N 两点, 线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0), 求 y0 的范围

2

2

3

20. (12 分)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌 手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数

A
50

B
100

C
150

D
150

E
50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中 从 B 组抽取了 6 人,请将其余各组抽取的人数填入下表: 组别 人数 抽取人数

A
50

B
100 6

C
150

D
150

E
50

(2) 在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的评 委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率.

21.( 12 分)在直角坐标系 是直线 当 : 取最大值时. 的坐标及过点

中,已知圆 上的任意点, 过

的方程: 作圆的两条切线 , 切点为

,点 、 ,

(1)求点

的切线方程;

(2)在

的外接圆上是否存在这样的点

,使



为坐标原点),如

果存在,求出

点的坐标,如果不存在,请说明理由.

22.(12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e=

x2 y2 a b

2 ,左、右焦点分别为 F1,F2,点 2

P(2,

3),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M,N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α , β ,且 α +β =π ,试问直线 l 是否过定点?若过,求该定点的坐标.

4

2015 年高二年级上学期期中考试数学(理科)答案 一、选择题 1、 B;2、C;3、D;4、C;5、B;6、D;7、A;8、C;9、B;10、C;11.C;12A, 二、填空题 9 13、 91; 14、50;15、 ;16、 15 32 17.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1), (1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2, 2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2, 1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 18 命题 P 为真:-2<a<2 命题 Q 为真: a<1 P∨Q 为真,P∧Q 为假 P 为真 Q 为假:1≤a<2 P 为假 Q 为真:a≤-2 a 的取值范围为 1≤a<2 或 a≤-2 19

5

6

20 解:(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽到的人数如下表: 组别 人数 抽取人数

A
50 3

B
100 6

C
150 9

D
150 9

E
50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 个评 委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,

b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 4 2 种,故所求概率 p= = . 18 9 21

7

22

8

9



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