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《指数函数及其性质》教学设计


《指数函数及其性质》教学设计 一、知识与技能 1.掌握指数函数的概念、图象和性质。 2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象。 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质。 二、过程与方法 1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如 具体到一般的过程,数形结合的方法等。 2.通过探讨指数函数的底数 a>0,且 a≠1 的理由,明确数学概 念的严谨性和科学性,做一个具备严谨科学态度的人。 三、情感态度与价值观 1.通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的兴趣。 2.体会指数函数是一类重要的函数模型,并且有广泛的用途,逐 步培养学生的应用意识。 指数函数的概念、图象和性质。 对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 多媒体课件 教学过程 师生互动 设计意图

教学目 标

教学重 点 教学难 点 教具

教学环节 (一)创设情景

学生思考,教师组织学生交流各自的想 问题 1:某种细胞分裂 时,由 1 个分裂成 2 个,2 法,捕捉学生交流中与下列结论有关的信 息,并简单板书 个分裂成 4 个,??一个 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表 这样的细胞分裂 x 次 后,得到的细胞分裂的 x 示为 y=2 个数 y 与 x 之间,构成 一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系 式吗?

通过问题 引导学生 思考我们 本节课的 教学重 点,锻炼 学生的主 动思考能 力总结归 纳能力。

学生回答::y 与 x 之间的关系式,可以表 问题 2 : 一种放射性物 质不断衰变为其他物 质 , 每 经 过一 年 剩留的 质量约是原来的 84%. 求 出这种物质的剩留量随 时 间 ( 单位 : 年 ) 变化的 函 数 关 系 . 设 最 初的质 量为1,时间变量用 x 表 示为 y=0.84
x

教师提问:你能发现关系式

y=2x, y

=0.84

x

有什么相同的地方吗?

学生讨论,教师引导学生观察,两个函数 中,底数是常数,指数是自变量。

通过两个 生活中的 例子引导 学生发现 规律,并 总结出指 数函数的

示,剩留量用 y 表示。

学生回答:这两个函数都是函数 具体形式. 教师总结:函数

y=ax 的

y=ax 是一类重要的函数

模型,并且有广泛的用途,它可以解决好 多生活中的实际问题,这就是我们下面所 要研究的一类重要函数模型——指数函 数. 教师结合引入,给出指数函数的定义 (二)讲解新课 学生思考, 教师适时点拨, 给出如下解释: (一)指数函数的概念 (1)若 a<0 会有什么问题? 1 x 一般地, 函数 y=a 如 a ? ?2, x ? 则在实数范围内相应的函 2 ( a > 0, a≠ 1 )叫做指 数值不存在; 数函数,其中 x 是自变 (2)若 a=0会有什么问题? 量,函数的定义域是 R. 对于 x ? 0 , a x 无意义 问题:指数函数定义中, 为 什 么 规 定 “ a ? 0且a ? 1 ”如果不 这样规定会出现什么情 况? (3)若 a=1又会怎么样? 1 无论 x 取何值,它总是1,对它没有研究 的必要. 教师:为了避免上述各种情况的发生 ,所 以规定 a ? 0 且 a ? 1
x

定义。教 师通过总 结归纳让 学生学习 到归纳重 点的重要 性。

对于指数 函数的定 义的认识 需要深 入,通过 问题启发 学生思考 什么样的 函数才是 指数函 数,有助 于帮助学 生更好的 理解定 义,对判 断指数函 数有很大 的优点。

(三)例题讲解 学生回答: (1)只有第 6 个是指数函数. (2)a=2 例 1 :指出下列函数那 x 些是指数函数: 方法引导:指数函数的形式就是 y = a ,

y=2·3 ;y=3 ; ax 的系数是 1,其他的位置不能有其他 y=x3 ; y= - 3x ; y= 的系数,但要注意化简以后的形式 . 有
些函数貌似指数函数,实际上却不是,

x

x -1

(-4) ;y=π ;

x

x

例如

y=ax+k( a> 0,且 a≠ 1, k∈ Z) ; y=a-x(a>0,且
x
-1

y=4 x ;y=xx;
2

有些函数看起来不像指数函数,实际上 却是指数函数,例如 是指
-x

巩固学生 对指数函 数定义的 理解,通 过例题检 验学生对 定义的理 解情况。

例 2:若函数

a ≠ 1) ,这是因为它的解析式可以等价化
归为 y=a

数函数,则 a=

=(a ) ,其中 a

-1

> 0,



a-1≠1.如 y=23x 是指数函数,因为 y=8x.要注意幂底数的范围

可以化简为

和自变量 x 所在的部位,即指数函数的 自变量在指数位置上 . (二) .指数函数的图像 教师提问:作图的基本方法是什么? 及性质 学生回答:列表、描点、连线. 在同一平面直角坐标系 学生动手自行完成 内画出指数 函数 y ? 2 x

x
y ? 2x

-3

-2

-1

0 0.5 1

2

?1? 与 y ? ? ? 的图象 ?2?

x

?1? y?? ? ?2?

x

y 0 x

锻炼学生 的动手能 力,更让 学生直观 地了解指 数函数的 图像。学 生观察四 个图像的 特点总结 图像的整 体变化趋 势。

从画出的图象中,你能 从图中我们看出 1 发现函数的图象与底数 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象有什么关系? 间有什么样的规律? 2 通过图象看出 1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象关于y轴对称, 2 实质是 y ? 2x 上的 点(-x, y )
1 与y =( )x上点(-x, y )关于y轴对称. 2 a>1 0<a<1 图 象

问题 2: 根据函数的图象 研究函数的定义域、值 域、特殊点、单调性、 最大(小)值、奇偶性. 问题 3:指数函数 y ? a x

学生通过 观察图像 总结性 质。

( a >0 且 a ≠1) ,当底 数越大时,函数图象间有 什么样的关系.

(1)定义域为(-∞,+∞) ;值 域为(0,+∞) (2) 过点 (0, 1) , 即 x=0 时, y=a0=1 (3)若 x (3)若 x> x >0,则 a >1; 0,则 0<ax<1; 若 x<0,则 若 x<0, 则 ax>1 0<ax<1 (4)在 R 上是 (4) 在 R 上是减 增函数 函数 教师:我们已经有过求函数定义域的一些 实战经验,你觉得求函数定义域时哪些方 (四)巩固与练习 面应该引起你的高度注意? 例 3: 求下列函数的定义 学生交流自己的想法,教师归纳,得出如 下结论 域: (1)分式的分母不能为 0; 1 (2 )偶次根号的被开方数大于或等 (1)y=8 2 x ?1 ; 于 0; 1 (3)0 的 0 次幂没有意义. (2)y= 1 ? ( ) x . 2 教师:这些注意点在我们所要解决的问 例 4: 比较下列各题中 题中又没有出现,是否还有其他新的要 两值的大小比较下列各 求或限制条件? 学生讨论交流,并板演解答过程,教师组 题中两个值的大小: 织学生进行评析,规范学生解题

性 质

(1)1.7 ,1.7 ; (2) 0.8
-0.1

2.5

3

解: (1)∵2x-1≠0,∴x≠ ,原函 数的定义域是{x|x∈R,x≠ };
x 1 ) ≥0,∴( 1 ) 2 2 x x 1 1 ≤1=( )0.∵函数 y=( ) 在定义 2 2

,0.8

-0.2



1 2

(3) 1.7 , 0.9 .

0.3

3.1

1 2

(2)∵1-(

域上单调递减, ∴x ≥ 0. ∴原函数的定义域是[ 0 ,+ ∞). 教师:你能发现题中所给的各式有哪些共 同点和不同点吗?这些特点能否给你解 答该题有所启示呢? 学生讨论,教师适时点拨,得出如下解析 过程 解: (1)1.7
2.5

,1.7

3

可看作函数

y=1.7x 的两个函数值.
由 于 底 数 1.7 > 1 , 所 以 指 数 函 数

学生巩固 练习,也 是对本每 节课学习 内容的检 验。同时 总结方法 是:在解 决比较两 个数的大 小问题 时,一般 情况下是 将其看作 是一个函 数的两个 函数值, 利用函数 的单调性 比较。当 两个数不 能直接比 较时,我 们可以将 其与一个 已知数进 行比较大 小,从而 得出该两 数的大小 关系。

y=1.7x 在 R 上是增函数.
因为 2.5<3,所以 1.7 (2)0.8
-0.1 2.5

<1.7 .

3

, 0.8

-0.2

可看作函数

y=0.8x 的两个函数值.
由 于 底 数 0.8 < 1 , 所 以 指 数 函 数

y=0.8x 在 R 上是减函数.
因为- 0.1 >- 0.2 ,所以 0.8 - 0.1 <

0.8

-0.2

.
0.3

(3)因为 1.7

、0.9

3.1

不能看作

同一个指数函数的两个函数值,所以我们 可以首先在这两个数值中间找一个数值, 将这一个数值与原来两个数值分别比较 大小,然后确定原来两个数值的大小关 系。 由指数函数的性质知 1.7
3.1 0 0.3

>1.7 =1,
0.3

0

0.9 < 0.9 =1 , 所 以 1.7 > 0.9
五、巩固练习 课本课后练习 1、2
3.1

学生完成后,同桌之间互相交流解答过程

六、课堂小结

七、布置作业

1. 指数函数的定义以及指数函数的 一般表达式的特征。 2. 指数函数简图的作法以及应注意 的地方。 3.指数函数的图象和性质。 4.结合函数的图象说出函数的性质, 这是一种重要的数学研究思想和研究方 法——数形结合思想(方法) 。 5. a 的取值范围是今后应用指数函 数讨论问题的前提。 课本习题

对本节课 的小结, 帮助学生 很好的总 结知识 点。


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