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向量的数乘学案 高中数学 必修四 苏教版 Word版


互动课堂 疏导引导 1.向量数乘的定义及几何意义 (1) 实数 λ 与 a 的积是一个向量, 记作 λa, 它的长|λa|=|λ|·|a|.它的方向是这样定义的: 当 a≠0 时.λ>0,λa 与 a 同向;λ<0,λa 与 a 反向;当 λ=0 或 a=0 时,0a=0 或 λ0=0. (2)根据向量数乘的定义.a 与 λa 为共线向量,两者方向相同或相反, (a≠0,λ≠0)在此前提下, λa 可以理解为把 a 的长度扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1).由此可得向量数乘的几何意义: 就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小. (3)几点说明 ①λa 中的实数 λ,叫做向量 a 的系数,此系数决定着 λa 与 a 的模的关系及方向相同或相反. ②向量数乘的特殊情况:当 λ=0 时,λa=0,而当 a=0 时,λa=0. ③实数与向量可以求积,并且结果为一向量,但不能进行加、减运算,如 λ+a,λ-a 根本无意 义. 2.向量数乘的运算律 向量数乘满足下列运算律: 设 λ,u 为实数,则 (1)(λ+u)a=λa+ua,(2)λ(ua)=(λu)a,(3)λ(a+b)=λa+ub(分配律). 疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似, 只是向量的数乘分 配律由于因子的不同,可分为(λ+u)a=λa+ua 和 λ(a+b)=λa+ub.但两者也有区别:中学代数 中的实数运算的结果是一个数,只满足一种分配律,而向量的数乘的结果是一个向量,满足 两种分配律. 3.向量的线性运算 向量的加法、 减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算, 也叫做向量的初等运算. 案例 1 (1)计算下列各式: ①2(a+b)-3(a-b); ②3(a-2b+c)-(2c+b-a); ③ 2 1 2 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b). 5 3 15 (2)设 x、y 是未知向量 ?1 x ? y ? a, ? ?2 解方程组 ? ? x ? 1 y ? b. ? 2 ? 【探究】要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律.包括:数乘向量的分配律及向 量加、减法的运算律,其运算过程类似合并同类项.(2)是解关于未知向量的方程或方程组. 它与解关于未知数的方程或方程组是类似的, 在计算过程中应遵守向量加、 减法及向量数乘 的运算律. 【解】 (1)①2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=-a+5b. ②3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c. 2 1 2 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b) 5 3 15 2 2 2 4 4 26 = a- b- a- b+ a+ b 5 5 3 3 15 15 ③ =( 2 2 4 2 4 26 - + )a+(- - + )b 5 3 15 5 3 15 3 4 2 y=-2a+b,从而 y=- a+ b,代入原来第 2 2 3 3 =0a+0b=0. (2)把第 1 个方程的-2 倍与第 2 个方程相加,得 个方程得 x=- 2 4 a+ b. 3 3 2 4 ? x ? ? a ? b. ? ? 3 3 ∴? ? y ? ? 4 a ? 2 b. ? 3 3 ? 规律总结 向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的 运算法则. 4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题 利用向量数乘的定义或运算律可以解决一些几何问题, 例如在探求线段相等、 三角形相

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