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三角函数高考真题体验(答案)



?π ? ?2 ? ?π ? 答案: 3 解析:∵sin 2α=-sin α,α∈ ? , π ? , ?2 ? 1 ?π ? ∴2sin αcos α=-sin α,cos α= ? .∵α∈ ? , π ? , 2 ?2 ? 2π 4π 4π ∴? ? , 2? ? .∴tan 2α= tan = 3. 3 3 3

1、(2013 四川,文 14)设 s

in 2α=-sin α,α∈ ? , π ? ,则 tan 2α 的值是__________.

(2013 浙江,文 3)若 α∈R,则“α=0”是 sin α<cos α”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

).

答案:A 解析:当 α=0 时,sin α<cos α 成立;若 sin α<cos α,α 可取 =0”是“sin α<cos α”的充分不必要条件.故选 A. (2013 浙江,文 6)函数 f(x)=sin xcos x+ A.π,1 B.π,2

π 等值,所以“α 6

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2
D.2π,2

).

C.2π,1

答案:A 解析:由 y=sin xcos x+ 为 ω=2,所以 T=

3 3 π? 1 ? cos 2x= sin 2x+ cos 2x= sin ? 2 x ? ? ,因 2 2 3? 2 ?



?

=π,又观察 f(x)可知振幅为 1,故选 A.

?2 x 3 , x ? 0, ? (2013 福建,文 13)已知函数 f(x)= ? π 则 ?? tanx, 0 ? x ? , ? 2
答案:-2 解析:∵ f ?

? f? ?

? π ?? f ? ? ? =__________. ? 4 ??

? ? π ?? f ? f ? ? ? =f(-1)=2×(-1)3=-2. ? ? 4 ?? π? 2 2? (2013 课标全国Ⅱ,文 6)已知 sin 2α = ,则 cos ? ? ? ? =( ). 4? 3 ? 1 1 1 2 A. 6 B. 3 C. 2 D. 3

π ?π? ? ? ? tan ? ?1 , 4 ?4?

6. 答案:A 解析:由半角公式可得, cos ? ? ?
2

? ?

π? ? 4?

π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? 1 ? sin 2? 2? ? 3 ?1. ? ? = 2 2 2 6
(2013 课标全国Ⅰ,文 10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos A+ cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( ).
2

A.10 10. 答案:D
2

B.9

C.8

D.5

解析:由 23cos A+cos 2A=0,得 cos A= ∵A∈ ? 0,

2

1 . 25

? ?

π? 1 ? ,∴cos A= . 2? 5

∵cos A= 故选 D.

36 ? b 2 ? 49 13 ,∴b=5 或 b ? ? (舍). 2 ? 6b 5

(2013 课标全国Ⅰ,文 16)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =______. 16.答案: ?

2 5 5

解析:∵f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ ),

2 5 5 ,cos φ = . 5 5 π 当 x-φ =2kπ + (k∈Z)时,f(x)取最大值. 2 π π 即 θ -φ =2kπ + (k∈Z),θ =2kπ + +φ (k∈Z). 2 2 2 5 ?π ? ∴cos θ = cos ? ? ? ? =-sin φ = ? . 5 ?2 ?
其中 sin φ =

二、图象
(2013 课标全国Ⅱ, 16)函数 y=cos(2x+φ )(-π ≤φ <π )的图像向右平移 文 位后,与函数 y= sin ? 2 x ? 16.答案:

π 个单 2

? ?

π? ? 的图像重合,则 φ =__________. 3?

5π 6
? ? π? ? π 个单位得, y ? cos ? 2 ? x ? ? ? ? ? =cos(2x-π +φ ) 2? 2 ? ? ?

解析:y=cos(2x+φ )向右平移 = sin ? 2 x ? π+? + +φ -

? ?

π? π? π? ? ? 而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合, 2x 令 ? =sin ? 2 x ? ? ? ? , 2? 2? 3? ? ?

π π =2x+ +2kπ ,k∈Z, 2 3 5π 得? ? +2kπ ,k∈Z. 6 5π 又-π ≤φ <π ,∴ ? ? . 6

(2013 四川,文 6)函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ? ? ? 0, ? 则 ω,φ 的值分别是( ).

? ?

π π? ? ? ? ? 的部分图象如图所示, 2 2?

π 3 π C.4, ? 6
A.2, ? 答案:A

B.2, ? D.4,

π 6

π 3

解析:由图象知函数周期 T=2 ? ∴ω=

? 11π 5π ? ? ? =π, ? 12 12 ?

2π ? 5π ? ? 5π ? ? 5π ? =2, ? 把 得 即i , 2 ? 代入解析式, 2 ? 2sin ? 2 ? ? ? ? , s ? ? ? ? 1 . n ? π ? 12 ? ? 12 ? ? 6 ? 5π π π ∴ +φ= +2kπ(k∈Z),φ= ? +2kπ(k∈Z). 6 2 3 π π π 又 ? ? ? ? ,∴φ= ? . 2 2 3
故选 A.

π? ? π ? ? ? ? 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位 2? ? 2 ? 3? 长度后得到函数 g(x)的图象, f(x), 若 g(x)的图象都经过点 P ? 0, ). ? 2 ? , φ 的值可以是( ? 则 ? ? 5π 5π π π A. B. C. D. 3 6 2 6
(2013 福建, 9)将函数 f(x)=sin(2x+θ) ? ? 文 答案:B 解析:∵f(x)的图象经过点 ? 0,

? ? ?

3? ?, 2 ? ?

3 . 2 π ? π π? 又∵θ∈ ? ? , ? ,∴ ? ? . 3 ? 2 2? π? ? ∴f(x)= sin ? 2 x ? ? . 3? ?
∴sin θ=

由题知 g(x)=f(x-φ)= sin ? 2? x ? ? ? ? 又图象经过点 ? 0,

? ?

π? , 3? ?

? ? ?

3? ?, 2 ? ?

∴g(0)= sin ? ?2? ? 当? ?

? ?

π? 3 . ?? 3? 2

3 5π 时满足 g(0)= ,故选 B. 2 6
).

(2013 课标全国Ⅰ,文 9)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π ,π ]的图像大致为(

9. 答案:C 解析:由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>0, 2

? ?

π? ?

排除 A. 2 2 当 x∈(0,π )时,f′(x)=sin x+cos x(1-cos x)=-2cos x+cos x+1. 令 f′(x)=0,得 x ? 故极值点为 x ?

2 π. 3

2 π ,可排除 D,故选 C 3 π , 6

三、解三角形
(2013 课标全国Ⅱ,文 4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B ?

C?

π ,则△ABC 的面积为( ). 4 A. 2 3+2 B. 3+1

C. 2 3 ? 2

D. 3 ? 1

4. 答案:B 解析:A=π -(B+C)= π ? ? 由正弦定理得

? π π ? 7π ? ?? , ? 6 4 ? 12

a b , ? sin A sin B 7π 2sin b sin A 12 ? 6 ? 2 , 则a ? ? π sin B sin 6

∴S△ABC=

1 1 2 ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? ? 3 ?1 . 2 2 2

四、解答题 (2013 四川,文 17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)= ? (1)求 sin A 的值;

3 . 5

(2)若 a ? 4 2 ,b=5,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)= ?

??? ?

??? ?

3 ,得 5

3 . 5 3 3 则 cos(A-B+B)= ? ,即 cos A= ? . 5 5 4 又 0<A<π,则 sin A= . 5 a b (2)由正弦定理,有 , ? sinA sinB bsinA 2 ? 所以,sin B= . a 2 π 由题知 a>b,则 A>B,故 B ? . 4
cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B= ? 根据余弦定理,有

? 3? (4 2) 2 =52+c2-2×5c× ? ? ? , ? 5?
解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cos B=

??? ?

??? ?

??? ?

2 . 2

(2013 浙江,文 18)(本题满分 14 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 2asin B= 3 b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解:(1)由 2asin B= 3 b 及正弦定理 因为 A 是锐角,所以 A ?

3 a b ,得 sin A= . ? 2 sin A sin B

π . 3

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.

28 . 3 7 3 1 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . 3 2
又 b+c=8,所以 bc ?



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