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高二数学选修2-2导数及其应用试题



高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题
一选择题
1? x2 1.设 y ? ,则 y' ? ( sin x
) .

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x A. sin 2 x
C.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x B. sin

2 x
D.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x
x 2 ? 1 ,则 f ' (2) ? ( ) .
B.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

2.设 f ( x) ? ln A.

4 5

2 5

C.

1 5

D.

3 5

3.已知 f (3) ? 2, f ' (3) ? ?2 ,则 lim A. ? 4
3

2 x ? 3 f ( x) 的值为( ) . x ?3 x?3
C. 8 D.不存在

B. 0

4.曲线 y ? x 在点 (2,8) 处的切线方程为( ) . A. y ? 6 x ? 12 C. y ? 8 x ? 10
3 2

B. y ? 12 x ? 16 D. y ? 2 x ? 32

( x2 ,0) , 5. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象与 x 轴有三个不同交点 (0,0), ( x1 ,0) ,
且 f ( x) 在 x ? 1, x ? 2 时取得极值,则 x1 ? x 2 的值为( A.4 B.5 C.6 )

D.不确定

6. 在 R 上的可导函数 f ( x) ? 取得极小值,则 A. ( ,1)

1 3 1 2 当 x ? (0,1) 取得极大值, 当 x ? (1,2) x ? ax ? 2bx ? c , 3 2
) . C. (?

b?2 的取值范围是( a ?1
B. ( ,1)

1 4

1 2

1 1 , ) 2 4

D. (?

1 1 , ) 2 2

7.函数 f ( x) ?

1 x ? e (sin x ? cos x) 在区间 [0, ] 的值域为( 2 2
?

) .
?

1 1 A. [ , e 2 ] 2 2
8.积分

1 1 B. ( , e 2 ) 2 2

?

?

C. [1, e 2 ]

D. (1, e 2 )

?

a

?a

. a 2 ? x 2 dx ? ( )
第 1 页

A.

1 ?a 2 4

B.

1 ?a 2 2

C. ?a 2

D. 2?a 2

9.由双曲线 积为( A. )

x2 y2 ? ? 1 ,直线 y ? b, y ? ?b 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 a2 b2

8 ?ab2 3
2

B.

8 2 ?a b 3

C.

4 2 ?a b 3

D.

4 ?ab2 3

10.由抛物线 y ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积是( ) . A. 18 B.

38 3

C.

16 3

D. 16 ) .

11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,则其表面积最小时,底面边长为( A. 3 V B. 3 2V C. 3 4V D. 23 V

12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 组成,其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个 纸花瓣的面积为( ) . A. 6 ? 3 3?
2

B. 12 ?

3 3 2 ? 2

C. 6 ? ?

2

D. 6 ?

3 3 2 ? 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分。请将答案填在答题卷相应空格上。 ) 13.曲线 y ? x 在点 (a, a )( a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积为
3 3

1 ,则 a ? _________ 。 6
14.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S ? 为零的时刻是_______________。 15. lim (
n ??

1 4 3 3 t ? t ? 2t 2 ,那么速度 4 5

1 2 n ? 2 ??? 2 ) ? _______________. 2 n ?1 n ? 2 n ? n2
2

16.

?

4

0

(| x ? 1 | ? | x ? 3 |)dx ? ____________。

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 10 分)

第 2 页

已知向量 a ? ( x , x ? 1), b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数,
2

求 t 的取值范围。

(18) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.
3 2

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

19 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间;

x x ?1

(2)求曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

b . a

第 3 页

(20) (本小题满分 12 分) 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆 心角 ? 多大时,容器的容积最大?

(21) (本小题满分 12 分) 直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求 k 的值.
2

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx, a ? 0 。 2

(1)若 b ? 2 ,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 (2)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C 2 交于点 P, Q ,过线段 PQ 的中点作

x 轴的垂线分别交 C1 、 C 2 于点 M , N 。证明: C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的
切线不平行。

第 4 页

新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 B 9 B 10 A 11 C 12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) (13) 、 ?1 (14) 、

t ?0

(15) 、

1 ln 2 2

(16) 、

10

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 10 分) 解:由题意知: f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,则
2 3 2

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(3 分)

∵ f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数,∴ f ' ( x) ? 0 即 t ? 3x ? 2 x 在区间 (?1,1) 上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(5 分)

设 g ( x) ? 3x ? 2 x ,则 g ( x) ? 3( x ? ) ?
2

1 3

2

1 ,于是有 3

t ? g ( x) max ? g (?1) ? 5
∴当 t ? 5 时, f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分) 又当 t ? 5 时, f ' ( x) ? ?3x ? 2 x ? 5 ? ?3( x ? ) ?
2 2

1 3

14 , 3

在 (?1,1) 上,有 f ' ( x) ? 0 ,即 t ? 5 时, f ( x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 当 t ? 5 时,显然 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不是增函数 ∴t ? 5 (18) (本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,依题意,
2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(10 分)

?3a ? 2b ? 3 ? 0, 解得 a ? 1, b ? 0 f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 ,即 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
∴ f ' ( x) ? x ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1)
3 2

┅┅ (3 分)

第 5 页

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数; 若 x ? (?1 , 1) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (2)曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。
3

(6 分)

设切点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2

3

y ? y 0 ? 3( x0 ? 1)( x ? x0 )
3

2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(9 分)

又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x 0 ? ?8 ,解得 x 0 ? ?2 所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ┅┅┅┅┅┅ (12 分) (19) (本小题满分 14 分) 解: f ' ( x) ? 12 x ? 24 x ? 12 x ? 24 ? 12( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)
3 2
3

令 f ' ( x) ? 0 ,得: x1 ? ?1, x2 ? 1, x3 ? 2 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

┅┅┅┅┅┅┅

(2 分)

x
f ' ( x)

(0,1)

1
0
极大值

(1,2)
- 单调递减

2
0
极小值

(2,??)

?
单调递增

?
单调递增

f ( x)

∴极大值为 f (1) ? 13 ,极小值为 f (2) ? 8 又 f (0) ? 0 ,故最小值为 0。 最大值与 a 有关: (1)当 a ? (0,1) 时, f ( x) 在 (0, a) 上单调递增,故最大值为: ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

f (a) ? 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 ? 24 a
4 3 2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(8 分)

(2)由 f ( x) ? 13 ,即: 3x ? 8x ? 6 x ? 24 x ? 13 ? 0 ,得:

( x ? 1) 2 (3x 2 ? 2 x ? 13) ? 0 ,∴ x ? 1或 x ?
又 x ? 0 ,∴ x ? 1或 x ?

1 ? 2 10 3
(10 分)

1 ? 2 10 3
第 6 页

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

∴当 a ? [1 ,

1 ? 2 10 ] 时,函数 f ( x) 的最大值为: f (1) ? 13 3 1 ? 2 10 ,??) 时,函数 f ( x) 的最大值为: 3

┅┅ (12 分)

(3)当 a ? (

f (a) ? 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 ? 24 a
(20) (本小题满分 12 分)

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(14 分)

解:设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,则 由 h ? r ? R ,所以
2 2 2

V ?

1 1 1 1 ?r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 )h ? ?R 2 h ? ?h 3 , (0 ? h ? R) 3 3 3 3

∴V ' ?

3 1 2 R ?R ? ?h 2 ,令 V ' ? 0 得 h ? 3 3

┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

易知: h ? ∴当 h ? 把h ?

3 R 是函数 V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 3
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分)

3 R 时,容积最大。 3

3 6 R 代入 h 2 ? r 2 ? R 2 ,得 r ? R 3 3 2 6 ? 3
┅┅┅┅┅┅┅ (11 分)

由 R? ? 2?r 得 ? ? 即圆心角 ? ?

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

答:扇形圆心角 ? ?

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

┅┅┅┅

(12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解:解方程组 ?

?y ? kx ?y ? x ? x
2

得:直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 的交点的横坐标为
2

x ? 0和 x ? 1? k
2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(4 分)

抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围成图形为面积为
1 1 1 1 S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) |1 0? 0 2 3 6

┅┅┅┅┅

(6 分)

由题设得
1? k 1?k S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ? k xdx 0 0 2

第 7 页

??
又S ?

1? k

0

( x ? x 2 ? k x)dx ?

(1 ? k ) 3 6

┅┅┅┅┅┅┅

(10 分)

3 4 1 1 3 ,所以 (1 ? k ) ? ,从而得: k ? 1 ? 2 6 2

┅┅┅┅┅ (12 分)

(22) (本小题满分 14 分) 解: (1) b ? 2 时,函数 h( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,且 2

h' ( x ) ?

1 ax 2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? x x
(2 分)

∵函数 h( x ) 存在单调递减区间,∴ h' ( x) ? 0 有解。 ┅┅┅┅ 又∵ x ? 0 ,∴ ax ? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解。
2

① 当 a ? 0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向上的抛物线, ax ? 2 x ? 1 ? 0 总有
2

2

x ? 0 的解;
2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(4 分)

② 当 a ? 0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向下的抛物线,而 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有

x ? 0 的解,则

? ? 4a ? 4 ? 0 ,且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,此时, ?1 ? a ? 0
综上所述, a 的取值范围为 (?1,0) ? (0,??) 。 ┅┅┅┅┅┅┅ (7 分) (2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,且 0 ? x1 ? x 2 ,则 点 M , N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2
1 2 | x1 ? x2 ? ; x x? 2 x1 ? x 2
x? x1 ? x2 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

C 2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? (ax ? b) |

?

a ( x1 ? x 2 ) ? b 。 ┅ (9 分) 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 ,即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ?b x1 ? x 2 2


2( x 2 ? x1 ) a 2 2 ? ( x 2 ? x1 ) ? b( x 2 ? x1 ) x1 ? x 2 2

a 2 a 2 ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x1 ? bx1 ) ? y 2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 2 2

第 8 页

x2 ? 1) x2 x1 ? 所以 ln x x1 1? 2 x1 2(
设t ?

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(11 分)

x2 2(t ? 1) ,则 ln t ? ,t ? 1 , x1 1? t



令 h(t ) ? ln t ?

2(t ? 1) , t ? 1 ,则 1? t

1 4 (t ? 1) 2 h' (t ) ? ? ? t (1 ? t ) 2 t (t ? 1) 2
当 t ? 1 时, h' (t ) ? 0 ,所以 h (t ) 在 [1,??) 上单调递增。 故 h(t ) ? h(1) ? 0 ,从而 ln t ?

2(t ? 1) 这与①矛盾,假设不成立, 1? t
┅┅┅┅ (14 分)

∴ C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平行。

第 9 页



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