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2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编:立体几何



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年上海市各区高三数学二模 二模试题分类汇编 2010 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编
第 7 部分:立体几何 部分:
一、选择题: 15. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试文科)如右图,已知底面为正方形的四棱锥, 其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图是下列各图中的( B ) .

正前方 主视 左视 主视 左视 主视 左视 主视 左视

俯视 A.

俯视

B.

俯视

C.

俯视

D.

15、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)已知一球半径为 2,球面上 A、B 两点的

2π 球面距离为 3 ,则线段 AB 的长度为( C )
(A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 2 3

16、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科)已知α,β表示两个不同的平面,m 为平面 α ( 内 B 的 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 一 条 直 线 , 则 “

α ⊥β







m⊥β





A.充分不必要条件 C.充要条件

17. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科) 四棱锥 P ? ABCD 底面为正方形,侧面

PAD 为等边三角形,且侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ,点 M 在底面正方形 ABCD
内 运 动 , 且 满 足 MP = MC , 则 点 M 在 正 方 形 ABCD 内 的 轨 迹 一 定 是 ( B ) D M A 第 17 题图 B C P

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D

C

D

C

D

C

D

C

A

A.

B

A

B.

B

A

C.

B

A

D.

B

17. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 ( B )

3 3 A. 4 ;

3 B. 4 ;

3 C. 12 ;

3 D. 3 .

17.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟文科)三棱锥 P—ABC 的侧棱 PA、PB、PC 两两互相 垂直,侧面面积分别是 6,4,3,则三棱锥的体积是( A.4 B.6 C.8 D. 10 A )

14. (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) 将正三棱柱截去三个角 (如图 1 所示 A、 B、C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到的几何体如图 2,则按图 2 所示方向侧视该几何体所呈 现的平面图形为 【 A 】[

15. (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) “直线 a 与平面 M 没有公共点”是“直线 a 与平面 M 平行”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( C )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15. (2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟) “直线 l 垂直于 ?ABC 的 边 AB , AC ”是“直线 l 垂直于 ?ABC 的边 BC ”的( (A)充要条件 (C)必要非充分条件 二、填空题: (B)充分非必要条件 (D)即非充分也非必要条件 B ).

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6. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科)若体积为 8 的正方体的各个顶点 均在一球面上,则该球的体积为 (结果保留 π ) 4 3π . … …
3
2 1

n

10. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科)如图,由编号 1 , 2 ,…, n ,… ( n ∈ N 且 n ≥ 3 )的圆柱自下而上组成.其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相
*

等,且对于任意两个相邻圆柱,上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半.若编号 1 的圆

柱的高为 4 ,则所有圆柱的体积 V 为

(结果保留 π ) .

128π 7 [

第 10

10、在正四面体 ABCD 中,E、F 分别是 BC、AD 中点,则异面直线 AE 与 CF 所成的角是

arccos
________________。 (用反三角值表示)

2 3

2 x2 x x 13、上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科) ( 由曲线 x = 2 y , = ?2 y , = 2 , = ?2

围 成 的 图 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 体 的 体 积 为 V1 ; 满 足

y 2 4 ?2 2 x 4 ?2

y 2 4

x + y ≤ 4 ,x + ( y ? 1) ≥ 1 ,x + ( y + 1) ≥ 1 的点组成的图形绕 y
2 2 2 2 2 2

轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V2 ,试写出 V1 与 V2 的一个关系 式 。 V1 = V2

O

O

2 x 4

?2

?2

9、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研文科)在已知四面体 ABCD 中,E、F 分别是 BC、 AD 中点,EF=5,AB=8,CD=6,则 AB 与 CD 所成的角的大小_________。900 11. (上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)某圆锥体的侧面展开图是半圆,当侧面积

是 32π 时,则该圆锥体的体积是

64 3p . 3
?

α b c 15.上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科) ( 已知 a、b、c 是直线, 是平面, 、 ≠
则“ a ⊥ 平面 α ”是“ a ⊥ b 且 a ⊥ c ” 的………………………………………………………………………( B ) A.充要条件. B.充分非必要条件. C.必要非充分条件. D.非充分非必要条件.

α,

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11. (上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟文科)如图,已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , D1 C1

AB =

2,BC =

3,AA1 =

6,
π .4

A1 D A

B1

则异面直线

AB1与BC1

所成的角是

C B

第 11 题图

12、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科)棱长为 a 的正方体 个顶点都在球 O 的表面上,E、F 分别是棱 长是__________. 2a 7、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科)已知正四棱柱

ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8

AA1



DD1

的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段

ABCD ? A1 B1C1 D1

中,

3 10 AA1 = 2 AB, E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为 ________ 10

11、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科)已知某几何体的三视图如右,根据图中标

1 出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 __________ ( cm ) 6
3

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13、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科)棱长为 a 的正方体 个顶点都在球 O 的表面上,E、F 分别是棱 长是__________. 2a

ABCD ? A1 B1C1 D1

的8

AA1



DD1

的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段

8. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 .

3 4
10. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任 意两条母线间夹角的最大值为_________.60° 4.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆的面 积为 π ,则球的表面积为 ▲ .8π

9.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟文科)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,

13 π 可得该几何体的体积是 ▲ . 3
5. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次 模 拟 理 科 ) 若 球 O1 、 O2 表 示 面 积 之 比

S1 =9 S2 , 则 它 们 的 半 径 之 比
R1 R2

=_____________.

3

11. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟文科)一个几何体的三个视图都是等腰直角

三角形(如图) ,且直角边长为 1,则此几何体的体积为

1 . 6

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7. (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)如图所示, Rt?AOB 绕直角边 AO 所在 直线旋转一周形成一个圆锥,已知在空间直角坐标系 O ? xyz 中,点 ( 2,0,0) 和点 (0,2,?1) 均在圆锥的母线上,则圆锥的体积为 .

16 π 3

11. (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科)设点 A(1,1) 、B(1,-1) O 是坐标原点, ,

将 ?OAB 绕 y 轴旋转一周,所得几何体的体积为

4π 3 .

11. (2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟)[文科] 一个用立方块搭 成的立体图形,小张 从前面看和从上面看到的图形都是同一图形,如图, 那么,搭成这样一个立体图形最少需要 个小立方块. 5 第 11 题

12. (2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟)[文科]如图,要做一个圆 锥形帐篷(不包 括底面) ,底面直径 6 米,高 4 米,那么至少 需要 平方米的帆布. 15π 第 12 题[文科]

(2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟)[理科]已知一圆锥的底面直 径、高和一圆柱的底面直径均是 d ,那么,圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .

3+ 3 5 10
三、解答题 20. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

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在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = BC = 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体的一个 角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 ,且这个几何体的体积为
D1 A1 C1

10 .
(1)求棱 A1 A 的长; (2)求点 D 到平面 A1 BC1 的距离. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分. 解: (1)设 A1 A = h ,由题设

D

C

A

B

VABCD ? A1C1 D1 = VABCD ? A1 B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 = 10



1 1 1 S ABCD × h ? × S ?A1B1C1 × h = 10 2 × 2 × h ? × × 2 × 2 × h = 10 3 3 2 得 ,即 ,解得 h = 3 .
(6 故 A1 A 的长为 3 . 分) (2)以点 D 为坐标原点,分别以 DA , DC , DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间 直角坐标系. 由已知及(1) ,可知 D (0,0,0) , A1 (2,0,3) , B (2, 2,0) , C1 (0, 2,3) , 设平面 A1 BC1 的法向量为 n = (u , v, w) ,有 n ⊥ A1 B , n ⊥ C1 B ,

? n ? A1 B = 0, ? ? 2v ? 3w = 0, 3 3 ? ? v= w u= w A1 B = (0, 2, ?3) , 1 B = (2,0, ?3) , C ? n ? C1 B = 0, 即 ? 2u ? 3w = 0. 解得 2 , 2 , 其中 则有 ?
取 w = 2 ,得平面的一个法向量 n = (3,3, 2) ,且 | n |= 22 . (12 分) 在 平 面 A1 BC1 上 取 点 C1 , 可 得 向 量 DC1 = (0, 2,3) , 于 是 点 D 到 平 面 A1 BC1 的 距 离

d=

| n ? DC1 | |n|

=

6 22 11 . (14 分)

20. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试文科) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

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在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = BC = 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体的一个 角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 ,且这个几何体的体积为
D1 A1 C1

10 .
(1)求棱 A1 A 的长; (2)若 A1C1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的大小(结果用 反三角函数值表示) .

D

C

A

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)设 A1 A = h ,由题设

VABCD ? A1C1 D1 = VABCD ? A1 B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 = 10



1 1 1 S ABCD × h ? × S ?A1B1C1 × h = 10 2 × 2 × h ? × × 2 × 2 × h = 10 3 3 2 ,即 ,解得 h = 3 . 得
故 A1 A 的长为 3 . 分) (6 (2)因为在长方体中 A1 D1 // BC ,所以 ∠O1 BC 即为异面直线 BO1 与 A1 D1 所成的角(或其补 角)(8 分) .

11 O1 BC 中,计算可得 O1 B = O1C = 11 ,则 ∠O1 BC 的余弦值为 11 , 在△ arc cos 11 11 . (14 分)

故异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的大小为

19、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科) (本题满分 12 分)

ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, ∠ACB = 2 ,若用 如图,已知三棱柱
此直三棱柱作为无盖盛水容器,容积为 10( L) ,高为 4( dm) ,盛水时 发现在 D、E 两处有泄露,且 D、E 分别在棱

π

A B D

C

AA1



CC1

上, A1 B1

E

DA1 = 3 (dm)
( L )?



EC1 = 2 (dm) 。试问现在此容器最多能盛水多少

C1

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19.解:由三棱柱

ABC ? A1 B1C1

是直三棱柱,

∠ACB =

π
2

VABC ? A1B1C1 = S ?ABC ? AA1
1 ? AC ? BC ? 4 =10, =2
VB ? ADEC = 1 ? BC 3 S ?ADEC
得: AC ? BC = 5

(4 分)

1 1 ? ( AD + CE ) ? AC ? BC =3 2 =2.5 (4 分)
此容器最多能盛水:

VABC ? A1B1C1 ? VB ? ADEC

=7.5 (L)

(4 分)

19、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研文科) (本题满分 12 分)如图,已知三棱柱

ABC ? A1 B1C1













∠ACB =

π
2
, A B D E 若

AC = 3

(dm)
C

,

BC = 4 (dm) , AA1 = 4 (dm) ,D、E 分别在棱 AA1 和 CC1
上,且

DA1 = 3 (dm)



EC1 = 2 (dm) ,若用此直三棱柱作

为无盖盛水容器,且在 D、E 两处发生泄露,试问现在此容 器最多能盛水多少( L )?

19.解:由三棱柱

ABC ? A1 B1C1

是直三棱柱,

∠ACB =

π
2

A1 B1

C1

VABC ? A1B1C1 = S ?ABC ? AA1
分)

1 ? AC ? BC ? 4 =2 =24

(4

VB ? ADEC =

1 1 1 1 1 S ?ADEC ? BC = 3 ? 2 ( AD + CE ) ? AC ? BC = 3 ? 2 ? (1 + 2) ? 3 ? 4 = 6 3
VABC ? A1B1C1 ? VB ? ADEC = 18 L
(4 分)

(4 分)

此容器最多能盛水

19. (上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

AB = 2,BC = 4,AA1 = 4 DC ,点 M 是棱 1 1 的中点. 已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 ,
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(1)试用反证法证明直线 (2)求直线

AB1与BC1

是异面直线;

AB1与平面DA1 M

所成的角(结果用反三角函数值表示) .

19、(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.

证明 (1)(反证法)假设直线 设直线 因此,

AB1



BC1

不是异面直线. …………1 分

AB1



BC1

都在平面 α 上,则

A、B、B1、C1 ∈ α .……………3 分

平 面 ABB1 A1、 平 面 BCC1 B1 都 与 平 面 α 有不共线的三个公共点,即

平 面 ABB1 A1和 平 面 BCC1 B1重 合 (都 与 平 面 α 重合).又长方体的相邻两个面不重合,这是
矛盾,于是,假设不成立. ………………………………6 分 所以直线 解

AB1



BC1

是异面直线.

…………7 分

(2)按如图所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 D(0,0,0)、

A(4,0,0)、B(4,2,0),C(0,2,0), A1 (4,0,4), B1 (4,2,4),

C1

(0,2,4),

1 DA , 0, AB 2, D1 (0,0,4).于是,M(0,1,4), DM = (0,4), 1 = (4, 4), 1 = (0, 4) .……9 分

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设平面

DA1 M 的法向量为 n = ( x,y,z ) ,则

?n ? DM = 0 ? ? y + 4z = 0 ? ? ?n ? DA1 = 0 ,即 ?4 x + 4 z = 0 .取 z = ?1 得x = 1 y = 4 . , , ?
所以平面 记直线



11 分

DA1 M

的一个法向量为

n = (1 4, . , -1)

AB1与平面DA1 M 所成角 为 θ ,于是,
n ? AB1 | n | ? | AB1 | |= 10 15
θ = arcsin 10 15 .………………13 分

sin θ =|



10 AB1与平面DA1 M 所成角 为 θ = arcsin 15 .………14 分 所以,直线
19、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科) (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2) 小题 8 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形, SD⊥平面 ABCD,SD=AD= a ,点 E 是线段 SD 上任意一点。 (1)求证:AC⊥BE; (2)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 ,求线段 ED 的长。
0

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19、解: (1)以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系。

D (0,0,0), A(a,0,0), B (a, a,0), C (0, a,0) 。设 DE = t ,
则 E (0,0, t ) …………………………………………2 分
→ →

AC = (? a, a,0), BE = (?a,?a, t ) ,
…………………………………………………4 分

∵ AC ? BE = a 2 ? a 2 + 0 = 0,∴ AC ⊥ BE 。
…………………………………………………………6 分 (2)取平面 ADE 的一个法向量为 n1 = (0,1,0) 。………………………………7 分 设平面 ACE 的一个法向量为 n 2 = ( x, y , z ) , AE = ( ? a,0, t ) ,由 AE ? n2 = 0, AC ? n 2 = 0 得
→ → → → → → →





? ? ax + tz = 0 ? ?? ax + ay = 0 ,
∴ y = x, z =
→ a a n 2 = (1,1, ) x t 。取 t ,………………………………………………10 分 → →

n ? n2 1 cos 60 = = →1 → = 2 | n || n | 1 2
0

1 a2 2+ 2 t ……………………………………………12 分





t=

2 2 a DE = a 2 ,因此 2 。……………………………………………14 分

(如用其它解法,请对照给分) 20.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)(本题 14 分,其中第(1)小题 6 分,第(2) 小题 8 分) 设在直三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中,

AB = AC = AA1 = 2



∠BAC = 90 , E , F 依次为 C1C , BC 的中点.
(1)求异面直线 值表示) ;

A1 B

、 EF 所成角 θ 的大小(用反三角函数

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(2)求点

B1

到平面 AEF 的距离.

解:以 A 为原点建立如图空间坐标系,则各点坐标为 A1 (0,0,2) , B ( 2,0,0) ,

B1 (2,0,2) , E (0,2,1) , F (1, ,1,0) …………2 分
cos θ =
(1) A1 B = ( 2,0,?2) , EF = (1,?1,?1) ,

A1 B ? EF A1 B EF

=

4 6 = 3 2 2× 3



θ = arccos

6 3 …………6 分

(2)设平面 AEF 的一个法向量为 n = ( a, b, c ) ,∵ AE = (0,2,1) , AF = (1,1,0)



?n ? AE = 0 ? ?n ? AF = 0

?2b + c = 0 ? a+b =0 得?
d= A1B ? n n

令 a = 1 可得

n = (1,?1,2) …………10 分

=

∵ AB1 = (2,0,2) ∴点



6 = 6 6

…………13 分

B1

到平面 AEF 的距离为 6 .…………14 分

20. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) (本题满分 14 分) (如图)已知正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1

的棱长均为 1, M 为棱

A1 B1

上的点, N 为棱

BB1



中点,异面直线 AM 与 CN 所成角的大小为

arccos

A1M 2 5 ,求 MB1 的值.
A1

D1 B1 D A B

C1

C

1? ? N ?1,1, ? M (1, a,1) 2? 20. 解: 如图建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(0,1,0), , ?

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1 AM =(0, a , 1), CN = (1,0, 2 ) (其中 a > 0 )-----4
分 设向量 AM 、 CN 的夹角为 θ , A A1

z D1 M B1 N D B x C y C1

cos θ =


AM ? CN AM ? CN

=

1 2 ?1? 1 + a2 ? 1 + ? ? ?2?
2

=

2 5


5 1 ? 1 + a2 = ∴ a = 4 2 -------------------------------------------------10 分
AM ? CN AM ? CN

cos θ =


=

1 2
?1? 1 + a2 ? 1 + ? ? ?2?
2

=?

2 5
, 无 解 ;

-----------------------------------12 分







a=

1 2

A1M
时 ,

MB1

=1


-------------------------------------------------------------------------14 分 17. (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小 题 7 分,第 2 小题 7 分. 如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD = 1 ,CD = 2 , A1 D ⊥ 平面 ABCD, AA1 与底面 ABCD 所成角为 θ , ∠ADC = 2θ . (1)若 θ = 45 ,求直线 A1C 与该平行六面体各侧面所成角的最大值; (2)求平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积 V 的取值范围. 17. (1)由平行六面体的性质,知 直线 A1C 与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个, 其一是直线 A1C 与侧面 AA1 D1 D 所成角的大小,记为 α ; 其二是直线 A1C 与侧面 AA1 B1 B 所成角的大小,记为 β .

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∵ θ = 45 ,∴ ∠ADC = 90 ,即 CD ⊥ AD
又∵ A1 D ⊥ 平面 ABCD,∴ CD ⊥ A1 D

∴CD ⊥ 平面 AA1 D1 D ,
所以, ∠CA1 D 即为所求.……………………………2 分 所以, α = arctan 2 ………………………………1 分 分别以 DA , DC , DA1 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz , 可求得 A1C = (0,2,?1) ,侧面 AA1 B1 B 的法向量 n = (1,0,1) ,

所以, A1C 与 n 所在直线的夹角为

arccos

10 10

∴ β = 90 ? arccos

10 10 arcsin 10 或 10 . 90 ? arccos 10 10 arcsin 10 或 10 .…3 分

所以,直线 A1C 与侧面 AA1 B1 B 所成角的大小为

综上,直线 A1C 与该平行六面体各侧面所成角的最大值为 arctan 2 .…………1 分 (2)由已知,有 DA1 = tan θ , …………………………………………………1 分

由面积公式,可求四边形 ABCD 的面积为 2 sin 2θ ,…………………………………2 分
2 平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积 V = 2 sin 2θ ? tan θ = 4 sin θ .……………2 分

所以,平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积 V 的取值范围为 (0,4) . ……………2 分 19. (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 A1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

B1
直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 为等腰直角三角形, 且 AB ⊥ AC , A B

C1

AB = AC = 2 , AA1 = 4 , M 是侧棱 CC1 上一点, 设 MC = h .
(1)若 BM ⊥ A1C ,求 h 的值;

M C

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π
( 2 ) 若 直 线 AM 与 平 面 ABC 所 成 的 角 为 4 , 求 多 面 体

z
A1 B1 C1

ABM ? A1B1C1 的体积.
解: (1)以 A 为坐标原点,以射线 AB 、 AC 、 AA1 分别为 x 、 y 、

z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 B (2,0,0) , M (0,2, h) ,

A B

M

A1 (0,0,4) , C (0,2,0) …………………………………………2 分
BM = (?2,2, h) , A1C = (0,2,?4) …………………………2 分
由 BM ⊥ A1C 得, BM ? A1C = 0 ,即 2 × 2 ? 4h = 0 解得 h = 1 ………………………………………………………2 分 (2)由题意知,平面 ABC 的一个法向量为 n = (0,0,1) ,

x

C

y

AM = (0,2, h) ……………………………………………………………………………………2 分

π
因为直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 4 ,所以 分

2 = 2

h 4 + h 2 解得 h = 2 …………………2

三棱锥 M ? ABC 的体积

VM ? ABC =

1 4 S ?ABC ? MC = 3 3

V = S ?ABC ? CC1 = 16 ………………………………………………… 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积
2分 所 以 多 面 体

ABM ? A1B1C1







V ABM ? A1B1C1 = 16 ?

4 44 = 3 3 ……………………………………2 分

19. (2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联 合高考模拟) (本题满分 12 分) [文科]已知 柱,P 是棱

D1

C1

ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面为菱形的直四棱 A 1

B1 P D

DD1 的中点, ∠BAD = 600 ,底面边长为 2,

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C A B

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AD1 PB 四棱柱的体积为 8 3 ,求异面直线 与 所成的角大小.(结果用反三角函数值表示)
[理科]已知

ABCD ? A1 B1C1 D1

是底面为菱形的直四棱柱,
0

P 是棱 DD1 的中点, ∠BAD = 60 ,底面边长为 2, ADD1 A1 45 A 若 PB 与平面 成 角,求点 1 到平面 ACP 的距离.
0

第 19 题[文、理科]

19.[文科] 解:由体积为 8 3 ,得 h ? 2 sin 60 = 8 3 ,所以 h=4… 3 分
2 0

取 AD 的中点为 E,联结 PE,PB,则

BE ⊥ ADD1 A1 AD1



……5 分 ……8 分 …… 10 分

AD1 / / PE

, ∠EPB 为直线 PB 与直线

所成的角.

经计算 BE = 3 , PB = 2 2 ,
sin ∠EPB = 3 6 = 4 , 2 2

即异面直线

AD1

与 PB 所成的角为

arcsin

6 15 arctan 4 (或 5 ) .… 12 分

[理科] 解:取 AD 的中点为 E,联结 BE,PB,则

BE ⊥ ADD1 A1



∠EPB 为 PB 与平面 ADD1 A1 所成的角.
经计算 BE = 3 , PB =

…… 2 分 …… 4 分

6 , PD = 2 , DD1 = 2 2

以 OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,

OO1

为 z 轴建立空间直角坐标系,… 5 分

A( 3, 0, 0) , C ( ? 3, 0, 0) , P(0, ?1, 2) , AC = (2 3, 0, 0) , PA = ( 3,1, ? 2) ,
设平面 ACP 的法向量 n = ( x, y, z ) , …… 7 分

? AC ? n = 0 ? ? ? PA ? n = 0 得 n = (0, 2,1) , 由?

… 10 分



A1 A = (0, 0, 4 2)

d=
,所以

A1 A ? n 4 6 = 3 |n|

…… 12 分

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