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自主招生专题辅导之集合与函数



保送生暨自主招生专题辅导之

集合与函数
专题引导
在自主招生考试中,对集合与函数的考查主要是以下两个方面:一是考查学生对集合知识与数学 其他知识的综合应用水平;二是考查学生对函数知识掌握水平与利用函数、方程、不等式的相互 关系,对具体问题进行分析,最终解决问题的水平。 由于集合与函数是高等函数的重要基础,更是高中数学的重要内容,所以近几年来的高考与自主 招生考试,在选择、填空、解答三种题型中,每年都有集合与函数的问题,并且占有较大的比例

学习要领
1.由于函数的观点和方法贯穿高中数学的全过程,所以对函数内容的深刻理解与灵活运用对学习 高中的其他内容至关重要。 2.由于集合与函数是自主招生考试的重点,复习时建议把此讲内容分成集合、函数的概念、性质、 图像,函数的应用三个部分进行系统的归纳,搞清重点、难点、易错点,及时总结规律和方法, 以达到事半功倍的效果。

一、自主招生试题
1. (2008 上海交通大学)若 f ( x) =

2x ?1 3 , g ( x) = f ?1 ( x) ,则 g ( ) = x 2 +1 5
2 x 1? x



2. (2005 年复旦大学) A = {x ∈ R | log 2 ( x ? x ? 1) > 0}, B = {x ∈ R | 2 ? 2 设 为 ;

> 1} , A U CB 则

3. (2005 年复旦大学)定义在 R 上的函数 f ( x )( x ≠ 1) 满足 f ( x ) + 2 f (

x + 2002 ) = 4015 ? x ,则 x ?1

f (2004) =



在区间 [ ?1,1] 上,f ( x ) =| x | , f (2m + ) = ( m 则 4. (2003 同济大学)f ( x ) 是周期为 2 的函数, 为整数)

3 2

5. (2008 年浙江大学) A = {( x, y ) | ( x ? 1) + ( y ? 2) ≤ }, B = {( x, y ) || x ? 1| +2 | y ? 2 |≤ a} ,
2 2

A ? B ,求 a 的取值范围。

5 4

6. (2008 上海交通大学)已知函数 f ( x) = ax + bx + c( a ≠ 0) ,且 f ( x ) = x 没有实数根,试判断
2

f [ f ( x)] = x 是否有实数根?并证明你的结论。

7. (2006 年上海交大) 若有函数 f ( x, y ) = a ( x )b( y ) + c ( x ) d ( y ) , 其中 a ( x ), c ( x ) 为关于 x 的多项 式, b( y ), d ( y ) 为关于 y 的多项式,则称 f ( x, y ) 为 P 类函数,判断下列函数是否是 P 类函数, 并说明理由。 (1)

1 + xy

(2) 1 + xy + x 2 y 2

8. (2005 年上海交大)若 y =

ax 2 + 8 x + b 得最大值为 9 ,最小值为 1 ,求满足条件的实数 a, b 。 x2 + 1

9. (2005 年复旦大学)

4x 1 2 n ?1 定义在 R 上的函数 f ( x) = x , Sn = f ( ) + f ( ) + L + f ( ), n = 2,3,L 4 +2 n n n
(1) 求 Sn (2) 问是否存在常数 M > 0 ,使得 ?n ≥ 2 有

1 1 1 + +L + ≤M S 2 S3 S n +1

10. (2003 年复旦大学)定义闭集合 S ,若 a, b ∈ S ,则 a + b ∈ S , a ? b ∈ S (1)举一例,真包含于 R 的无限闭集合; (2)求证对任意两个闭集合 S1 , S 2 ? R ,存在 c ∈ R ,但是 c ? S1 U S 2

二、预赛联赛试题
1. (2007 年江苏预赛试题) 已 知 f ( x ) =| x + 1| + | x + 2 | + L + | x + 2007 | + | x ? 1| + | x ? 2 | + L + | x ? 2007 | ( x ∈ R ) , 且

f (a 2 ? 3a + 2) = f (a ? 1) ,则 a 的值有(
A. 2个 B. 3个 C.

) 4个 D. 无数个

2. (2007 年江西预赛试题)设 f ( x ) = 则 f 2007 ( x ) = ( A. ) B.

1+ x ,又记 f1 ( x) = f ( x ) , f k +1 ( x ) = f ( f k ( x )), k = 1, 2,L 1? x

1+ x 1? x

x ?1 x +1

C.

x

D.

?

1 x

3. (2007 年湖北预赛试题)定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数由是周期函数,若 f ( x ) 的最小正 周期是 π ,且当 x ∈ [0,

π

8 ) 时, f ( x) = sin x ,则 f ( π ) = ( 2 3



A.

3 2

B.

?

3 2

C.

1 2

D.

?

1 2

三、高考把关试题
1. (2008 年天津高考文)设函数 f ( x ) = x 4 + ax 3 + 2 x 2 + b( x ∈ R ) ,其中 a,b ∈ R . (Ⅰ)当 a = ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ∈ [ ?2,] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 [ ?11] 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 ,

2. (2008 江苏高考) 若 f1 ( x ) = 3 且 f ( x) = ?
x ? p1

, f2 ( x ) = 2 3

x ? p2

, x ∈ R, p1 , p2 为常数,

? f1 ( x ) , f1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ? ? f 2 ( x ) , f1 ( x ) > f 2 ( x ) ?

(Ⅰ)求 f ( x ) = f1 ( x ) 对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (Ⅱ)设 a, b 为两实数, a < b 且 p1 , p2 ∈ ( a, b ) ,若 f ( a ) = f 求证: f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的单调增区间的长度和为

(b)

b?a (闭区间 [ m, n ] 的长度定义为 n ? m ) . 2

3. (2008 浙江高考) 已知 a 是实数,函数 ∫ ( x ) =

x ( x ? a) 。

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 g (a ) 为 f ( x ) 在区间 [0,2] 上的最小值。 (i)写出 g (a ) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ? 6 ≤ g ( a ) ≤ ?2 。

4. (2008 辽宁高考) 设函数 f ( x ) =

ln x ? ln x + ln( x + 1) . 1+ x

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ a 的解集为(0,+ ∞ )?若存在,求 a 的取 值范围;若不存在,试说明理由.



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