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山东省青岛市2012届高三第二次模拟考试数学(文)试题



优化方案教考资源网 高三自评试题

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数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试 卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.

第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶 带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式为: V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1.已知集合 M ? ?m, ?3? , N ? x 2 x ? 7 x ? 3 ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 m 等于

?

?

A. ?1

B. ?2

C. ?2 或 ?1

D. ?

3 2

2.设复数 z ? 1 ? A. 2i

2 2 (其中 i 为虚数单位),则 z ? 3z 的虚部为 i
C. ?10
2 2

B. 0

D. 2

3.设 x, y ? R ,则“ x ? y ? 9 ” 是“ x ? 3 且 y ? 3 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.已知函数 f ( x) ? ? A. 5 B. 3 B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

?log 2 x , x ? 0 ?3 ? 1, x ? 0
?x

1 的值是 ,则 f ( f (1)) ? f log 3 2
D.

?

?

C. ?1

7 2

5.设 m , n 是两条不同的直线,

? , ? ,?

是三个不同的平面.有下列四个命题:

①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ;

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1

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③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中错误命题的序号是 .. A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③

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a ? 1, b ? 1

a ? ①?

b ? 2b ? 1



6.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31 , 则图中判断框内①处应填 A. 3 B. 4
2

a ? a ?1

输出 b 结束

C. 5

D. 6

7.函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该数 列的公比的数是 A.

3 4

B. 2

C. 3

D. 5

8.以下正确命题的个数为 ① 命 题 “ 存 在 x ? R , x2 ? x ? 2 ? 0 ” 的 否 定 是 : “ 不 存 在 x ? R , x2 ? x ? 2 ? 0 ” ; ② 函 数

1 1 1 f ( x) ? x ? ( ) x 的零点在区间 ( , ) 内; ③ 函数 f ( x) ? e? x ? ex 的图象的切线的斜率的最大值是 ?2 ; 3 2 2
④线性回归直线 ? ? bx ? a 恒过样本中心 x, y ,且至少过一个样本点. y ? ? A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 甲 乙

1 3

? ?

9.下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛 得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数 A. 68 B. 70 C. 69 D. 71

1 ? π 10.已知函数 f ( x) ? cos x ? x, x ? [? , ] , 2 2 2 1 ? π sin x0 ? , x0 ? [? , ] .那么下面命题中真命题的序号是 2 2 2
① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [? A.①③

6 4 5 4 8 7 9 3 2

1 2

7
4 2 2 8 5 1 1 5
之和是

3
4

② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数 C.②③ D.②④

?
2

, x0 ] 上是增函数
B.①④

π 2

11.一个 几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则 这个几何体的 A.外接球的半径为

3

3 3

B.表面积为 7 ? 3 ? 1

1

1
正视图

1
侧视图

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俯视图

2

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C.体积为 3 D.外接球的表面积为 4?

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12.过双曲线

x2 y2 a2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? 的切线,切点为 E , 4 a2 b

延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OF ? OP ? 2OE ,则双曲线的离心率为

??? ??? ? ?

??? ?

A. 2

B.

10 5

C.

10 2

D. 10

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 tan ? ? 2, 则sin ? cos ? ? .

共 90 分)

14.已知直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则正实 数 a 的值为 .

??? ??? ? ?

15. 设等轴双曲线 y 2 ? x 2 ? 1的两条渐近线与直线 x ? 2 围成的三角形区域 (包含边界) M ,P ( x, y ) 为 为

M 内的一个动点,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为

.

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题: ①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ?0, 2? 上是减函数; ③如果当 x ???1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、 1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

x

-1 1

0 2

4 2

5 1

f ? x?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n .

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3

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(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [0,

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3? ] 上的单调递增区间; 2

B C A (Ⅱ) ?ABC 中, , , 分别是角 A , , 的对边, 为锐角, f ( A) ? sin( 2 A ? 在 若 a b c

?
6

b ) ? 1, ? c ? 7 ,

?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.

18. (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆), 若按 A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,则 A 类轿车有 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这 8 辆轿车的得分看 作一个总体,从中任取一个分数 a .记这 8 辆轿车的 得分的平均数为 x ,定义事件 E ? { a ? x ? 0.5 ,
2

轿车 A 舒适型 标准型 100 300

轿车 B 150 450

轿车 C z 600

且函数 f ? x ? ? ax ? ax ? 2.31 没有零点},求事件 E 发生的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABC ? A B1C1 中,四边形 ABB1 A 是正方形, AC ? AB ? 1 , AC ? A1B , B1C1 // BC , 1 1 1

B1C1 ?

1 BC . 2

A1 C1

B1

(Ⅰ)求证:面 A1 AC ? 面 ABC ; (Ⅱ)求证: AB1 // 面 AC1C . 1

A

B

C

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20. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x x ? ?2n ? 1, n ? N

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?

?

? , B ? ?x x ? ?6n ? 3, n ? N ? ,设 S
?

n

是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,

若 ?an ? 的任一项 an ? A ? B ,且首项 a1 是 A ? B 中的最大数, ?750 ? S10 ? ?300 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? (

2 an ?13n?9 , ) 2

求 a1b2 ? b2 a3 ? a3b4 ? b4a5 ? ? ? a2 n?1b2 n ? b2 na2 n?1 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? a,b? R ? . 3

(Ⅰ) 若曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2 ? , 曲线 C 在点 P 处的切线与直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 垂直, a,b 的 求 值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试求函数 g ? x ? ? m ? 1 ? f ? x ? ? x ? ( m 为实常数, m ? ?1 )的极大值与 3
2

?

?? ?

7 ? ?

极小值之差; (Ⅲ)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个不同的极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2 .

22. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

x2 y2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆 D 于 2 3 a b

A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连结椭圆 D 的四个顶点得到的菱形面积为 4 .
(Ⅰ)求椭圆 D 的方程; (Ⅱ)过椭圆 D 的左顶点 P 作直线 l1 交椭圆 D 于另一点 Q . (ⅰ)若点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线上的 一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值;

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(ⅱ)过 P 作垂直于 l1 的直线 l2 交椭圆 D 于另一点 G , 直线 l1 的斜率变化时,直线 GQ 是否过 x 轴上的 当 一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.

高三自评试题

数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. C D B A A B D D C A B C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.

2 5

14. 2

15. 6

16. ①②⑤

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

?

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6

???????????????????????????3 分

令 2 k? ?

?

2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

解得: k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ,k ?Z 3

3? ,k ?Z 2

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? 2? 7? 3? ? 3? ? ?x? ,或 ? x ? ?0, ? ,? ? x ? 6 3 6 2 ? 2 ?
所以函数 f ( x ) 在 [0,

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3? ? 2? ? 7? 3? ? ] 上的单调递增区间为 [ , ] , ? , ? ???????6 分 2 6 3 ? 6 2 ?

(Ⅱ)由 f ( A) ? sin( 2 A ? 化简得: cos 2 A ? ? 又因为 0 ? A ?

?
6

) ? 1 得:

1 ? ? ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 1 2 6 6

?
2

1 2

,解得: A ?

?
3

??????????????????????9 分

由题意知: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2

又 b ? c ? 7 ,所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5 . ??????????????????????????12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得:

50 10 ? ,所以 n ? 2000 . n 100 ? 300
????????????4 分

z =2000-100-300-150-450-600=400
(Ⅱ) 8 辆轿车的得分的平均数为 x ?

1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 8
????????????????6 分

把 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数 a 对应的基本事件的总数为 8 个, 由 a ? x ? 0.5 ,且函数 f ? x ? ? ax ? ax ? 2.31 没有零点
2

? a ? 9 ? 0.5 ?? ? 8.5 ? a ? 9.24 ??????????????????10 分 2 ?? ? a ? 9.24a ? 0
? E 发生当且仅当 a 的值为:8.6, 9.2, 8.7, 9.0 共 4 个,
? p?E? ? 4 1 ? 8 2
??????????????????????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)? 四边形 ABB1 A 为正方形, ? A A ? AB ? AC ? 1 , A A ? AB 1 1 1

? A1B ? 2 ? AC ? A1B 1 ? AC ? 2 1 ? ?A1 AC ? 90?

?????????????2 分

? A1 A ? AC

????????????4 分

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? AB ? AC ? A ,? A1 A ? 面 ABC
又? A1 A ? 面 A AC ,? 面 A1 AC ? 面 ABC 1 (Ⅱ)取 BC 的中点 E ,连结 AE , C1E , B1E

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????????????6 分

? B1C1 // BC , B1C1 ?

1 BC ,? B1C1 // EC, B1C1 ? EC 2

? 四边形 CEB1C1 为平行四边形 ? B1E // C1C ? C1C ? 面 AC1C , B1E ? 面 AC1C 1 1 ? B1E // 面 AC1C ????????8 分 1
1 ? B1C1 // BC , B1C1 ? BC , 2

A1 C1

B1

A E

B

C

? B1C1 // BE, B1C1 ? BE
? 四边形 BB1C1E 为平行四边形? B1B // C1E ,且 B1B ? C1E
又? ABB1 A 是正方形,? A A // C1E ,且 A A ? C1E 1 1 1

? AEC1 A1 为平行四边形,? AE // AC1 ,? A1C1 ? 面 AC1C , AE ? 面 AC1C 1 1 1 ? AE // 面 AC1C 1
????????????????? ??????????10 分

? AE ? B1E ? E ,? 面 B1 AE // 面 AC1C 1 ? AB1 ? 面 B1 AE ,? AB1 // 面 AC1C ??????????????????12 分 1
20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设知: 集合 A 中所有元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 2 为公差的递减等差数列;集合 B 中所 有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列.
? 由此可得,对任意的 n ? N ,有 A ? B ? B

A ? B 中的最大数为 ?3 ,即 a1 ? ?3

???????????????????3 分

设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 an ? ?3 ? (n ? 1)d , S10 ?

10(a1 ? a10 ) ? 45d ? 30 2

因为 ?750 ? S10 ? ?300 , ? ?750 ? 45d ? 30 ? ?300 ,即 ? 16 ? d ? ?6 由于 B 中所有的元素可以组成以 ? 3 为首项, ? 6 为公差的递减等差数列, 所以 d ? ?6m(m ? Z , m ? 0) ,由 ?16 ? ?6m ? ?6 ? m ? 2 ,所以 d ? ?12

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所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 9 ? 12n ( n ? N ? ) ?????????????8 分 (Ⅱ) bn ? (

2 an ?13n ?9 2 ) ? ( ) n ??????????????????????9 分 2 2

于是有 a1b2 ? b2 a3 ? a3b4 ? b4a5 ? ? ? a2 n?1b2 n ? b2 na2 n?1

? b2 (a1 ? a3 ) ? b4 (a3 ? a5 ) ? b6 (a5 ? a7 ) ? ?? b2n (a2n?1 ? a2n?1 )
1 1 [1 ? ( )n ] 2 ? 24(1 ? 1 ) ??????????12 分 ? 24(b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2 n ) ? 24 ? 2 1 2n 1? 2
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ? f ? ? x ? ? x ? 2ax ? b ,
2

? 直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 的斜率为 ?

1 ,? 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 , 2

? f ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 2 ??①
? 曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2? ,
1 ? f ?1? ? ? a ? b ? 2 ??② 3

2 ? ?a ? ?3, ? 由①②得: ? ?b ? 7. ? 3 ?

??????????????????????????3 分

(Ⅱ) (Ⅰ) 由 知:f ? x ? ?

4? 1 3 2 2 7 ? m2 ? 1 3 2 ? ? x ? x ? x , g ? x? ? x ? 2x2 , g? ? x ? ? m ?1 x ? x ? ? , 3? 3 3 3 ? 3

?

?

?

?

由 g? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,或 x ?

4 . 3

当 m2 ? 1 ? 0 ,即 m ? 1, 或 m ? ?1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x
g? ? x ? g ? x?
由表可知:

? ??,0?
+

0
0 极大值

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

-

0 极小值

+

?4? ? 32 ? 32 g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? 0 ? ? g ? ? ? 0 ? ? ? ? m2 ? 1? ? ? ? m2 ? 1? ?????5 分 ?3? ? 81 ? 81

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当 m2 ? 1 ? 0, 即 ?1 ? m ? 1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

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x
g? ? x ? g ? x?
由表可知:

? ??,0?
-

0
0 极小值

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? 3 ? ?

+

0 极大值

-

32 32 ?4? g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? ? ? g ? 0 ? ? ? ? m 2 ? 1? ? 0 ? ? ? m 2 ? 1? ??????7 分 81 81 ?3?
综上可知:当 m ? 1, 或 m ? ?1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? 当 ?1 ? m ? 1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? ?

32 2 ? m ? 1? ; 81

32 2 ? m ? 1? ??????????????8 分 81

(Ⅲ)因为 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个极值点 ,所以 f ?( x) ? 0 , 即 x 2 ? 2ax ? b ? 0 在 (1, 2) 内有两个不等的实根.

? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0, ? f ?(2) ? 4 ? 4a ? b ? 0, ? ∴? ?1 ? ?a ? 2, ?? ? 4(a 2 ? b) ? 0. ?

(1) (2) (3) (4)
??????????????????????10 分

由 (1)+(3)得: a ? b ? 0 ,?????????????????????11 分 由(4)得: a ? b ? a 2 ? a ,由(3)得: ?2 ? a ? ?1 ,

1 1 ? a 2 ? a ? (a ? ) 2 ? ? 2 ,∴ a ? b ? 2 . 2 4
故0 ? a ?b ? 2 ????????????????????????????12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) ,其中 c ? 0 由题意得 AB 的方程为: y ? 3( x ? c)

因 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,所以有

? 3c ? 3c 3 ?1

? 3 ,解得 c ? 3 ???????1 分

2 2 2 所以有 a ? b ? c ? 3 ????????①

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由题意知:

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1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ??② 2

联立①②解得: a ? 2, b ? 1

所求椭圆 D 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

????????????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: P(?2,0) , 设 Q( x1 , y1 ) 根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ?

16k 2 2 ? 8k 2 4k ,则 x1 ? , y1 ? k ( x1 ? 2) ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? 2 ? 8k 2 4k ? 8k 2 2k ,线段 PQ 的中点坐标为 ( ? ?Q ? , , ) ??????6 分 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
(ⅰ)当 k ? 0 时, 则有 Q(2,0) ,线段 PQ 垂直平分线为 y 轴 于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? (2,?t ) 由 NP ? NQ ? ?4 ? t 2 ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ?????????????????8 分

当 k ? 0 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y ? 因为点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线的一点, 令 x ? 0 ,得: t ? ?

8k 2 2k 1 ) ? ? (x ? 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

6k ,于是 NP ? (?2,?t ), NQ ? ( x1, y1 ? t ) 1 ? 4k 2

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) 14 由 NP ? NQ ? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ? ? 4 ,解得: k ? ? 2 2 7 (1 ? 4k )
代入 t ? ?

2 14 6k ,解得: t ? ? 2 1 ? 4k 5 2 14 5
?????????10 分

综上, 满足条件的实数 t 的值为 t ? ?2 2 或 t ? ?

(ⅱ)设 G ? x2 , y2 ? ,由题意知 l1 的斜率 k ? 0 ,直线 l2 的斜率为 ?

1 1 ,则 l2 : y ? ? ( x ? 2) k k

1 ? ? y ? ? k ( x ? 2), 由? 2 x ? ? y 2 ? 1, ? 4

化简得: (k ? 4) x ? 16 x ? 16 ? 4k ? 0 .
2 2 2

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2k 2 ? 8 4k ∵此方程有一根为 ?2 , 得 x2 ? 2 .??????????12 分 ? y2 ? ? 2 k ?4 k ?4

4k 4k ? 2 ? 2 ? 2 ? 8k 2 4k ? 5k , 则 kGQ ? k2 ? 4 1 ? 4k 2 ? ? ?Q ? , 2 2 ? 2k ? 8 2 ? 8k 4(k 2 ? 1) ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? k 2 ? 4 1 ? 4k 2
所以 GQ 的直线方程为 y ? 令 y ? 0 ,则 x ?

4k 5k 2 ? 8k 2 ?? (x ? ) 1 ? 4k 2 4(k 2 ? 1) 1 ? 4k 2

16k (k 2 ? 1) 2 ? 8k 2 6 ? ?? 。 2 2 5k (1 ? 4k ) 1 ? 4k 5 6 所以直线 GQ 过 x 轴上的一定点 (? , 0) ???????????????????14 分 5

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