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8[1].2.3椭圆的几何性质


椭圆第一定义: 椭圆第一定义:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) + =
| MF |= e .d | MF | 椭圆第二定义: 椭圆第二定义 = e (0 < e < 1) d | MF | a2 d= 相对于焦点F 相对于焦点 2(c,0)的准线是 x = 的准线是 e c 2 y M a ? 相对于焦点F ? 相对于焦点 1(?c,0)的准线是 x = ? 的准线是 2 c O a ? F F 相对于焦点F(0,c)的准线是 y = 相对于焦点 的准线是 c 2
1 2

x

a 相对于焦点F(0,-c)的准线是 y = ? 相对于焦点 的准线是 c 2 2a 两准线间的距离: 两准线间的距离: c
a2 中心到准线的距离: 中心到准线的距离: c

y

F1 O F2

? ?M
x

1.求中心在坐标原点 其焦点是 求中心在坐标原点,其焦点是 求中心在坐标原点 其焦点是(2,0),相应准线是 x=4 相应准线是 的椭圆的标准方程. 的椭圆的标准方程

2 2.求焦点是 求焦点是(2,0),相应准线是 相应准线是x=4,离心率是 离心率是e= 的椭圆 求焦点是 相应准线是 离心率是 3
的方程. 的方程

x y + = 1 8 4

2

2

定义法

( x ? 2) + y 2 2 2 = 5 x ? 4 x + 9 y = 28 |4? x| 3
2 2

3.两对称轴都与坐标轴 重合,离心率为0 .8 , 焦点与 两对称轴都与坐标轴 重合, 9 相应准线的距离 等于 的椭圆的方程 4

x y x y + = 1或 + =1 25 9 9 25

2

2

2

2

x2 y2 4.已知A(1,2)在C : + = 1上F是( 2,0),在C上 16 12 求一点 P使 | PA | +2 | PF | 最小.

7

分析: 分析:设 P ( x0 , y0 )则
| PF | c 1 = = ∴ 2 | PF |= PQ PQ a 2

y P A O F

P M

Q

x

= ∴| PA | +2 | PF |= | PA| + PQ
4 6 x y 故当 A 5.F是, P , Q三点共线时 , 所求距离最小 P ( ,3 , 2 ) + =1 , 的右焦点 P是其上一点定点 25 9 利用圆锥曲线的定义: 折线段和的问题化归为 的问题化归 利用圆锥曲线的定义:将折线段和的问题化归为 5 B(2,1).则| PB | + | PF | 的最小值= _________。 平面上直线段最短来解决. 直线段最短来解决 平面上直线段最短来解决. 4
2 2

x y 5.F是 + =1 , , 的右焦点 P是其上一点定点 25 9 17 5 B(2,1).则| PB | + | PF | 的最小值= _________。 4 4

2

2

| PB | + | PQ |

y P B O F

求此时点P的坐标。 求此时点 的坐标。 的坐标
P M
Q x

10 2 P( 1) , 3

x2 y 2 6.已知点 F(4,0), B(2,2) 是椭圆 + = 1内的点, 内的点, 25 9 M 是椭圆上的动点 , 的最值。 求 MF + MB 的最值。
M

F1

?

?

B

?
F

x2 y2 例6.已知定点 A(?2, 3) ,点F为椭圆 已知定点 ? 的右焦点, 为椭圆 + = 1的右焦点, 16 12 在该椭圆上移动时, 的最小值, 点M在该椭圆上移动时,求|MA|+2|FM|的最小值,并求出此时 在该椭圆上移动时 的最小值
点M的坐标 的坐标 1 解: a = 4, b = 2 3, c = 2 ∴e = Q 2 右焦点F(2,0),右准线 右焦点 ,右准线l:x=8 M到右准线 的距离为d,则 到右准线l的距离为 设M到右准线l的距离为d,则 | FM | = 2 = 1 d 2 ∴2|MF|=d ∴|MA|+2|FM|=|MA|+d 由于点A在椭圆内, 为垂足, 由于点 在椭圆内,过A作AK⊥l,K为垂足,易证 在椭圆内 作 ⊥ , 为垂足 易证|AK|为|MA|+d 为 的最小值,其值为 的最小值,其值为8+2=10 ∵M点的纵坐标为 3 ∴横坐标为 2 3 点的纵坐标为 的最小值为10,此时点M的坐标 ∴|MA|+2|FM|的最小值为 ,此时点 的坐标 (2 3, 3) 的最小值为
y M A O F1 d x l


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