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高二第二学期期末考试理科数学试题



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2011-2012 学年高二第二学期期末考试试题 理科数学
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答

案正确填写在答题卡上

3 3 A. a= b

3 3 B. a < b

3 3 3 3 C. a= b且 a< b

3 3 3 3 D. a= b或 a< b

8.抛物线 y 2 ? 4 x 上的点 p 到抛物线的准线的距离为 d1 ,到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离为 d 2 ,则

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

d1 ? d 2 的最小值为(
A.

)

一、选择题(12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
?3-i?2 ? =( 1.复数? ?1+i? A.-3-4i ) C .3-4i
)

5 5

B.

6 5

C.2

D.

12 5

9. 函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 y ? f '( x) 的图象是如图

B.-3+4i

D.3+4i

所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象不经过 ( ... A.第一象限 B.第二象限 D.第四象限



2.下列求导数运算正确的是(
A.(x+

? ? )′=1+ ? x x
x

B.(log2x)′=

? xIn ?

C.(3x)′=3xlog3e ( )

D.(x2cosx)′=-2xsinx

C.第三象限 10.给出以下命题: ⑴若

3.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A、 (??,2) B、 (0,3) ) C、 (1,4)

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ? sin xdx ? 4 ; 0

2?

D、 (2,??)

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx ;

4.下列推理正确的是(

A 把 a(b ? c) 与 loga ( x ? y) 类比,则有: loga ( x ? y) ? loga x ? loga y . B 把 a(b ? c) 与 sin( x ? y) 类比,则有: sin( x ? y) ? sin x ? sin y . C 把 (ab)
n

D.0

11.已知函数 f ( x) ? ( )

ln x ,若方程 f ( x) ? m 存在两个不同的实数解,则实数 m 的取值范围为 x 1 e 1 e

与 (a ? b)

n

类比,则有: ( x ? y) ? x ? y .
n n n

D 把 (a ? b) ? c 与 ( xy) z 类比,则有: ( xy) z ? x( yz ) . 5.已知 y ? a sin x ? A、 a ? ??

A. ( 0, )

1 e

B. (0, e)

C. (?? , )

D. ( 0, ] 时取得极大值, x ? (1, 2) 时 当

1 ? sin 3x 在 x ? 处有极值,则( 3 3

)

12. R 上可导的函数 f ( x) ? 在 取得极小值,则 A. ( ?

B、 a ? ?

? ? C、 a ? ?
)

D、 a ? ?

6.

?

   1

   0

(e x ? 2 x)dx 等于:(

1 1 , ) 2 2

b?4 的取值范围是( a?3 1 1 B. ( ? , ) 2 4

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c , x ? (, 0 1 ) 当 3 2
) C. ( ,1)

1 4

D. ( ,1)

1 2

A.1

B. e ? 1

C. e ? 1 )

D. e

3 3 7.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”假设的内容应是(

二、填空题(4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页

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13.函数 y=x

3

-3x 在[-1,2]上的最小值为
?
2
处的切线与直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 等

? 函数数列 f n ( x)?满足:f1 ( x) ?
(1)求f 2 ( x),f 3 ( x)的解析式;

x 1? x2

( x ? 0), f n ?1 ( x) ? f1 ? f n ( x)?

14.若曲线 f ( x) ? x ? sin x ? 1 在 x ? 于

(2)猜想f n ( x)的解析式,并用数学归 纳法证明
. 20.(本小题 12 分) 已知 f (x) 是定义在 ?? e, e? 上的奇函数,当 x ? ?0, e? 时, f ( x) ? e x ? ln x ,其中 e 是自然 对数的底数. (1)求 f (x) 的解析式; (2)求 f (x) 的图象在点 P(?1, f (?1)) 处的切线方程. 21.(本小题 12 分)

15.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是

16 设 {an }是集合 t ? 2 s | 0 ? s ? t, 且s, t ? Z} 中 所 有 的 数 从 小 到 大 排 列 成 的 数 列 , {2 即 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 6, a4 ? 9, a5 ? 10, a6 ? 12,?. 将数列 {an } 各项按照上小下大,左小右大 的原则写成如下的三角形数表,则求 a100 = 3 5 9 — — — — — 10 — — 6 12 — —

已知函数f ( x) ? a ln x ? bx2 在图像上一点P (2, f (2))处的切线方程为 ? ?3 x ? 2 ln 2 ? 2. y (1)求a, b的值; ?1 ? (2)若方程f ( x) ? m ? 0在? , e?内有两个不等实根,求 的取值范围 m ?e ?
22. (12 分)已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 (1)求函数 f (x) 在 (0,??) 上的最小值 (2)对一切的 x ? (0,?? ),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围 (3)证明对一切 x ? (0,?? ) ,都有 ln x ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a .
3 2

(1)求 f (x) 的单调区间和极值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有三个不等的实根,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题 12 分) 已知复数 z ? sin ? ? 2i (0 ? ? ?

1 2 ? 成立 x ex e

?
2

) ,且 z ? (

2 1 ? i) ? z ? 2i ,求倾斜角为 ? 并经过点 4 2

(?6,0) 的直线 l 与曲线 y ? x 2 所围成的图形的面积.(其中z与z互为共轭复数)
19.(本小题 12 分)

第3页 共4页



第4页 共4页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 13. 17. (10 分) 解: (1) f ?( x) ? ?3x 2 ? 6 x ? 9. 14. 15. 16. 9. 10. 11. 12.

令f ?( x) ? 0, 解得 ? 1 ? x ? 3.所以函数f ( x)的单调递增区间为?1,3). ( 令f ?( x) ? 0, 解得x ? ?1或x ? 3.所以函数f ( x)的单调递减区间为??,?1), (3,??) (

? f ( x)极小值=f (?1) ? a ? 5, f ( x)极大值=f (3) ? a ? 27
(2)由(1)知若 方程f ( x) ? 0, 有三个不等的实根,则

? {a -?5270?0 a
125 6

解得-27<a<5

所以 a 的取值范围是(-27,5)

18.

答案第 1 页,总 2 页

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20. 解: (1)设

,则

,又

,故

(2) 故过点

,故 的切线方程为

,当

时 ,即



21.(12 分)

1 1 ,当且仅当 x= 时取得 e e 3 3 (2) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? , 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) , x x ( x ? 3)( x ? 1) , x ? (0,1), h' ( x) ? 0 , h(x) 单调递减, x ? (1,??) , h' ( x) ? 0 , h(x) 单 则 h' ( x ) ? x2 2 调递增, h( x) min ? h(1) ? 4 , 因为对一切 x ? (0,?? ) , f ( x) ? g ( x) 恒成立, a ? h( x) min ? 4 ? ? x 2 (3)问题等价于证明 x ln x ? x ? , x ? (0,?? ) , e e 1 1 由(1)可知 f ( x) ? x ln x , x ? (0,?? ) 的最小值为 ? ,当且仅当 x= 时取得 e e x 2 1? x 1 设 m( x) ? x ? , x ? (0,?? ) ,则 m ' ( x ) ? x ,易得 m( x) max ? m(1) ? ? 。当且仅当 x=1 e e e e
22.解: (1)可知 f ( x) ? x ln x , x ? (0,?? ) 的最小值为 ? 时取得.从而对一切 x ? (0,?? ) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立 x xe e

答案第 2 页,总 2 页



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