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《教师参考》北师大版(高中数学) 必修4 :3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 同课异构课件1



第三章 三角函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

学习目标
(1)应用第五组诱导公式推导两角和与差正 弦公式.在推导过程中,进一步掌握变量替换的 思想方法,渗透用已知解决未知问题的化归数 学思想. (2)初步掌握两角和与差的正弦公式,并能 应用于求值、化简以及三角恒等式的证明. (3)通过学习两角和与差的正弦公式的推导 和初步应用,体会知识之间的有机联系,激发

引入课题
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。 如下图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有
D

45 A观 ?CAD 67米,从 一点A,测得A,C两点间距离约为
测电视发射塔的视角( 解:设电视塔高CD= ? x CAB 米, ? 这座电视发射塔的高度。
x ? 30 ? Rt ? ABD 则 = tan( 45 在? ? ) ? 60

?

)约为
sin= ?
30 67

。求

x
?

中,
A

45 67

?

能否用 sin ? 把 表示出来呢 ?

tan( 45 ? ? )

?

C 3 B 0

引入课题
? ? 一般地说,对于任意角 , ? ?? ,能不能用 , 的三角函 ? ? 数值把 或者 的 ? ?? 三角函数值表示出来呢?

? 下面我们来研究如何用任意角
弦、余弦值来表示 sin ? ? ?

?

?

?



的正

的问题。

探究点1

公式推导

? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2
? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 2 2
? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2

? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 2 2

探究点1

公式推导

称 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ;? cos? ? cos? sin ?

为两角和与差的正弦公式,它们对任意角α 、
β 成立.

探究点2

强调特征

两角和与差的正弦公式在结构上的特征为 (1)公式左边是复角的余弦,右边是单角的

正余弦交叉相乘的和与差;
(2)左右两边的加减号相同.

典型例题
2 sin ? ? 例、已 3
3 cos ? , ?? 4

? ? ?判断
cos(? ?且 ?) ? 0

是第几象限角.
? ??

sin(? ? ? ) ? 0 解答:因为

,所以

是第

[说明]用三角比值的符号确定角所在的象限;体现 公式的作用.

典型例题
3 ? 已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 ? ? cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 4 4

3 解:由sin? =- ,? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有 ? ? ? 2 4 2 3 7 2 sin( ? ? ) ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ? (? ) ? ; 4 4 4 2 5 2 5 10

典型例题

? ? ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? 4 4 4
? 3 tan ? ? tan ? ?1 ? tan ? ? 1 4 ? 4 tan(? ? ) ? ? ? ?7 3 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? (? ) 4 4
2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

典型例题
解:此等式对于任意 角α成立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ?? ? 证法 sin ? 4 ? ? ? ? cos ? ? ? ? 4 ?2 4 ? 1
? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 证法 cos ? ?4 ? ? ? ? sin ? 4 ?2 4 ? 2 证法 sin ? ?4 ? ? ? ? sin ?4 cos ? ? cos ?4 sin ? 3 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? ? ? ?
4 4 4

证法 cos ? ?4 ? ? ? ? cos ?4 cos ? ? sin ?4 sin ? 4 ? sin ?4 cos ? ? cos ?4 sin ? ? sin ? ?4 ? ? ?

课堂练习
例:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) cos 20。cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15

课堂练习
解: ( 1)由公式得: sin 72。 cos 42。? cos 72。 sin 42。 1 。 。 。 ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ? ; 2

(2) cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70
。 。 。



? cos(20 ? 70 ) ? cos 90 ? 0
。 。 。

1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 (3) ? 。 1- tan15 1- tan 45。tan15。 。 。 。 ? tan(45 ? 15 ) ? tan 60 ? 3

课堂练习

? 1?

1 3 cos x ? sin x 2 2

=cosxcos600-sinxsin600 =cos(x+600)

课堂练习

?2?

2 sin ? ? 6 cos ?

?1 ? 3 ? ? 2 2? sin ? ? cos ? ?2 ? 2 ? ?

? 2 2 sin ? cos60 ? cos? sin 60
0

?

0

?

? 2 2 sin ? ? 60

?

0

?

课堂小结
? ? 1. sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2
? ? sin(? ? ? ) ? cos( ? (? ? ? )) ? cos(( ? ? ) ? ? ) 2 2

2. 在两角和与差正弦公式的应用中,会运用已知 角“整体”表示未知角,运用角的范围判断三角 函数值的符号,如:



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