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2015-2016高中数学 2.3.2空间两点间的距离学案 苏教版必修2



2.3.2

空间两点间的距离

如下图所示,一只小蚂蚁站在水泥构件点 O 处,在 A,B,C,D,E 处放有食物,建立适 当的空间直角坐标系, 可以告诉小蚂蚁食物的准确位置. 你能告诉它怎样才能在最短的时间 内取到食物吗?

1.若在空间直角坐标系 Oxyz 中点 P 的坐标是(x,y,z),则 P 到坐标原点 O 的

距离 OP = x2+y2+z2. 2.在空间直角坐标系 Oxyz 中,设点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)是空间中任意 两点,则 P1 与 P2 之间的距离 P1P2= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. 3.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 P(x0,y0,z0)到平面 xOy 的距离为|z0|,到 x 轴的 距离为 y20+z20.

1

空间两点间的距离公式 (1)已知空间中两点 A、B 的坐标为 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则这两点间的距 离为 AB= (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.特别地点 A(x,y,z)到原点的距离 为:OA= x2+y2+z2.记忆上述公式时可以类比平面解析几何中两点间的距离公式. (2)空间两点间的距离公式的推导思路. 思路一:当两点连线与坐标平面不平行时,过两点分别作三个坐标平面的平行平面,转 化为求长方体的对角线长, 从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可, 而棱长可在平面内 用平面上两点间的距离公式求得. 思路二:作线段在三个坐标平面上的正投影,把空间问题转化为平面问题加以解决. (3)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤: a.在立体几何图形中建立空间直角坐标系; b.依题意确定各相应点的坐标;c.通过坐标运算得到答案.

基 础 巩 固 知识点一 空间中两点间的距离公式 1.点 P? 3 6? ? 2 , , ?到原点的距离是________. 3 6? ?2

解析:由两点间距离公式可得. 答案:1

2.在 x 轴上与点 A(-4,1,7)和点 B(3,5,-2)等距离的点的坐标为________. 解析:设 x 轴上的点的坐标为(x,0,0),则由距离公式得:(x+4)2+|-1|2+(-7)2 =(x-3)2+(-5)2+22. 解得 x=-2. 答案:(-2,0,0)

3.已知点 P 在 z 轴上,且满足 PO=1(O 是坐标原点),则点 P 到 A(1,1,1)的距离是 ________.
2

解析: 设 P(0, 0, c), ∵PO=1, ∴c=±1.当 c=1 时, PA= 2; 当 c=-1 时, PA= 6. 答案: 2或 6

知识点二 空间中两点间距离公式的简单应用 4.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的射影,则 OB 等于________. 解析:∵A(1,2,3)在平面 yOz 内的射影为 B(0,2,3),∴OB= 13. 答案: 13

5.设 A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0),AB 的中点 M,则 CM=________.

? 3 ? 解析:由中点公式得 M?2, ,3?, ? 2 ?
∴CM= 答案: 2 53 ?3 ? (2-0)2+? -1? +(3-0)2= . 2 ?2 ? 53 2

6.已知空间三点 A(0,0,3)、B(4,0,0)、C(4,5,0),求△ABC 的周长. 解析:∵AB= (0-4)2+02+(3-0)2=5,

BC= (4-4)2+(0-5)2+02=5, AC= (0-4)2+(0-5)2+(3-0)2=5 2,
∴△ABC 的周长为 10+5 2.

能 力 升 级 综合点一 空间中有关距离的计算问题 7.在空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(x,-1,6)的距离为 86,则 x 等于 ________. 解析:由 (x+3)2+(-1-4)2+(6-0)2= 86, ∴x=2 或-8. 答案:2 或-8

8.已知点 A(-3,1,4)关于原点的对称点为 B,则线段 AB 的长为________. 解析:AB=2OA=2 (-3)2+12+42=2 26.
3

答案:2 26

综合点二 两点间距离公式的综合应用 9.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是 ________. 解析:设点 P(a,b,c),则它在三个坐标轴上的射影为 P1(a,0,0)、P2(0,b,0)、

P3(0,0,c),由已知得:b2+c2=1,c2+a2=1,a2+b2=1.
∴2(a2+b2+c2)=3. 故 PO= a2+b2+c2= 答案: 6 2 3 6 = . 2 2

10.已知 A(1-t,1-t,t)、B(2,t,t),则 AB 的最小值为________. 解析:∵AB= (2-1+t)2+(t-1+t)2+(t-t)2 = (t+1)2+(2t-1)2 = 5t2-2t+2 = 2 ? 1? 9 5? t- ? + , ? 5? 5

1 3 5 ∴当 t= 时,ABmin= . 5 5 3 5 答案: 5

11.在空间直角坐标系中,已知 A(0,0,3)、B(2,0,0)、C(0,2,0),则△ABC 的面 积是多少? 解析:AB= (0-2)2+(0-0)2+(3-0)2= 13,

BC= (2-0)2+(0-2)2+(0-0)2=2 2, AC= (0-0)2+(0-2)2+(3-0)2= 13,
∵AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形. 则 BC 边上的高 h= ( 13)2-( 2)2= 11, 1 1 ∴S△ABC= BC?h= ?2 2? 11= 22. 2 2

4

综合点三 应用距离解决角度问题 12.如图,已知三棱锥 PABC 在某个空间直角坐标系中,B( 3m,m,0)、C(0,2m,0)、

P(0,0,2n).
(1)画出这个空间直角坐标系,并指出 AB 与 Ox 轴的正方向的夹角; (2)若 M 为 BC 的中点,n= 3 m,求直线 AM 与其在平面 PBC 内的投影所成的角. 2

解析:(1)如图,以 A 为坐标原点 O,以 AC 为 Oy 轴,以 AP 为 Oz 轴,建立空间直角坐 标系,此时 AB 与 Ox 轴的正向夹角为 30°.

(2)连接 AM、PM, ∵AB=AC=2m,PB=PC=2 m2+n2, 又 M 为 BC 中点,∴AM⊥BC,PM⊥BC. ∴∠AMP 为 AM 与其在面 PBC 内的射影所成的角. 又 n= 3 m,∴PA=AM= 3m. 2

∴AM 与其在面 PBC 内的射影所成角为 45°.

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