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2.1.2《点、线、面位置关系》课件



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2.1

空间点、直线、平面之 间的位置关系
2.1.2~2.1.4 点、线、面位置关系

1

本课件在复习平面及三个公理的基础上,从展示杭州湾跨海大 桥的动画演示引入空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系。以学生探究为

主,运用影片动画展示和立交桥画面展 示让学生直观感受到空间中直线与直线的位置关系除了平行、相交 以外,还有异面的位置关系,领悟出异面直线的概念和图形的画法 ,也可以让学生结合教室里的学习环境发现两直线的三种位置关系 。了解异面直线所成的角的转化及其研究方法。借助正方体模型发 现公理4和等角定理。充分调动学生的学习积极性,让学生自己动 手画出空间图形。运用同样的方法发现直线与平面的位置关系和两 个平面之间的位置关系。 课件穿插了大量的图片,动画,视频从各种角度展示空间基本图 形的位置关系,系统培养学生的空间思维能力。

2

课前复习

平面是无限延展的

概念 画法 公理1
如果一条直线上两点在一个平面内 ,那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

平面
表示法 公理2
过不在同一直线上的三点,有且只 有一个平面.

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点,那 么这两个平面有且只有一条过该点的公共 直线.
3

回顾练习:
1. 下列四个命题中,正确的是( C, E ) A. 四边形一定是平面图形 B. 空间的三个点确定一个平面

C. 梯形一定是平面图形
D. 六边形一定是平面图形 E. 三角形一定是平面图形

4

2.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是 ( C )。 (A)0个 (B)1个 (C)1个或4个 (D)无法确定 3.三条直线经过同一点,过每两条直线作一个平面, 1或3 个不同的平面.这些平面把空间分 则可以作________ 2或8 个部分. 为________
【解析】若三条直线共面,则可确定一个平面,把空间分
成两部分;若三条直线不共面,则可确定三个平面,把空

间分成8部分.
5

杭州湾跨海大桥是一座横跨 中国杭州湾海域的跨海大桥

,它北起浙江嘉兴海盐郑家
埭,南至宁波慈溪水路湾, 全长36公里,是世界上最长 的跨海大桥,杭州湾大桥上 哪些是直线?哪些是平面 ? 直线与直线有哪些位置关系 ?直线与平面有哪些位置关
动画演示杭州湾跨海大桥
http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.act ion?mediaVo.resId=55d29412af508f0099b1c6cf

系?平面与平面有哪些位置
关系?

6

不同在任何一个 空间中直线与直线的位置关系 平面内的两条直 http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVide o.action?mediaVo.resId=55d29419af508f009 线叫做异面直线 . 9b1c6d1 1.平面内两条直线的位置关系 空间中的直线间的
位置关系

相交直线

平行直线

异面直线 b

a o

b
平行直线 (无公共点)

a b

a

?

相交直线 (有一个公共点)

既不平行,也不相交 (无公共点)
7

思考:没有公共点的两直线一定在同一平面内吗?

立交桥

8

2.异面直线的画法:

b

β

b a a 图3

b

α

a α 图1 图2

α

9

课堂练习
(1).分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 答:不一定,它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b a a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
10

3.空间两直线的位置关系:
(1) 从公共点的数目来看可分为: ①有且只有一个公共点,则两直线相交 两直线平行 ②没有公共点,则 两直线为异面直线 (2) 从平面的性质来讲,可分为: 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内,则两直线为异面直线.
11

(2)如图所示:正方体的棱所在的直线中,与直线 A1B相交、平行、异面的有哪些?

D1

C1 B1

A1 D
A

公理4:平行于同一条直线的两 直线互相平行.

a

b

C

c
数学语言: 若a//b, a//c, 则b//c.

B

说明:判断线线平行的依据。

观察:AB、CD、A1B1、C1D1所在直线间有什么关系?
12

4.等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 个角相等或互补。

E A
推论:如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行且方向相同,那么这两 个角相等.

B D

C

E1 A1

B1 D1
C1
13

典例展示
例1.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方 体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直 线的有多少对?

A

D

C G

A

D

H B
G C E

F

B

H

E F

14

例2.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB, BC,CD,DA的中点. (1) 求证:四边形EFGH 是平行四边形. (2) 若AC=BD,那么四边形EFGH 是什么图形? A 连结BD, ∵EH是△ABD的中位线 证明: 1 H ∴EH∥BD,且EH= 2 BD E 1 同理,FG ∥BD,且FG= BD D 2 G ∴EH ∥FG,且EH =FG, C B F ∴EFGH是一个平行四边形.
思考:若再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?
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如果两条异面直线a , 5.异面直线所成角的定义: 如图 已知两条异面直线a、b,经过空间 b, 所成的角为直角,我 们就称这两条直线互相 任一点O作直线a‘ ∥a,b’ ∥b则把 a‘与b’所成的锐角(或直角)叫做异 垂直,记为a⊥b 面直线所成的角(或夹角). 异面直线所成的角的范围(0 , 90 ]
o o

b b′

a′″

?
O

方法 : 平移转化成相 交直线所成的角,即 化空间图形问题为平 面图形问题.

思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位 置不同时, 这一角的大小是否改变?
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例3 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中。 (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线? (2)直线BA'和CC'的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直? 解:(1)由异面直线的判定方法可知,与直线BA' 成异面直线的有直线B' C', AD, CC', DD', DC, D'C'.

D'

C' B'

(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA' 等于异面直线 A' BA'与CC'的夹角,所以异面直线BA'与CC' 的夹
角为450

(3) 直线 AB, BC, CD, DA, A?B?, B?C?, C?D?, D?A?
与直线AA'都垂直.

D
A B
17

C

空间中直线和平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种:

动画演示直线和 平面的三种位置 关系

http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo. action?mediaVo.resId=55d2941baf508f0099b1 c6d3

①直线在平面内

②直线与平面相交

③直线与平面平行

a

a A

?
a ??

a

?

?
无公共点

有无数个公共点

有且只有一个公共点

a ?? ? A

a // ?
18

例4、下列命题中正确的个数是( B ). ①若直线 上有无数个点不在平面α内,则

l // α

②若直线 与平面α平行,则 与平面α内的任意一条直 线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面 平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 与平面α平行,则 与平面 α内的任意一条直线都没有公共点.

A.0

B.1

C.2

D.3
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平面与平面的位置关系

两个平面平行

两个平面相交

?
?
?
l

? // ?
没有公共点

?

? ?? ? l
有一条公共直线
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思考:3个平面把空间分成几部分?

4

(1)

(2)

6

(3)

6

(4)

7

(5)

8

21

一、直线与直线的位置关系 1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线.

2.空间两直线的位置关系: 平行、相交、异面 3.异面直线的画法:

辅助平面衬托法
平移,转化为相交直线所成的角

4.异面直线所成的角:
5.公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行. 如果两个角的两边分别对应平行,那么 这两个角相等或互补.
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6.等角定理:

二、空间中直线与平面的位置关系: 1.直线在平面内——有无数个公共点(交点);

相交——有且只有一个公共点; 2.直线在平面外
平行——没有公共点;

三、平面与平面的位置关系: 1.两个平面平行——没有公共点;
2.两个平面相交——只有一条公共直线.
23

课后练习

课后习题

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