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函数单调性教案



龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目
数学

学校 教师
郭玲华

年级 日期

高一
2016-7-9

次数 时段



1 次

课题 函数的单调性
教学 重点 教学 难点 教学

目标
(1)函数单调性的判断 (2)函数单调性的应用

(1)函数单调性的判断方法

(1)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函
数单调性的方法. 能应用函数的单调性解决一些问题。

一,课前热身:
教 学 步 骤 及 教 学 内 容
单调性的判断方法:定义法,图像法,复合函数分析法,运算法

二,内容讲解
单调性的判定方法 (一)定义法: 步骤:取值,做差,变形,定号,结论 变形的几种方法: 因式分解或配方(整式)

- 2?上是减函数。 【例】1,用定义证明函数 f ( x) ? x ? 4x ? 3在?- ?,
2 2 ? ? 2 用配方法将 f ( x) ? x ? 6x ? 3 写成 f(x)= a x ? h ? k 的形式,并写出其单调区间和最值。

2

通分运算(分式)

2 f ( x) ? ? ? 3 x 【例】证明 在( - ? ,0)内递增。
分子(或分母有理化)(根式)

? , ? ?? 上递增。 【例】求证:函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? 3在 -1
奇偶转换

0? 上 (- ?, 0) ? (0, ? ?) 【例】设 f(x)是 上的奇函数,且在(0, ? ? )上递减,判断 f(x)在 ?- ?,
的单调性,并用定义证明之。

1

(二),图像法:
【例】若函数 f(x)= ax ? x 在(0,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围为_____;
2

(三),复合函数分析法:同增异减

【 例 】 1 , 设 y=f(x) 是 R 上 的 减 函 数 , 则

y ? f ( x ?3)

的 单 调 递 减 区 间

为 . 2,已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x) () 在区间(-1,0)上是减函数 在区间(0,1)上是减函数 在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数 (四),运算法 利用已知函数的单调性判别和差型函数的单调性。这种方法的根据有如下四种: ⑴增+增=增⑵增-减=增 ⑶减+减=减⑷减-增=减 【例】:已知 f(x) , g(x)定义在同一区间上,f(x)是增函数,g(x)是减函数,且 g(x)≠0,则 () A. f(x) + g(x) 为减函数 B. f(x) - g(x)为增函数 C.f(x)〃g(x)是减函数

D.

f ( x) g ( x ) 是增函数
最小值为

【变】:已知 x∈[0,1],则函数 y= 2x ? 2 ? 1 ? x 的最大值为, 函数单调性的应用 (一),比较函数大小

? ?? 上为减函数,且满足 y=f(x+8)为偶函数,则() 【例】已知定义域为 R 的函数 f(x)在 ?8,

2

A, f (6) ? f (7) B, f (6) ? f (9) C , f (7) ? f (9) D, f (7) ? f (10)
(二),利用函数单调性求连续函数的值域(最值) 【例】求下列函数的值域
1, x ? 6 x ? 3
2



x∈[-1,2]

2,y=-x-6+

1- x

【变】:1,函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则 f(1)的取值范围是 (三),利用函数单调性求单调区间

f ( x) ? x ?
【例】求函数

a2 x (a>0)的单调区间.

【注】 : (1) 求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域, 即遵循 “函数问题定义域优先的原则” 。 (2)单调区间必须用区间来表示,不能用集合或不等式,在多个单调区间之间不能用“或”和“ ? ?”连接,只能用逗号隔开。

(四),根据单调性确定参数
【例】函数 f ( x) ? (k ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,求 k 的取值集合。
2

. 分析:首先需要对前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究 . 【变】:1,函数 f(x)= ax ? (3a ?1) x ? a 在[-1,+∞]上是增函数,则实数 a 的取值范围
2 2

是________.

f ( x) ?
2 ,已知函数

3 ? ax a ? 1 ,(a ≠ 1) ,若 f(x) 在区间 (0 ,1] 上是减函数 , 则实数 a 的取值范围

________. (五),利用函数的单调性解不等式 【例】已知函数 f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件: (1)f(x)=- f(-x); (2)f(x)在定义域上单调递增; (3)f (1-a)=- f(1-a2)<0 求 a 的取值范围。 【变】:设定义在[-2, 2]上的偶函数()fx 在区间[0, 2]上单调递减,若(1) f ?1? m? ? f (m) ?, 求实数 m 的取值范围。 【综】1,已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值 范围. 2,已知函数 f(x)的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1,x 2 都有

3

f( x1 x2 )=f( x1 )+f( x 2 ),且当 x>1 时,f(x)>0,f(2)=1; 求证 f(x)是偶函数; f(x)在(0, ? ? )是增函数; 解不等式 f (2 x ? 1) <2
2

3,已知函数

f ( x) ?

3 ? ax a ? 1 (a≠1).

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________.

三,课堂小结:
注意分类讨论,多个单调区间之间不能用“或”和“ ? ?”连接,不同判定单调性的方法可同时使 用

四,作业布置
1,已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5-t), 那么下列式子一定成立的是 ( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9) 2,已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 )

3,设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f

? x ? 3 ? 的单调递减区间为.
x ) = f(x)-f(y) y

4,f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

1 ) <2 . x

4

1、学生作业的完成情况: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 2、学生对上节课知识的复习情况: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 3、学生本节课的学习状态: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 4、学生对本节课知识在校学习情况: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 5、学生对本节课知识的掌握情况: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 6、学生本堂课的学习习惯和方法: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 备注:

○ 差 ○ 差 ○ 差 ○ 差 ○ 差 ○ 差

家长签字:

日期:







管理人员签字:

日期:







5

6



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