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平面向量平行的坐标表示



平面向量平行的坐标表示

温故知新
1、平行向量基本定理

a ∥b(b ? 0) ? a ? ?b λ存在且唯一
2、数乗向量

那么 a ? b ? a1 ? b1 且 a2 ? b2 问题: 在平面直角坐标系中,向量可以 用坐标表示,那么,能不能用坐标表示 两个向量的平行呢?怎样表示?

若 b ? (b1 , b2 ) 则 ?b ? (?b1, ?b2 ) 3、向量相等的坐标表示 如果 a ? (a1, a2 ) b ? (b1 , b2 )

探索新知


a ? (a1, a2 ) b ? (b1 , b2 )

(1)如果 b

? 0 ,则条件 a ? ? b 可以用坐标表示为
?a1 ? ?b1 即 ? ?a2 ? ?b2

(a1 , a2 ) ? ? (b1 , b2 )
消去λ得 所以 当

a1b2 ? a2b1 ? 0

a∥b
易证

?

a1b2 ? a2b1 ? 0 a1b2 ? a2b1 ? 0
时 a∥b

b?0

a∥b


?

(2)当 b1

?0

b2 ? 0

?

a1 a2 ? b1 b2

新知巩固
对于任意向量 a ? (a1, a2 )

b ? (b1 , b2 )

a∥b
(1) a1b2 当 (2)

的坐标表示的充要条件是

? a2b1 ? 0 通用式


交叉相乘积相等

b1 ? 0

b2 ? 0

时, a∥b

?

a1 a2 ? b1 b2

比例式

对应坐标成比例

新知应用
例题4、判断下列两个向量是否平行:
(1) (2)

a ? (?1,3),b ? (5,?15) e ? (2,0), f ? (0,3)

新知应用
例题5、如果向量 a

? (?1, x)

与向量

b ? (? x,2)
例题6、如果向量

平行且方向相同,求x。

a ? (2, x)

与向量

x b ? ( ,2) 9

平行且方向相反,求x。

新知应用
例题7、如图所示,在梯形ABCD中,底DC长是底 AB长的3倍,已知顶点A(-2,1),B(-1,3), C(4,5),求点D的坐标。
y C B

A

O x D

课堂小结
一、平面向量平行的坐标表示的两种形式 已知向量 a ? (a1, a2 )

b ? (b1 , b2 )

通用式

a∥b

?

a1b2 ? a2b1 ? 0
时, a∥b

比例式 当

b1 ? 0 且 b2 ? 0

?

a1 a2 ? b1 b2

二、用向量平行的坐标表示解决问题



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