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2015-2016学年湖北省黄冈市黄冈中学高一下学期期中考试数学(理)试题


湖北省黄冈中学 2016 年春季期中联考高一数学试题(理)
考试时间:4 月 27 日上午 8:00—10:00 试卷满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1、下列关于 x 的不等式解集是实数集 R 的为( A.
2



B.4x +4x+1>0

C.3 >0
x-1

D.

2、在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,若 则角 C 等于( A.60° C.120° ) B.45° D.30°



3、等比数列{a }各项均为正数,且 a a +a a =54,则 log a +log a +?+log a
n 5 6 4 7 3 1 3 2 3

10

=( A.8 C.15

) B.10 D.20

4、在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 对应的边,则满足 A=45°,c=8, a=6 的△ABC 的个数为 m,则 a 的值为(
m



A.36 C.1

B.6 D.不存在

5、已知数列{a }首项
n

,则 a =(
2016



A.-2

B.

C.

D.3

6、对任意实数 x,不等式 2kx +kx-3<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是(
2



A.-24<k<0 C.0<k≤24

B.-24<k≤0 D.k≥24

7、数列{a }满足 a =1,
n 1

,且

,则 a 等于(
n



A.

B.

C.

D.

8、在 300 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°,45°,则 塔高为( A. ) B.

C.

D.

9、若等差数列{a }中,|a |=|a |,公差 d<0,则使前 n 项和 S 取得最大值的 n
n 5 11 n

是(



A.8 C.8 或 9

B.7 或 8 D.7

10、设实数 x,y 满足约束条件 b>0)的最大值为 1,则 A. C.35 的最小值为( B.49 D.

,若目标函数 z=ax+by(a>0, )

11、两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问 题. 他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进 行分类.如下图中实心点的个数 5,9,14,20,??为梯形数.根据图形的构 成,记此数列的第 2016 项为 a ,则 a -5=(
2016 2016



A.2023×2016 C.2023×1008

B.2015×2022 D.2015×1011

12、己知等差数列{a }的公差 d≠0,且 a ,a ,a 成等比数列,若 a =1,S 为数
n 1 3 13 1 n

列{a }的前 n 项和,则
n

的最小值为(



A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、已知 a>0,b>0,2a+b=16,则 ab 的最大值为__________.

14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”:现有 5 人分五钱,5 人 所得数依次成等差数列,前两人分的数与后三人分的数相等,问第二人分 __________钱.

15、 在△ABC 中, 已知 A=60°, b=1, 其面积为

, 则

__________.

16、设 a>0,b>0,称

为 a,b 的调和平均数.如图,线段 AC 过⊙O 的圆

心与圆交于点 C,E,AB 为圆的切线,B 为切点,BD⊥OA 于 D,F 在圆上且 FO⊥ OA 于 O.AC=a,AE=b,线段__________的长度是 a,b 的几何平均值,线段 __________的长度是 a,b 的调和平均值.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 17、(本小题满分 10 分)求下列关于实数 x 的不等式的解集: (1)-x +5x-6≤0;
2

(2)



18、(本小题满分 12 分)在等差数列{a }中,a =4,a +a =15.
n 2 3 8

(1)求数列{a }的通项公式;
n

(2)设

,求 b +b +b +?+b 的值.
1 2 3 10

19、(本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 的对 边, .

(1)求角 B 的大小; (2)求函数 的值域.

20、(本小题满分 12 分)某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏,如图,为 测量它的上下宽度(即 AB 的长度).一名学生站在如图 C 处测得 A,B 的仰角分 别为 60°,45°,从 C 点出发,沿着直线 OC 再前进 20 米到达 D 点,在 D 点测 得 A 的仰角为 30°.不考虑测角仪的高度和人的高度(即 C,D 视为测角仪所在 的位置,E 视为人的眼睛所在位置) (1)求电子显示屏的上下宽度 AB; (2)该生站在 E 点观看电子显示屏,为保证观看节目的视觉效果最佳,即 人的眼睛与 A,B 连线所成角最大,求 O,E 两点间的距离.(第二问结果保留一 位小数,参考数据: )

21、(本小题满分 12 分)定义:在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点(即 横坐标和纵坐标均为整数的点)称为“轴点”.设不等式|x|+|y|≤n(n∈N )


所表示的平面区域为 D ,记 D 内的“轴点”个数为 a .
n n n

(1)求 a ,a ,a ,并猜想 a 的表达式(不需要证明);
1 2 3 n

(2)利用(1)的猜想结果,设数列{a -1}的前 n 项和为 S ,数列
n n



前 n 项和为 T ,若对一切 n∈N ,
n +

恒成立,求实数 m 的取值范围.

22、 (本小题满分 12 分) 若数列{a }的前 n 项和 S 满足: S =2a -2, 记 b =log a .
n n n n n 2 n

(1)求数列{b }的通项公式;
n

(2)若 c =1,
1

,求证:c <3;
n

(3)记

,求

的值.(注:[x]表示

不超过 x 的最大整数,例:[2.1]=2,[-1.3]=-2)

答案与解析:

1、C

解析:A 中的解集是{x|x>1 或 x<-1},B 中的解集是 是 R,D 中的解集是{x|x≠-1},故答案为 C. 2、D

,C 中的解集

解析:由余弦定理得 =30°,故答案为 D. 3、C 解析:{a }是等比数列,∴a a =a a =27,
n 5 6 4 7

,又 0°<C<180°,∴C

log a +log a +?+log a =log (a a ?a )
3 1 3 2 3 10 3 1 2 10

=log (a a ) =5log a a =5log a a =5log 27=5×3=15,故答案为 C.
5 3 1 10 3 1 10 3 5 6 3

4、A 解析:∵csinA<a<c,∴这样的三角形有 2 个,即 m=2,∴a =6 =36.
m 2

5、C

解析:

故数列{a }是周期数列且周期 T=4,
n

,故选择 C.

6、B 解析:当 k=0 时不等式即为-3<0,不等式恒成立,当 k≠0 时,若不等式恒

成立,则 B.

,即

,即-24<k<0,综合知-24<k≤0,故选择

7、D

解析:由题知

是等差数列,又

,∴公差为

. 8、A

,故答案为 D.

解析:如图,山高为 AB=300m,塔高为 CD.

∴BC=300,∵∠EAB=60°,



Rt△ECD 中,



,故选择 A. 9、B 解析:∵|a |=|a |,∴a +a =0,又 a +a =a +a ,∴a =0.
5 11 5 11 5 11 8 8 8

又公差 d<0,∴a >0,a <0,∴S 中 S =S 最大,故选择 B.
7 9 n 7 8

10、A 解析:画出可行域,如图,

可知 z=ax+by 在 A(3,4)处取得最大值,故 3a+4b=1.



当 11、D 解析:

时取最小值,故选 A.

??

归纳出





,故选 D. 12、A

13、32

14、

15、 16、AB,AD 17、解:(1)不等式变形为:(x-2)(x-3)≥0,所以不等式解集为(- ∞,2]∪[3,+∞).(5 分)

(2)不等式等价于 2(x-a)(x-a -1)<0,
2



所以不等式解集为(a,a +1).(10 分)
2

18、解:(1)由 a =a +d=4,a +a =2a +9d=15 得 a =3,d=1.
2 1 3 8 1 1

∴a =a +(n-1)d=n+2(6 分)
n 1

(2)b =2 +2n+1
n n

(12 分)

19、解:(1)由正弦定理得:

20、解:(1)设 OB=x,则由∠OCB=45°,∠OCA=60°,∠ODA=30°, 得 OC=x, ,OD=3x.

则由 OD=OC+CD,得 3x=x+20,所以 x=10 所以电子屏的宽度 .(6 分)

(2)设 OE=y,则



当且仅当

即 y≈13.2 时,tan∠AEB 最大,即∠AEB 最大. 米.

答:(1)电子屏的宽度为

(2)当 OE 为 13.2 米时,观看节目的视觉效果最佳.(12 分) 21、解:(1)a =5,a =9,a =13,故猜想 a =4n+1.(4 分)
1 2 3 n

22、解:(1)当 n=1 时,S =2a -2,解得 a =2
1 1 1

当 n≥2 时,a =S -S =(2a -2)-(2a -2)=2a -2a
n n n-1 n n-1 n

n-1

即 a =2a
n

n-1

所以数列{a }是以 a =2 为首项,公比为 2 的等比数列
n 1

∴a =2·2 =2 ,从而 b =log a =n.
n-1 n n n 2 n

(3 分)

(2)由(1)知 ∴c =(c -c )+(c -c )+?+(c -c )+c (n≥2)
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1


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