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专题一第4讲不等式(教师版)



专题一
一、不等式的概念、性质及解法 1、含参数不等式的解法 例 1:已知:函数 f(x)= ?

第四讲

不等式

?a ? x , x ? 0 f ( x) (a>0).解不等式: <1. x?2 ?a , x ? 0

a?2 x? a?x 2 >0,不等式恒成立,即 x≤0; 解:(1)当 x≤0 时,即解 <1,即 x?2 x?2 a x ? (a ? 2) (2) x>0 时, 当 即解 <1, 即 >0,因为 a+2>2,所以 0<x<2 或 x>a+2. x?2 x?2
由(1)(2)得,原不等式解集为(-∞,2)∪(a+2,+∞) 2、含绝对值不等式的解法

2a 2 ?a ? 0? 例 2:解关于 x 的不等式: x x ? a ? 9
分析: 本例主要复习含绝对值不等式的解法, 分类讨论的思想.本题的关键不是对参数 a 进行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式 组的解集求并集,得出原不等式的解集. 解:当 x ? a时,不等式可转化为?

?x ? a

?x ? a 即? 2 2 2 ?9 x? x ? a ? ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0

?a ? x ?

3 ? 17 a b

?x ? a ?x ? a 当x ? a时不等式可化为? 即? 2 2 2 ?ax(a ? x) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0 a 2a ?x ? 或 ?x?a 3 3 ? 2a 3 ? 17 ? a 故不等式的解集为(??, ? ? ? , a? . 3 3 6 ? ?
二、线性规划

?x ? 1 ? 例 3:设不等式组 ? x - 2 y ? 3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域 ?2 与 ?1 关于直线 ?y ? x ?

3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, AB 的最小值为
1

____________.

例 4:已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? (2 ? b) x ? 1 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处 3

取得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,若设 z ? a ? 2b ,求实数 z 的取值范围. 解析: f ( x) ? ax ? 2bx ? 2 ? b ,又 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值
/ 2

故在 ( x1 , x2 ) 有 f ( x) ? 0 ,在 (??, x1 ) ? ( x2 , ??) 上有 f ( x) ? 0
/

/

? a ? 0, 方程 f / ( x) ? 0 即 ax 2 ? 2bx ? 2 ? b ? 0 的两根 x1 , x2 分布在 (0,1),(1, 2) 内

? f / (0) ? 2 ? b ? 0 b?2 ? ? ? / ? ? f (1) ? a ? 3b ? 2 ? 0 ? ? a ? 3b ? 2 ? 0 ? f / (2) ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ? ? 4 6 又 z ? a ? 2b ,由线性规划知识易知,当过两点 ( , ), (4, 2) 时 z 取得最大和最小值,? z 7 7 16 的范围为 ( ,8) . 7
三、基本不等式

2

例 5: (1)已知 a, b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,求证: 指出等号成立的条件; (2)利用(1)的结论求函数 f ( x) ? 值时 x 的值.

a 2 b 2 ( a ? b) 2 , ? ? x y x? y

2 9 1 ( x ? (0, ) )的最小值,指出取最小 ? x 1? 2x 2

a 2 b2 x y x 2 2 2 y ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 a 2 b 2 ? ( a ? b) 2 , 解:⑴ ( ? )( x ? y ) ? a ? b ? a x y x y x y


a 2 b 2 ( a ? b) 2 x a b 2 y ? ? .当且仅当 a ? b 2 ,即 ? 时上式取等号; x y x? y x y x y
⑵由⑴ f ( x) ?

22 32 (2 ? 3) 2 ? ? ? 25 . 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x)

当且仅当

2 3 1 ,即 x ? 时上式取最小值,即 [ f ( x)]min ? 25 . ? 2x 1? 2x 5

四、不等式恒成立问题 1、双变量的恒成立问题

2 ? 2 ? , 例 6 : 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? a x ? 2 b x 3 对 任 意 x ? R, b ? 0 , ? , 不 等 式

f ( x) ? x ? b 恒成立,求实数 a 的取值范围. 9 答案: a ? 4
2、用图形解题
1 1 例 7:若 | x ? a | ? ≥ 对一切 x>0 恒成立,则 a 的取值范围是 x 2 答案: (??, 2]



3

专题一
一、填空题:

第四讲

不等式

班级_________________姓名____________________

1.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是___________. 1 1 2.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为 x y 3.若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的是 ① ab ? 1;② a ? b ?
2

. .

1 1 2 ;③ a 2 ? b2 ? 2 ; ④ a3 ? b3 ? 3 ;⑤ ? ? 2 a b

4.设不等式 x -2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M ?[1,4] ,则实数 a 的取值范围是_____. 5.若不等式 9 ? x ? k ( x ? 2) ? 2 的解集为区间 ? a, b ? ,且 b ? a ? 2 ,则 k=_________.
2

6.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是_______. 7. 实系数方程 x2+ax+2b=0 的两根为 x1、 2, x 0<x1<1<x2<2,则

b?2 的取值范围是_______. a ?1

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 8.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?


2 3 ? 的最小值为___________. a b
?x ? 2 y ? 0 2 2 ,所确定的平面区域,则圆 x ? y ? 4 在区域 D 内的 x ? 3y ? 0 ?

9.已知 D 是由不等式组 ?

弧长为_____________. 10.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是_______________. 11. 若关于 x 的不等式 | x ? a |? 2 ? x 至少有一个负数解, 则实数 a 的取值范围是________.
2

1 12.若不等式 x2-logax<0 在?0,2?内恒成立,则实数 a 的取值范围是 ? ?

.

13.若不等式[(1-a)n-a]lga<0 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______. 14.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且方程 f ( x) ? x 无实数根,下列命题:
2

①方程 f [ f ( x)] ? x 也一定没有实数根;

4

②若 a ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立; ③若 a ? 0 ,则必存在实数 x0 ,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ; ④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立. 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确的命题的所有序号都填上)

二、解答题: 15.设 f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R),如果当 x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围.

2 16.设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b( x ? R) ,其中 a,b?R .若对于任意的 a ? ? ?2,? ,
4 3 2

, 不等式 f ( x) ? 1在 ? ?11? 上恒成立,求实数 b 的取值范围.

5

17.设函数 f(x)=|x-a|-ax,其中 a>0. (1)解不等式 f(x)<0; (2)当 0<a≤1 时,求函数 f(x)的最小值.

18.设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a,b∈[-1,1],当 a+b≠0 时,都有
6

f?a?+f?b? >0. a+b (1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; 1 1 (2)解不等式:f(x- )<f(x- ); 2 4 (3)证明:若-1≤c≤2,则函数 g(x)=f(x-c)和 h(x)=f(x-c2)存在公共定义域,并求出 这个公共定义域.

7

专题一
1.4 7. ( 2.1 8. 3.①③⑤

第四讲

不等式答案
4. ( ?1,

1 ,1) 4 1 12.?16,1? ? ?

25 6 1 2

9.

? 2

18 ] 7

5. 2 11. ( ?

6.3

10. (-2,2] 14.①②④

9 , 2) 4

13. (0, ) ? (1, ??)

15.x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立.

? x ? 1 ? 0, ? ∴x∈[0,1]时, ?2 x ? t ? 0, 恒成立; ? 2 ? x ? 1 ? (2 x ? t )
即 x∈[0,1]时,t≥-2x+ x ? 1 恒成立. 于是转化求-2x+ x ? 1 在 x∈[0,1]的最大值问题. 令 M= x ? 1 ,则 x=M2-1,由 x∈[0,1],知 M∈[1, ∴-2x+ x ? 1 =-2(M2-1)+M=-2(M-

2 ],

1 2 17 )+ . 4 8

∴当 M=1,即 x=0 时,-2x+ x ? 1 有最大值为 1. ∴t 的取值范围是{t|t≥1}. 16. b ? ?4
? ??1-a?x<a, 17.(1)由 f(x)<0,得|x-a|<ax,∵a>0,∴x>0,∴? ??1+a?x>a. ?

?x> a , ①当 a>1 时,有? 1-a a ?x>1+a,
x>0,



a a a < ,∴x> . 1-a 1+a 1+a

1 ②当 a=1 时,解不等式组得 x> . 2

8

?x< a , ③当 0<a<1 时,有? 1-a a ?x>1+a,
x>0,



a a a a > ,∴ <x< . 1-a 1+a 1+a 1-a

a 综上所述,当 a≥1 时,不等式的解集为?1+a,+∞?;

?

?

a a 当 0<a<1 时,不等式的解集为?1+a,1-a?. ? ?
? ??1-a?x-a?x≥a?, (2)∵f(x)=|x-a|-ax=? ? ?-?1+a?x+a?x<a?,

∴当 0<a<1 时,函数 f(x)在[a,+∞)上为增函数,在(-∞,a)上为减函数;
?-1?x≥1?, ? 当 x=a 时,函数 f(x)的最小值为 f(a)=-a2;当 a=1 时,f(x)=? ?-2x+1?x<1?, ?

∴f(x)的最小值为-1.综上所述,x=a 时,f(x)有最小值为-a2. 18.(1)解:任取 x1,x2∈[-1,1],当 x1<x2 时,由奇函数的定义和题设不等式,得 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= f?x1?+f?-x2? (x -x )<0. x1+?-x2? 1 2

∴f(x)是增函数,a,b∈[-1,1],且 a>b.∴f(a)>f(b). (2)解:∵f( x)是[-1,1]上的增函数,

1 1 ∴f(x- )<f(x- )? 2 4

? ? 1 ?-1≤x-4≤1? ?x-1<x-1 ? 2 4
1 -1≤x- ≤1 2

1 5 - ≤x≤ . 2 4

1 5 ∴该不等式的解集为{x|- ≤x≤ }. 2 4 (3)证明:设函数 g(x)与 h(x)的定义域分别为 P 和 Q,则 P=[c-1,c+1],Q=[c2-1,c2+ 1]. ∵-1≤c≤2, ∴(c2-1)-(c+1)=(c-2)(c+1)≤0,即 c2-1≤c+1. 又 c2+1>c-1,

9

∴g(x)定义域与 h(x)定义域交集非空. 当-1≤c<0,或 1<c≤2 时,c(c-1)>0,这时公共定义域为[c2-1,c+1], 当 0≤c≤1 时,c(c-1)≤0,这时公共定义域为[c-1,c2+1].

10



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