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7.7(3)数列极限的运算法则



7.7(3) 数列极限的运算法则

例1.求下列无穷数列的极限 2n ? 3 (1) lim n n ?? 2 ? 3
2n ? 1 ? 3n ? 2 (2)lim n?1 n?? 2 ? 3n

1 n 1 n 1? 3?( ) 1 ? 3 ? lim( ) 2n ? 3 1? 0 n?? 2 2 (1)lim n ? lim

? ? ?1 n?? 2 ? 3 n?? 1 1 1? 0 1 ? 3 ? ( )n 1 ? 3 ? lim( )n n?? 2 2
2n ?1 ? 3n ? 2 (2) lim n?1 n ?? 2 ? 3n 2 n 2 ? ( ) ?9 2 ? 2n ? 9 ? 3n 3 ? lim ? lim n ?? 1 n?? 1 2 n n n ?2 ? 3 ?( ) ?1 2 2 3 2 2 ? lim( )n ? lim 9 0?9 n ?? 3 n?? ? ? ? ?9 1 2 n 0?1 ? lim( ) ? lim1 n?? 2 n?? 3

指数型 解题方法:分子分母同除以底数绝对值较大的那 个数的n次幂, 利用数列{q n }( ?1 ? q ? 1)的极限求解.

a n ? 3n (3)lim n (a ? ?3) n?? a ? 3n 3 a (i)当|a|<3时,| |? 1 (ii)当|a|>3时,| |? 1 3 a a n 3 n 1 ? ( ) ( ) ?1 n n n n a ?3 a ?3 3 a ? ? 3 n a n a n ? 3n a n ? 3n 1? ( ) ( ) ?1 a 3

(iii)当a ? 3时, a n ? 3n 0 ? ?0 n n n a ?3 2? 3
原式=0

0?1 原式= ? ?1 0?1

0?1 原式= ? ?1 0?1

? ?1 | a |? 3 ? ? 原式 ? ? 1 | a |? 3, a ? ?3 ? 0 a?3 ?

a n ? 3n P .s. 当a ? ?3时, 只要n是奇数, n 就无意义, 因此极限不存在. n a ?3

a n ?1 ? b n (4) lim n (ab ? 0) n?? a ? b n ?1 a b (iii)当|a| ? |b|时, (i)当|a|<|b|时,| |? 1 (ii)当|a|>|b|时,| |? 1 b a a ? b时, a n b n n a( ) ? 1 a?( ) n ?1 n ( a ? 1) a a ?1 a n ?1 ? b n a ? b b a ? ? ? n n?1 n n ?1 a n b n (1 ? a )a n a ? 1 a ?b a ?b ( ) ?b 1 ? b( ) a ?1 b a 原式 = a ?1 0?1 1 a?0 原式= ?? 原式= ?a 0? b b 1? 0 a ? ? b时, ? 1 原极限不存在 ? | a | ? | b | ? b ? | a |?| b | ? a ? 原式 ? ? ? a ?1 a ? b ? a ?1 ?不存在 a ? ? b ?

例2.求下列无穷数列的极限 ( n ? 1)4 (2n ? 1)3 14 ? 23 8 (1)lim ? ? 7 7 n?? (3n ? 2) 3 2187
1 ? 2 n ?1 1 ? 2 n ?1 ? lim (2) lim n ?? 1 ? [1 ? ( ?3) n ? 1 ] n?? 1 ? 3 ? 9 ? ? ? ( ?3) n 1 ? ( ?3)
1 n 1 2 n 1 n 4[( ? ) ? ? ( ? ) ] 4(1 ? ? 2 ) 3 2 3 2 ? lim ? lim n?? 1 ? 3( ?3)n n?? 1 n (? ) ? 3 3 1 4(0 ? ? 0) 2 ? ?0 0? 3

1 ? 2 ? 22 ? ? ? 22 n (3) lim n?? 4n 1 n 2?( ) 2 ? 4n ? 1 4 ?2 ? lim ? lim n?? n?? 4n 1 1 ? (1 ? 2 n ?1 ) n 2 n 2 ? 2 ?1 1? 2 ? 2 ??? 2 1 ? 2 ? lim n (4) lim (a ? ?2) ? lim n n n n n ?? n ?? a ? 2 n n?? a ? 2 a ?2
a (i)当|a|<2时,| |? 1 2 1 2 ? ( )n 2 ?2 原式 = lim n ?? a n ( ) ?1 2 (iii)当a ? 2时,

1 ? (1 ? 22 n ?1 ) 2n 2 ? 2 ?1 1 ? 2 ? lim ? lim n n? ? n ?? 4 4n

2 (ii)当|a|>2时,| |? 1 a 2 n 1 n 2?( ) ? ( ) a a ?0 原式= lim n ?? 2 n 1? ( ) a ? 2 | a |? 2 1 n ? 2?( ) ? 原式 ? ?1 a ? 2 2 ? 2n ? 1 2 ?1 ? 0 | a |? 2 原式= lim ? lim n n?? n?? ? 2? 2 2

3? kn 例3.(1)若 lim ? r ? 1, 求实数k的取值范围. n ? 1 n?? 1 ? k

(i)当|k|<1时,r ? 0不满足题意; 1 (ii)当|k|>1时,| |? 1 k 3 3 r ? lim ? ?1 n ?? 1 n k ( ) ?k k ? k ? (1, 3) 3 (iii)当k ? 1时,r ? 满足题意; 2 (iv)当k ? ?1时,r不存在, 不满足题意; 综上所述 : k ? [1, 3)

2n ? a n ? 1 1 (2)若 lim n?1 ? , 求实数a的取值范围. n n?? 2 ?a 2
a (i)当|a|<2时,| |<1 2 a n 1? a?( ) 2 ? 1 满足题意; 原式 ? lim n ?? a n 2 2?( ) (iii)当a ? 2时, 2 2 ?2 n 1 (ii)当|a|>2时,| |? 1 原式 ? lim ? ? 不满足题意; n n?? 3 ? 2 a 3 2 n (iv)当a ? ?2时, ( ) ?a 1 原式 ? lim a ? ? a ? 极限不存在, 不满足题意; n ?? 2 n 2 2?( ) ? 1 a 综上所述 : a ? (?2, 2) 1 a ? ? 与 | a |? 2矛盾, 舍 2

作业: 习题7.7 : A组P19 ? 11 习题7.7 : B组P20 ? 1, 2, 3, 4



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