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河北省衡水第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案



衡水市第二中学 15—16 学年上学期期中考试 高二年级数学(文)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 复数 z 满足 z · (1+2i)=4+3i,则 z 等于 A. 2 ? i 2.若 A ? {x | x ? 则 A? B ? ( B. 2 ? i C.1+2i ( D. 1 ? 2i )

1 1 |? 1} , B ?

{x ? 1} ,定义 A ? B ? {x | x ? A ? B 且 x ? A ? B} , 2 x


A. ? ? , 0? ? ?1, ? ? 2 ? ? 2? 3.下列命题错误的是(
2 2

? 1

?

?

3?

B. ? ? , 0? ? ?1, ? ? 2 ? ? 2? )

? 1

? ?

3?

C. ? ? ,

? 1 ? 2

3? 2? ?

D. ? 0, 1?

A .命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0 则

x2 ? y2 ? 0 ”
2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 D.若 向 量 a , b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 4. 在数列{ a n }中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? ln(1 ? A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1)ln n

? ?

? ?

?

?

1 ) ,则 an ? ( n

) D. 1 ? n ? ln n

C. 2 ? n ln n

5. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为(



A. 1

B. 2

C. 3

D.2

6. 给定函数 y ? f ( x) 的图像如下列图中,经过原点和(1,1) ,且对任意 an ? (0,1) ,由关系 式 an?1 ? f (an ) 得到数列{ an },满足 a n ?1 ? a n

( n ? N * ) ,则该函数的图像为(



? 1 7.已知三个正态分布密度函数 ?i ? x ? ? e 2?? i

? x ? ?i ?2
2? i2

( x ? R , i ? 1, 2,3 ) 的图象如图1 所

示,则(


y ? ?2 ? x ?

y

y ? ?1 ? x ?

y ? ?3 ? x ?
O

x
B. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3

A. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 8. 设 a ? b ? 0 ,则 a ? A.2 9. 已知 f (n) ? 1 ? B.3

1 1 ? 的最小值为( ) b a?b
C.4 D. 3 ? 2 2

1 1 1 3 5 ? ?? ? ( n ? N ? ) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , 2 3 n 2 2 7 ) f (16) ? 3 , f (32) ? ,由此推算:当 n ? 2 时,有( 2 2n ? 1 2( n ? 1) ? 1 ? ? A. f (2n) ? ( n? N ) B. f (2n) ? (n? N ) 2 2 2n ? 1 n?2 n n ? ? C. f (2 ) ? ( n? N ) D. f (2 ) ? (n? N ) 2 2
? ? x ? y ? 1, ? 10.已知实数变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 且目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 4,则实数 m ? 1 ?mx ? y ? 1 ? 0, 2 ?

的值为(

) A.

3 2

B.

1 2

C.2

D.1

?1 ? ? 1, x ? 1, 11.已知函数 f ( x) ? ? x 在 R 上满足:对任意 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ? ?? 2 x ? a, x ? 1
则实数 a 的取值范围是( D. [?2,??) ) A. (??,2] B. (??,?2] C. [2,??)

12.若变量 x, y 满足 x ? ln

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数图象大致是( y



二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 三棱锥 P ? ABC 中, ?ABC 为等边三角形, PA ? PB ? PC ? 2 , PA ? PB ,三棱 锥 P ? ABC 的外接球的表面积为________ 2 14.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不 0 必要条件,则实数 a 的取值的集合是________. 0 15. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 2016x ? log2016 x ,则函 9 0 数 f ( x) 的 5 1 零点的个数是________ 4 16.下表给出了一个“三角形数阵” :
1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 1, 1 1 1 , , 2 4 8

??

依照表中数的分布规律,可猜得第 10 行第 6 个数是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分)已知函数 f ? x ? ? m ? x ?1 ? 2 x ?1 (Ⅰ)当 m ? 5 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (Ⅱ)若二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ? x ? 的图象恒有公共点,求实数 m 的取值范
2

围.

?? 18. (本小题共 12 分)已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角,其对边分别为 a、b、c,若 m

=(-cos

? ?? ? 1 A A A A ,sin ) , n =(cos ,sin ) ,a=2 3 ,且 m · n = . 2 2 2 2 2
(2)求 b+c 的取值范围.

(1)若△ABC 的面积 S= 3 ,求 b+c 的值.

19. (本小题共 12 分)在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB 是等边三角形, PA ? AC , PB ? BC . P

B

A

C

(1)证明: AB ? PC ; (2)若 PC ? 2 ,且平面 PAC ? 平面 PBC ,求三棱锥 P ? A B C 的体积.

20. (本小题共 12 分)某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观 测研究,在饲料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间 x(单位:月)与这种鱼类的平均体重 y(单位:千克)得到一组观测值,如下表:

xi (月)

1

2

3

4

5

yi (千克) 0.5

0.9

1.7

2.1

2.8

(1)在给出的坐标系中,画出关于 x、y 两个相关变量的散点图.

(2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程

? ?a ? ? bx ?. y
(3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克).

?? (参考公式: b

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

n

? ) ? ? y ? bx ,a

? n( x ) 2

21.(本小题满分 12 分) “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇 大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的 方式演绎) ,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一 次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对 歌曲名称与否的人数如图所示.

(1)写出 2×2 列联表;判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你 的理由; (下面的临界值表供参考)

P( K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手,并抽取 3 名幸运 选手, 求 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间的概率. (参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 .其中 n ? a ? b ? c ? d . ) (a ? b)(a ? c)(c ? d )(d ? b)

22. (本小题共 12 分)已知数列中 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?

an (n ? N *) an ? 3

(1)求证:数列 {

1 1 ? } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式 an an 2
n ? a n , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 T n , 若 不 等 式 2n

n ( 2 ) 若 数 列 {bn } 满 足 bn ? (3 ? 1) ?

( ?1) n ? ? Tn ?

n 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围. 2n ?1

衡水市第二中学 15—16 学年上学期期中考试 高二年级数学(文)试题
1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6. A 7. D 8.C 9.D 16. 10.D 11.C 12.B 13. 12? 14.{ a | a<5 } 15.3

5 64

? 3 x ? 6, x ? ?1 ? 17.【答案】 (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ? x ? ? ? ? x ? 2, ?1 ? x ? 1 , ? 4 ? 3 x, x ? 1 ?
由 f ? x ? ? 2 易得不等式解集为 ? ?
2 ? 4 ? , 0 ? Ⅱ) y ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2 ,该函数在 ? 3 ?

? 3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? x ? ?1 处 取 得 最 小 值 2, 因 为 f ? x ? ? ?? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处 取 得 最 大 值 ? ?3 x ? m ? 1, x ? 1 ?
m ? 2,
所以二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ? x ? 的图像恒有公共点,
2

只需 m ? 2 ? 2 ,即 m ? 4 .

------------10 分

?? ? ?? ? 1 A A A A 18.【答案】 (1)∵ m =(-cos ,sin ) , n =(cos ,sin ) ,且 m · n = , 2 2 2 2 2 2? 1 1 2 A 2 A ∴-cos +sin = ,即-cosA= ,又 A∈(0,π ) ,∴A= . 3 2 2 2 2 2? 1 2 2 2 2 又由 S△ABC= bcsinA= 3 ,所以 bc=4,由余弦定理得:a =b +c -2bc·cos =b + 3 2
c +bc, ∴16=(b+c) ,故 b+c=4
2 2

由正弦定理得:

b c a 2 3 ? ? = =4, 2? sin B sin C sin A sin 3

又 B+C=π -A=

? ? ? ,∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin( -B)=4sin(B+ ) , 3 3 3

∵0<B<

3 ? ? ? 2? ? ,则 <B+ < ,则 <sin(B+ )≤1,即 b+c 的取值范围是 3 2 3 3 3 3

? 2 3, 4

?

?

19.【答案】 (1)在 Rt ?PAC和Rt ?PBC 中 AC ? PC 2 ? PA2 , BC ? PC 2 ? PB2

? PA ? PB,? AC ? BC

取 AB 中点 M ,连结 PM , CM ,则 AB ? PM , AB ? MC ? AB ? 平面 PMC ,而 PC ? 平面 PMC ? AB ? PC (2)在平面 PAC 内作 AD ? PC ,垂足为 D ,连结 BD ∵平面 PAC ? 平面 PBC ,? AD ? 平 面 PBC ,又 BD ? 平面 PBC ?AD ? BD ,又 Rt ?PAC ? RtPBC

? AD ? BD,??ABD 为等腰直角三角形设 AB ? PA ? PB ? a ,则 AD ?
在 Rt ?PAC 中:由 PA ? AC ? PC ? AD 得 a ? 4 ? a 2 ? 2 ?

2 a 2

2 a ,解得 a ? 2 2

? S ?ABD ?

1 1 1 1 1 1 2 2 1 . AD ? BD ? ( a) ? ? VP ? ABC ? S ?ABD ? PC ? ? ? 2 ? 3 3 2 3 2 2 2 2

20 (2)由题设 x ? 3 , y ? 1.6 , n( x)2 ? 45 , nx y ? 24 ,
5

? xi yi ? 29.8 , ? xi2 ? 55
i ?1 i ?1

5

5

?? 故b

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 5 i i 2 i

?

? n( x ) 2

29.8 ? 24 ? ? 1.6 ? 0.58 ? 3 ? ?0.14 ? ? y ? bx ? 0.58 a 55 ? 45

?x ? a ? ? 0.58 ?12 ? 0.14 ? 6.82 ? ?b ? ? 0.58x ? 0.14 (3)当 x ? 12 时, y 故回归直线方程为 y

?饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重约为 6.82 千克.
21.【答案】 (1) 2 ? 2 列联表: 则K ?
2

n(ad ? bc)2 120? (10 ? 70 ? 10 ? 30)2 ? ? 3 ? 2.706 (a ? b)(a ? c)(c ? d )(d ? b) 20 ? 40 ? 80 ?100

所以有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关. -----------6 分 (2)设事件 A 为 3 名幸运选手中至少有一人在 20~30 岁之间,由已知得 20~30 岁之间的人 数为 2 人,30~40 岁之间的人数为 4 人,从 6 人中取 3 人的结果有 20 种,事件 A 的结果有

? 16 种,则 P(A)

16 4 ? 20 5

1 an ? 3 1 ? a n ?1 2 an 2 1 1 ? ? 3 ,所以数列 { ? } 是等比数列, 22. ( 1 )证明:由已知得 1 1 1 1 an 2 ? ? an 2 an 2 1 ?
an ? 2 3 ?1
n

( 2 ) bn ?

n 2
n ?1

, 又 错 位 相 减 得 Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1

代入得

( ?1) n ? ? 4 ?

2 2
n ?1

,易证 4 ?

2 2 n ?1

为单调递增

当 n 是偶数时 ? ? 4 ? 1 ? 3 当 n 是奇数时 ? ? ? 4 ? 2 ? 2, ? ? ?2 所以 ? 2 ? ? ? 3



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