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[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书:专题八 不等式



专题八

不等式

(见学生用书 P53)

(见学生用书 P53) 一、不等式的性质 不等式有八个性质,考查频率较高也是容易出错的有: 1.a>b 且 c>0?ac>bc;a>b 且 c<0ac<bc. 2.a>b>0,c>d>0?ac>bd>0.

二、不等式的解法 1. 一元二次不等式的解法: 求不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集, 先求 ax2+bx+c=0 的根,再由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象写出 解集. 2.分式不等式:先将右边化为零,左边通分,转化为整式不等 式求解. 3.一元三次不等式,用“穿针引线法”求解.

三、线性规划 1.解答线性规划的应用问题,其一般步骤如下:(1)设出所求的 未知数;(2)列出约束条件及目标函数;(3)画出可行域;(4)将目标函 数转化为直线方程,平移直线,通过 截距的最值找到目标函数最值;(5)将直线交点转化为方程组的 解,找出最优解. 2.求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描 述点,平移目标函数所在的直线 l,最先经过的或最后经过的整点便 是最优整点解.(2)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借 助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解. 四、基本不等式 1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b 2.a,b∈R+, 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 使用基本不等式要注意:“一正、二定、三相等”. 3.已知 x>0,y>0,则有:(1)若乘积 xy 为定值 p,则当 x=y 时, x+y 有最小值 2 p;(2)若 x+y 为定值 s,则当 x=y 时,乘积 xy 有最 s2 大值 4 .

(见学生用书 P54) 考点一 不等式性质 考点精析 1.同向不等式可以相加,异向不等式可以相减:若 a>b,c>d, 则 a+c>b+d(若 a>b,c<d,则 a-c>b-d). 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,异向不等式可以 a b 相除:若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd(若 a>b>0,0<c<d,则c>d). 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若 a>b>0,则 n n an>bn 或 a> b. 1 1 1 1 4.若 ab>0,a>b,则a<b;若 ab<0,a>b,则a>b. 例 1-1(2014· 四川卷)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A.d>c a b C.c >d a b B.d<c a b D.c <d )

考点:不等关系与不等式. 分析:利用特例法,判断选项即可. 解析:不妨令 a=3,b=1,c=-3,d=-1, a b 则c=-1,d=-1,∴C、D 不正确; a b 1 =- 3 , =- d c 3,∴A 不正确,B 正确.

答案:B 点评:本题考查不等式比较大小,特值法有效,代数计算正确即 可. 规律总结 此类试题常常会与命题真假的判断、大小关系的比较、充分必要 条件等知识综合考查,主要以选择题或填空题的形式考查.试题难度 不大,主要以考查不等式的基本性质和应用为主,求解过程中注重对 相关性质变形形式的理解和应用,同时注意思维的严谨性. 变式训练 【1-1】 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条 件的 a,b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号). 1 1 ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤a+b≥2. 解析:∵a>0,b>0, ∴a+b≥2 ab,即 2≥2 ab, ∴ab≤1.故①恒成立; 对于②,( a+ b)2=a+b+2 ab=2+2 ab≥2, ∴ a+ b≥ 2.故②不成立; 对于③,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2, ∴③恒成立; 对于④可采用特殊值代入法, a=1, b=1 满足题意, a3+b3=2<3, 故④不成立;

1 1 a+b 2 对于⑤,a+b= ab =ab≥2,故⑤恒成立. 答案:①③⑤ 考点二 不等式解法 考点精析 1.解不等式的基本思想方法——化归.如对于指数、对数不等 式,利用指数、对数函数的单调性化成一元一次或一元二次不等式. 2.解含参数不等式的难点在于求参数的恰当分类,关键是找到 对参数进行讨论的原因.确定好分类标准、层次清楚地求解. 例 2-1(2013· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. 考点:一元二次不等式的解法以及函数的奇偶性. 分析:先求出函数 f(x)在 R 上的解析式,然后分段求解不等式 f(x)>x,即得不等式的解集. 解析:设 x<0,则-x>0, 于是 f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x. 因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以-f(x)=x2+4x, 即 f(x)=-x2-4x,且 f(0)=0, x -4x, ? ? 0, 于是 f(x)=? ? ? -x2-4x,
2

x>0, x=0, x<0.

当 x>0 时,由 x2-4x>x,得 x>5;

当 x<0 时,由-x2-4x>x,得-5<x<0. 故不等式的解集 为(-5,0)∪(5,+∞). 答案:(-5,0)∪(5,+∞). 点评:本题考查一元二次不等式的解法及函数的奇偶性,考查了 学生分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 例 2-2 (2014· 长郡模拟)已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3) =1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( )

A.(2,3) B.(- 2, 2) C.(2,3)∪(-3,-2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 考点:一元二次不等式的解法;导数的几何意义. 分析:由函数 y=f′(x)的图象,知 x<0 时,f(x)是增函数;x>0 时, f(x)是减函数.由 f(-2)=1,f(3)=1,不等式 f(x2-6)>1 的解集满足 {x|-2<x2-6<3},由此能求出结果. 解析:∵函数 y=f′(x)的图象如题图所示, ∴当 x<0 时,f(x)是增函数; 当 x>0 时,f(x)是减函数.

∵f(-2)=1,f(3)=1, ∴由不等式 f(x2-6)>1 得 -2<x2-6<3, 解得-3<x<-2 或 2<x<3. 答案:C 点评:本题考查一元二次不等式的性质和应用,是基础题.解题 时要认真审题,注意导数的性质和应用. 规律总结 此类试题考查形式多样,常与集合、函数性质等内容相结合,以 选择题、填空题形式出现,难度较小,主要考查对一元二次不等式、 不等式组及分式不等式的解法等,属中等难度的题型. 变式训练 【2-1】 (2015· 黄冈模拟)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,可得二 次函数 f(x)=x2-ax+2a 的图象在 x 轴的上方,即一元二次方程 x2- ax+2a=0 的判别式 Δ=(-a)2-8a<0,解得 a∈(0,8). 答案:(0,8) 考点三 基本不等式 考点精析 1.a2+b2≥2ab(a,b∈R); a+b 2. 2 ≥ ab(a,b∈R+);

a b 3.b+a≥2(a,b 同号);
?a+b?2 a2+b2 ? ? 4.ab≤ 或 ab≤ 2 (a,b∈R); ? 2 ?

5.

a2+b2 a+b 2 + ≥ ≥ ab ≥ 2 2 1 1(a,b∈R ). a+b

1 2 例 3-1(2015· 湖南卷)若实数 a,b 满足a+b= ab,则 ab 的最 小值为( A. 2 C.2 2 考点:基本不等式. 1 2 分析:由条件a+b= ab知 a、b 均为正数,可直接利用基本不 等式求解. 解析:(方法 1)由题意可知, a>0,b>0,2 即 ab≥2 2, ∴(ab)min=2 2.故选 C. 1 2 (方法 2)由a+b= ab,通分可得 b+2a (2a+b)2 =ab, ab = ab, a2b2 即(2a+b)2=a3b3. 又由(2a+b)2≥8ab,得 8ab≤a3b3, 2 1 2 1 2 ≤ + = ab 当且仅当 ab a b a=b时,“=”成立, ) B.2 D.4

即 a2b2≥8,ab≥2 2,所以(ab)min=2 2.故选 C. 答案:C 点评:本题考查了基本不等式的应用,考查了学生的推理论证能 力,属于中档题. 例 3-2 (2013· 山东卷)设正实数 x, y, z 满足 x2-3xy+4y2-z=0, xy 2 1 2 则当 z 取得最大值时,x+y- z 的最大值为( A.0 9 C.4 考点:基本不等式. xy 分析:依题意,当 z 取得最大值时 x=2y,代入所求关系式 f(y) 2 1 2 =x+y- z ,利用配方法即可求得其最大值. 解析:∵x2-3xy+4y2-z=0, ∴z=x2-3xy+4y2. 又 x,y,z 均为正实数, xy xy ∴z= 2 x -3xy+4y2 =x 1 4y + y x -3 1 2 x 4y y× x -3 B.1 D.3 )



=1(当且仅当 x=2y 时取“=”),

?xy? ∴? z ?max=1,此时,x=2y. ? ?

∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y×y+4y2=2y2,
?1 ?2 2 1 2 1 1 1 ∴x+y- z =y+y-y2=-? y -1? +1≤1. ? ?

2 1 2 ∴x+y- z 的最大值为 1. 答案:B xy 点评:本题考查基本不等式,由 z 取得最大值时得到 x=2y 是关 键,考查配方法求最值,属于中档题. 规律总结 此类题型主要考查函数性质在不等式中的应用和基本不等式的 应用,是考试的热点题型,试题难度中等,主要以小题形式出现.解 题时应注意构造函数模型并运用单调性及数形结合思想, 基本不等式 的应用要注意等号成立条件. 变式训练 x y 【3-1】 (2015· 福建卷)若直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1), 则 a+b 的最小值等于( A.2 C.4 ) B.3 D.5

x y 1 1 解析:由直线a+b=1 过点(1,1),可得a+b=1,a+b=(a+
?1 1? b a b a b)?a+b?=2+a+b≥4,当且仅当a=b,即 a=b 时“=”成立,所以 ? ?

(a+b)min=4,故选 C. 答案:C 【3-2】 (2014· 湖北卷)某项研究表明:在考虑行车安全的情况 下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时) 与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 76 000v l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为______辆/时; (2)如果限定车型, l=5, 则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 ________辆/时. 解析:(1)F= 76 000v 76 000 = 121 , v +18v+20l v+ v +18
2

121 ∵v+ v ≥2 121=22,当 v=11 时“=”成立, ∴F= 76 000 ≤1 900, 121 v+ v +18

故最大车流量为 1 900 辆/时. (2)F = 76 000v 76 000v = 2 = v +18v+20l v +18v+100
2

76 000 100 , ∵ v + v ≥ 100 v+ v +18

2 100=20, ∴F≤2 000,2 000-1 900=100(辆/时). 故最大车流量比(1)中的最大车流量增加 100 辆/时. 答案:(1)1 900 (2)100

考点四 简单的线性规划 考点精析 解决线性规划问题的一般步骤 (1)确定线性约束条件; (2)确定线性目标函数; (3)画出可行域; (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解; (5)据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等). x≥0, ? ? M(a,b)在由不等式组?y≥0, 确定 ?x+y≤2 ?

例 4-1(2014· 湖北二模)点

的平面区域内, 则点 N(a+b, a-b)所在平面区域的面积是________. 考点:简单线性规划. 分析:设 m=a+b,n=a-b,则 N(a+b,a-b)为 N(m,n),由 M(a,b)满足的不等式组,化简整理得到 m、n 满足的不等式组,最 后以 m 为横坐标、n 为纵坐标的直角坐标系内作出相应的平面区域, 即可求出点 N(a+b,a-b)所在平面区域的面积. x≥0, ? ? 解析:由 M(a,b)满足?y≥0, ? ?x+y≤2, a≥0, ? ? 可得?b≥0, ? ?a+b≤2, 令 m=a+b,n=a-b,

则 N(a+b,a-b)为 N(m,n), 解得 2a=m+n,2b=m-n. 因为 a≥0,b≥0,且 a+b≤2, m+n≥0, ? ? ∴N(m,n)满足?m-n≥0, ?m≤2. ? 以 m 为横坐标,n 为纵坐标,在直角坐标系中画出不等式组表示 的平面区域如图,

得到△OEF,其中 O(0,0),E(2,-2),F(2,2), 1 可得 S△OEF=2×EF×2=4. 即得 N(a+b,a-b)所在平面区域的面积是 4. 答案:4 点评:本题给出 M(a,b)满足的不等式组,求点 N(a+b,a-b) 所在平面区域的面积, 着重考查了坐标变换公式和简单的线性规划及 其应用等知识,属于基础题. x≥0, ? ? 4-2(2014· 福建模拟)已知实数 x,y 满足?y≤1, 若 ? ?2x-2y+1≤0,



目标函数 z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数 a

的值为________. 考点:简单线性规划. 分析:将目标函数 z=ax+y 化成斜截式方程后得:y=-ax+z, 目标函数值 z 看成是直线族 y=-ax+z 的截距,当直线族 y=-ax+ z 的斜率与直线 AB 的斜率相等时,目标函数 z=ax+y 取得最小值的 最优解有无数多个,由此不难得到 a 的值. 解析:∵目标函数 z=ax+y,∴y=-ax+z. 故目标函数值 z 是直线族 y=-ax+z 的截距. 画出不等式组表示的可行域如图所示. 当直线族 y=-ax+z 的斜率与直线 AB 的斜率相等时, 目标函数 z=ax+y 取得最小值的最优解有无数多个, 直线 AB:2x-2y+1=0 的斜率为 1, 此时,-a=1,即 a=-1.

答案:-1 点评:目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目 标函数的解析式进行变形,化成斜截式;②分析 z 与截距的关系,是 符号相同,还是相反;③根据分析结果,结合图形得出结论;④根据 斜率相等求出参数.



x+y-1≥0, ? ? 4-3(2014· 全国卷Ⅱ)设 x, y 满足约束条件?x-y-1≤0, 则 ? ?x-3y+3≥0, ) B.7 D.1

z=x+2y 的最大值为( A.8 C.2

考点:简单的线性规划. 分析:先作出可行域,再结合图形求解最大值. 解析:画出可行域,如图所示. 1 z 将目标函数 z=x+2y 变形为 y=-2x+2, 1 z 当 z 取到最大值时,直线 y=-2x+2的纵截距最大. 1 故将直线 y=-2x 平移经过可行域,当平移到过 A 点时,z 取到 最大值.

? ?x-y-1=0, 解? 得 A(3,2),所以 zmax=3+2×2=7. ?x-3y+3=0, ?

答案:B 点评:本题考查线性规划的基本应用.作出可行域,运用截距法 求最值,是解线性规划的基本方法.

规律总结 简单线性规划问题在实际生活、生产中应用十分广泛,也是历年 高考必考的一个重点.考查中三种题型都有,但以选择题和填空题为 主,命题的重点是简单线性规划中最值问题的求解.近几年高考命题 的形式趋向多样化, 如以不等式组确定平面区域为背景考查平面区域 面积;已知线性规划中目标函数的最值确定参数的取值;线性约束条 件下的非线性目标函数的最值;线性规划问题与平面向量的数量积、 线性规划与其他知识模块的综合等.求解最值的方法在数列、函数、 平面解析几何问题中的应用等已逐步成为今后高考命题的趋势. 变式训练 【4-1】 (2014· 肇庆二模)直角坐标系 xOy 中,已知两定点 A(1, → ·OB → ≤2, ?0≤OP 0),B(1,1).动点 P(x,y)满足? 则点 M(x+y,x- → → ?0≤OP· OA≤1, y)构成的区域的面积等于______. → ·OB → ≤2, ?0≤x+y≤2, ?0≤OP ? 解析:由? 得? ? →· → ≤1, ?0≤x≤1, ?0≤OP OA 1 ? x = ? 2(s+t), ? ?s=x+y, 设 M(s,t),则? 解得? 1 ?t=x-y, ? ? y = ? 2(s-t),
? ?0≤x+y≤2, ? ?0≤s+t≤2, 由? 得? ?0≤x≤1, ?0≤s≤2. ? ?

作出不等式组对应的平面区域, 则区域对应平行四边形 OEFG,

且 E(0,2),F(2,0),G(2,-2), 1 所以四边形的面积 S=2×2×2×2=4,

答案:4 【4-2】 (2014· 福建卷)已经知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面 x+y-7≤0, ? ? 区域 Ω:?x-y+3≥0,若圆心 C∈Ω,且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+ ? ?y≥0. b2 的最大值为( A.5 C.37 ) B.29 D.49

x+y-7≤0, ? ? 解析:作出不等式组?x-y+3≥0,表示的平面区域 Ω(如图中阴 ? ?y≥0 影部分所示,含边界),圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1 的圆心坐标为(a,
? ?x+y-7=0, b),半径为 1.由圆 C 与 x 轴相切,得 b=1.解方程组? 得 ?y=1 ? ?x=6, ? ? 即直线 x+y-7=0 与直线 y=1 的交点坐标为(6,1),设此点 ?y=1, ?

为 P.

又点 C∈Ω,则当点 C 与 P 重合时,a 取得最大值, 所以 a2+b2 的最大值为 62+12=37,故选 C. 答案:C

(见学生用书 P58)

y≥x, ? ? 例(2014· 湖南模拟)设 m>1,在约束条件?y≤mx,下,目标函数 ? ?x+y≤1 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为( A.(1,1+ 2) C.(1,3) B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞) )

1 z 考场错解:变形目标函数为 y=-mx+m. y≥x, ? ? 作不等式组?y≤mx(m>1),表示的平面区域(如图中的阴影部 ? ?x+y≤1 分所示).

1 z 当直线 l:y=-mx+m在 y 轴上的截距最大时,目标函数取最大 值. 平移直线 l,当 l 过点 B 时,z 有最大值.
? ?y=x, ?1 1? 由? 得交点 B?2,2?. ? ? ? ?x+y=1,

1 m 因此 z=x+my 的最大值 zmax=2+ 2 . 1 m 依题意,2+ 2 <2(m>1),得 1<m<3. 故实数 m 的取值范围是(1,3),选 C 项. 专家把脉:(1)忽视条件 m>1,没能准确判定直线 l 的斜率范围, 导致错求最优解,从而错得实数 m 的取值范围. (2)本题易出现不能正确画出可行域或错认为直线 l 过原点时,z 取得最大值的错误. 1 z 对症下药:变形目标函数为 y=-mx+m. y≥x, ? ? 作不等式组?y≤mx(m>1),表示的平面区域(如图中的阴影部 ? ?x+y≤1 分所示).

1 ∵m>1,∴-1<-m<0. 1 z 因此当直线 l:y=-mx+m在 y 轴上的截距最大时,目标函数取 得最大值.显然在点 A 处,直线 l 的截距最大.
? ? 1 m ? ?y=mx, 由? 得交点 A?1+m,1+m?. ? ? ?x+y=1, ?

1 m2 因此 z=x+my 的最大值 zmax= + . 1+m 1+m 1 m2 依题意 + <2,即 m2-2m-1<0, 1 +m 1 +m 解得 1- 2<m<1+ 2, 故实数 m 的取值范围是(1,1+ 2),选 A 项. 专家会诊:(1)审清题意,不能忽视参数取值的影响.(2)对于题 目中最值条件的确定至关重要,明确目标函数的最值与 m 的关系, 且计算一定要准确,防止误选 B、D 的错误.

(见学生用书 P131) 一、选择题 1.(2014· 山东卷)已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系

式恒成立的是( A.x3>y3 B.sin x>sin y

)

C.ln(x2+1)>ln(y2+1) 1 1 D. 2 > 2 x +1 y +1 解析:因为 0<a<1,ax<ay,所以 x>y.对于选项 B,取 x=π,y π = 2 ,则 sin x<sin y,显然 B 错误.对于选项 C,取 x=-1,y=-2, 则 ln(x2+1)<ln(y2+1),显然 C 错误.对于选项 D,取 x=2,y=1, 1 1 则 2 < 2 ,显然 D 错误.当 x>y 时,一定有 x3>y3 成立,所以选 x +1 y +1 A. 答案:A 2.下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x2+4)>lg x(x>0) 1 B.sin x+sin x≥2(x≠kx,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 1 D. 2 > (x∈R) x +1 (x+1)2 1 解析:A 选项不成立,当 x=2时,不等式两边相等; B 选项不成立, 这是因为正弦值可以是负的, 故不一定能得出 sin )

1 x+sin x≥2; C 选项是正确的,这是因为 x2+1≥2|x|(x∈R)?(|x|-1)2≥0; D 选项不正确,令 x=0,则不等式左右两边都为 1,不等式不成 立. 综上,C 选项是正确的. 答案:C 3.(2015· 天津卷)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析:|x-2|<1?1<x<3, ∵ {x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集, ∴ “1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要条件. 答案:A 4. (2015· 陕西卷)设 f(x)=ln x, 0<a<b, 若 p=f( ab), q=f? 1 r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.p=r<q 解析:p=f( ab)=ln 1 =2ln(ab)=ln B.q=r>p D.p=r>q ab,q=f?
?a+b? a+b 1 ?=ln , r = 2 2(f(a)+f(b)) ? 2 ? ?a+b? ?, ? 2 ?

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

ab,函数 f(x)=ln x 在(0,+∞)上单调递增,因为

?a+b? a+b ? ?>f( ab),所以 q>p=r,故选 C. > ab ,所以 f 2 ? 2 ?

答案:C x+y≥0, ? ? 5.(2015· 福建卷)变量 x,y 满足约束条件?x-2y+2≥0,若 z= ? ?mx-y≤0. 2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等于( A.-2 C.1 B.-1 D.2 )

解析:根据题意,作出可行域(如图中阴影部分),当直线 y=2x -z 过点 B 时,纵截距-z 取得最小值,此时目标函数 z=2x-y 取得 最大值 2,
?x-2y+2=0, ? 由? ? ?mx-y=0, ? 2 2m ? 得 B?2m-1,2m-1?, ? ?

4-2m 2 2m 所以 zmax=2× - = =2, 2m-1 2m-1 2m-1 解得 m=1,故选 C. 答案:C 6.(2015· 陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种

原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所 示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该 企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) A.12 万元 C.17 万元 3 1 ) 乙 2 2 B.16 万元 D.18 万元 原料限额 12 8

解析:设核企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x、y 吨,则利 3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8, 润 z=3x+4y.由题意可得? 其表示如图阴影部分区域. x≥0, ? ?y≥0,

当直线 3x+4y-z=0 过点 A(2,3)时,z 取得最大值,所以 zmax =3×2+4×3=18,故选 D. 答案:D 二、填空题 7. (2014· 江苏卷)已知函数 f(x)=x2+mx-1 在 x∈[m, m+1]都有 f(x)<0,则实数 m 的取值范围为__________.

解析:根据题意,得
2 2 ? ?f(m)=m +m -1<0, ? 2 ? ?f(m+1)=(m+1) +m(m+1)-1<0,

2 解得- 2 <m<0. 答案:?-
? ?

2 ? ? 2 ,0?

8.偶函数 y=f(x)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)<0 的解集是____________. 解析:因为函数 y=f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -1,所以函数 y=f(x-1)的图象如图,

则满足 f(x-1)<0 的解集是{x|0<x<2}. 答案:{x|0<x<2} 9.(2015· 合肥质检)在三角形 ABC 中,过中线 AD 的中点 E 作直 → =xAB → ,AN → =yAC → ,则 线分别与边 AB 和 AC 交于 M,N 两点,若AM 4x+y 的最小值是________. 解析:如图所示,

→ =1AD → =1AB → +1AC → = 1 AM → + 1 AN →. AE 2 4 4 4x 4y ∵ M,E,N 三点共线, 1? ?1 1 1 1 y x 1 ? + ?=1+ + + ≥1+ ∴ 4x+4y=1. ∴ 4x+y=(4x+y)· 4 4x y 4 ?4x 4y? +2 y x 9 4x·y=4,当且仅当 y=2x 时等号成立. 9 答案:4 10.若 a,b 均为正实数,且 a+ b-a≤m b恒成立,则 m 的 最小值是________. 解析:原不等式可化为 a 令 x=b, 则原问题就等价于求 f(x)= x+ 1-x的最大值, 其中 x≤1. [f(x)]2=1+2 x(1-x), 1 由于 g(x)=x(1-x)=x-x2 的最大值为4, 故 f(x)的最大值为 2, 所以 m≥ 2. 答案: 2 11.(2014· 江西二模)已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由 a b+ a 1-b≤m,

x+y-5≤0, ? ? 不等式组?y≥x, 确定,若 M(x,y)为区域 D 上的动点,点 A ? ?x≥1 → ·OM → 的最大值为________. 的坐标为(2,3),则 z=OA → ·OM → =2x+3y,则 y=-2x+ z , 解析:z=OA 3 3 作出不等式组对应的平面区域如图:

2 z 平移直线 y=-3x+3,当直线经过点 B 时,直线的截距最大, 此时 z 最大.
? ? ?x=1, ?x=1, 由? 解得? ?x+y-5=0, ?y=4, ? ?

即 B(1,4),此时 z 的最大值为 z=2+3×4=14. 答案:14 12.给出下列命题: ①方程 2x-logax=0 的解有 1 个; ②(x-2)· x-1≥0 的解集为[2,+∞); ③“x<1”是“x<2”的充分不必要条件; ④函数 y=x3 过点 A(1,1)的切线是 y=3x-2;

→ +AB → +AC → =0, ⑤△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2OA → |=|AB → |,则向量BA → 在向量BC → 方向上的投影为1.其中真命题的序 且|OA 2 号是__________(写出所有正确命题的编号). 解析:①当 0<a<1 时,方程 2x-logax=0 的解有 1 个;当 a>1 时,方程 2x-logax=0 无解,故①不正确; ②(x-2)· x-1≥0 的解集为[2,+∞)∪{1},故②不正确; ③由“x<1”能推出“x<2”,但由“x<2”,不能推出“x<1”(如 x=1.5), 故“x<1”是“x<2”的充分不必要条件,故③正确; ④函数 y=x3 过点 A(1,1)的切线的斜率为 3,切线方程为 y-1 =3(x-1),即 y=3x-2,故④正确; → +AC → =2AO →, ⑤如图: △ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, AB → |=|AB → |,∴O 为 BC 的中点,BC 为直径,三角形 AOB 为等边三 且|OA → 在向量BC → 方向上的投影为 1×cos 60°=1,故⑤正 角形,则向量BA 2 确.

答案:③④⑤ 三、解答题 13.(2015· 武汉模拟)若正数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,且不等式 (x+2y)a2+2a+2xy-34≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
[来源:Z,xx,k.Com]

解析:∵ 正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy, 即 x+2y=4xy-4, ∴ 不等式(x+2y)a2+2a+2xy-34≥0 恒成立, 即(4xy-4)a2+2a+2xy-34≥0 恒成立, 变形得 2xy(2a2+1)≥4a2-2a+34 恒成立, 2a2-a+17 即 xy≥ 恒成立. 2a2+1 又∵ x>0,y>0,∴ x+2y≥2 2xy, ∴ 4xy=x+2y+4≥4+2 2xy, 即 2( xy)2- 2 xy-2≥0, ∴ 2 xy≥ 2或 xy≤- 2 (舍去),可得 xy≥2.

2a2-a+17 2a2-a+17 要使 xy≥ 恒成立,只需 2≥ 恒成立, 2a2+1 2a2+1 5 化简得 2a2+a-15≥0,解得 a≤-3 或 a≥2.
?5 ? 故 a 的取值范围是(-∞,-3]∪?2,+∞?. ? ?

14.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂 直于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射 1 后的轨迹在方程 y=kx-20(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发 射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千

米, 试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

1 解析:(1)令 y=0,得 kx-20(1+k2)x2=0, 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= 2= 1≤ 2 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1+k k+k 所以炮的最大射程为 10 千米. 1 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka-20(1 +k2)a2 成立, 即关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 11-kx 15.已知函数 f(x)=log2 为奇函数. x-1 (1)求常数 k 的值; (2)若 a>b>1,试比较 f(a)与 f(b)的大小;
?1?x (3)若函数 g(x)=f(x)-?2? +m,且 g(x)在区间[3,4]上没有零点, ? ?

求实数 m 的取值范围. 11-kx 解析:(1)∵f(x)=log2 为奇函数, x-1

∴f(-x)=-f(x), 1 1+kx 11-kx 1 x-1 即 log2 =-log2 =log2 , -x-1 x-1 1-kx ∴ 1+kx x-1 = , -x-1 1-kx

即 1-k2x2=1-x2, 整理得 k2=1. ∴k=-1(k=1 使 f(x)无意义而舍去). 11+x (2)∵f(x)=log2 . x -1 1+a 11+a 11+b 1a-1 ∴f(a)-f(b)=log2 -log2 =log2 a-1 b-1 1+b b-1 1(1+a)(b-1) 1ab-a+b-1 =log2 = log2 . (a-1)(1+b) ab+a-b-1 当 a>b>1 时,ab+a-b-1>ab-a+b-1>0, ab-a+b-1 ∴0< <1, ab+a-b-1 1ab-a+b-1 1 从而 log2 >log21=0, ab+a-b-1 即 f(a)-f(b)>0.∴f(a)>f(b). (3)由(2)知,f(x)在(1,+∞)递增,
?1?x ∴g(x)=f(x)-?2? +m 在[3,4]递增. ? ?

∵g(x)在区间[3,4]上没有零点, 11+1 ?1?3 9 ∴g(3)=log2 -?2? +m=-8+m>0 3-1 ? ?

11+4 ?1?4 15 1 或 g(4)=log2 -?2? +m=log23-16+m<0, 4-1 ? ? 9 1 15 ∴m>8或 m<16-log23.



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