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浙江省绍兴一中2016届高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.) 1.若全集 U=R,集合 A={x|x2﹣4≥0},则?UA=( ) A. (﹣2,2) B. (﹣ , ) C. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) D. (﹣∞, ﹣ ]∪[ ,

+∞) 2.函数 y=3﹣2sin2x 的最小正周期为( A. B.π C.2π D.4π



3.若直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D. (﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) 4.对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( ) A.必定存在平面 α,使得 a? α,b? α B.必定存在平面 α,使得 a? α,b∥α C.必定存在直线 c,使得 a∥c,b∥c D.必定存在直线 c,使得 a∥c,b⊥c 5.若| A. |=| B. |=2| |,则向量 + 与 的夹角为( C. D. )



6.已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,满足 f[f(a)]= 的实数 a 的个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7.以 BC 为底边的等腰三角形 ABC 中,AC 边上的中线长为 6,当△ABC 面积最大时,腰

AB 长为(



A.6 B.6 C.4 D.4 8.到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被过一直线与另一直线垂直的平面所 截,截得的曲线为( ) A.相交直线 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆弧

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分.) 9.已知 f(x)=lg(2x﹣4) ,则方程 f(x)=1 的解是 ,不等式 f(x)<0 的解集是 10.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a10=27,则 a5= ,S9=
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. .

11.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于



12.已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数,函数 的大小关系为 .

13.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为

35,则 a+b 的最小值为

. ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在右支上存在

14.已知 F1、F2 分别为双曲线

点 A,使得点 F2 到直线 AF1 的距离为 2a,则该双曲线的离心率的取值范围是 . 15. 边长为 2 的正三角形 ABC 内 (包括三边) 有点 P, ? =1, 求 ? 的取值范围



三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2cos(B﹣C)=4sinB?sinC﹣1. (1)求 A; (2)若 a=3,sin = ,求 b.

17.数列{an}满足 a1=1,

(n∈N+) .

(1)证明:数列

是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 18.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正方形,点 C 在平面 AA1B1B 上的射影 H 恰好为 A1B 的中点,且 CH= ,设 D 为 CC1 中点, (Ⅰ)求证:CC1⊥平面 A1B1D; (Ⅱ)求 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.

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19.已知抛物线 y2=2px,过焦点且垂直 x 轴的弦长为 6,抛物线上的两个动点 A(x1,y1) 和 B(x2,y2) ,其中 x1≠x2 且 x1+x2=4,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C. (1)求抛物线方程; (2)试证线段 AB 的垂直平分线经过定点,并求此定点; (3)求△ABC 面积的最大值. 20.已知函数 f(x)=x|x﹣a|+bx (Ⅰ)当 a=2,且 f(x)是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)当 b=﹣2,且对任意 a∈(﹣2,4) ,关于 x 的程 f(x)=tf(a)有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围.

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2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.) 1.若全集 U=R,集合 A={x|x2﹣4≥0},则?UA=( ) A. (﹣2,2) B. (﹣ , ) C. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) D. (﹣∞, ﹣ ]∪[ ,

+∞) 【考点】补集及其运算. 【分析】所有不属于 A 的元素组成的集合就是我们所求,故应先求出集合 A.再求其补集 即得. 【解答】解:A={x|x≥2 或 x≤﹣2}, 易知 C∪A={x|﹣2<x<2}, 故选 A. 2.函数 y=3﹣2sin2x 的最小正周期为( A. B.π C.2π D.4π )

【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用降幂法化简函数 y,即可求出它的最小正周期. 【解答】解:∵函数 y=3﹣2sin2x=3﹣2? ∴函数 y 的最小正周期为 T= 故选:B. 3.若直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D. (﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) ) =π. =2+cos2x,

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】根据直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a)2+y2=2 有公共点,可得圆心到直线 x﹣y+1=0 的 距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数 a 取值范围. 【解答】解:∵直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a)2+y2=2 有公共点 ∴圆心到直线 x﹣y+1=0 的距离为 ∴|a+1|≤2 ∴﹣3≤a≤1 故选 C. 4.对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( A.必定存在平面 α,使得 a? α,b? α )

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B.必定存在平面 α,使得 a? α,b∥α C.必定存在直线 c,使得 a∥c,b∥c D.必定存在直线 c,使得 a∥c,b⊥c 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 【分析】 根据空间直线的位置关系、 直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质 与判定,对各个选项依次加以判别,即可得到 B 项是正确的,而 A、C、D 都存在反例而不 正确. 【解答】解:对于 A,若两条直线 a、b 是异面直线时,则不存在平面 α 使得 a? α 且 b? α 成立,故 A 不正确; 对于 B,因为 a、b 不相交,所以 a、b 的位置关系是平行或异面: ①当 a、b 平行时,显然存在平面 α,使得 a? α 且 b∥α 成立; ②当 a、b 异面时,设它们的公垂线为 c,在 a、b 上的垂足分别为 A、B.则经过 A、B 且 与 c 垂直的两个平面互相平行, 设过 A 的平面为 α,过 B 的平面为 β,则 α∥β,且 a、b 分别在 α、β 内,此时存在平面 α, 使得 a? α 且 b∥α 成立. 故 B 正确; 对于 C,若两条直线 a、b 是异面直线时,则不存存在直线 c,使得 a∥c 且 b∥c 成立,故 C 不正确; 对于 D,当 a、b 所成的角不是直角时,不存在直线 c,使得 a∥c 且 b⊥c 成立,故 D 不正 确. 综上所述,只有 B 项正确. 故选:B

5.若| A.

|=| B.

|=2| |,则向量 + 与 的夹角为( C. D.



【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量的模. =0,代入向量的夹角公式可得其余弦值,结合夹角的范 【分析】将已知式子平方可得 围可得答案. 【解答】解:∵ ∴ 可得 化简可得 设向量 = =0, 与 的夹角为 θ = ,两边平方 , ,

则可得 cosθ=

=

= ,又 θ∈[0,π],故 θ=
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故选 B. 6.已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1,满足 f[f(a)]= 的实数 a 的个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】令 f(a)=x,则 f[f(a)]= 转化为 f(x)= .先解 f(x)= 在 x≥0 时的解, 再利用偶函数的性质,求出 f(x)= 在 x<0 时的解,最后解方程 f(a)=x 即可. 【解答】解:令 f(a)=x,则 f[f(a)]= 变形为 f(x)= ; 当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1)2+1= ,解得 x1=1+ ∵f(x)为偶函数, ∴当 x<0 时,f(x)= 的解为 x3=﹣1﹣ 综上所述,f(a)=1+ 当 a≥0 时, f(a)=﹣(a﹣1)2+1=1+ f(a)=﹣(a﹣1)2+1=1﹣ f(a)=﹣(a﹣1)2+1=﹣1﹣ f(a)=﹣(a﹣1)2+1=﹣1+ ,方程无解; ,方程有 2 解; ,方程有 1 解; ,方程有 1 解; ,1﹣ ,﹣1﹣ ,x4=﹣1+ ,﹣1+ ; ; ,x2=1﹣ ;

故当 a≥0 时,方程 f(a)=x 有 4 解,由偶函数的性质,易得当 a<0 时,方程 f(a)=x 也 有 4 解, 综上所述,满足 f[f(a)]= 的实数 a 的个数为 8, 故选 D.

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7.以 BC 为底边的等腰三角形 ABC 中,AC 边上的中线长为 6,当△ABC 面积最大时,腰

AB 长为(



A.6

B.6

C.4

D.4

【考点】余弦定理. 【分析】设 D 为 AC 中点,由已知及余弦定理可求 cosA= 弦定理可求 2a2+b2=144,利用配方法可得 S= ah= 函数的图象和性质即可得解当△ABC 面积最大时,腰 AB 长. 【解答】解:如下图所示,设 D 为 AC 中点, 由余弦定理,cosA= = , ,在△ABD 中,由余

,利用二次

在△ABD 中,BD2=b2+( )2﹣2× 可得:2a2+b2=144, 所以,S= ah= = =



=

, ,即腰长 AB=4 .

所以,当 a2=32 时,S 有最大值,此时,b2=144﹣2a2=80,解得:b=4 故选:D.

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8.到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被过一直线与另一直线垂直的平面所 截,截得的曲线为( ) A.相交直线 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆弧 【考点】轨迹方程. 【分析】建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程可得,设空间内任意点设它的坐标是 (x,y,z)根据它到两条异面直线的距离相等,求得 z 的表达式,把 z=0 和 y=0 代入即可 求得轨迹. BC, 【解答】 解: 如图所示, 建立坐标系, 不妨设两条互相垂直的异面直线为 OA, 设 OB=a, P(x,y,z)到直线 OA,BC 的距离相等, ∴x2+z2=(x﹣a)2+y2, ∴2ax﹣y2+z2﹣1=0 若被平面 xoy 所截,则 z=0,y2=2ax﹣1;若被平面 xoz 所截,则 y=0,z2=﹣2ax+1 故选 C.

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分.) 9.已知 f(x) =lg(2x﹣4) =1 的解是 7 , ,则方程 f(x) 不等式 f(x)<0 的解集是 (2, 2.5) . 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】由 f(x)=1,利用对数方程,可得结论;由 f(x)<0,利用对数不等式,即可得 出结论. 【解答】解:∵f(x)=1,∴lg(2x﹣4)=1, ∴2x﹣4=10,∴x=7; ∵f(x)<0, ∴0<2x﹣4<1, ∴2<x<2.5, ∴不等式 f(x)<0 的解集是(2,2.5) . 7 2 2.5 故答案为: ; ( , ) . 10. S9= 设数列{an}为等差数列, 其前 n 项和为 Sn, 已知 a1+a4+a10=27, 则 a5= 9 , 【考点】等差数列的前 n 项和. 81 .

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a1+a4+a10=27=3a5, 【分析】 等差数列的性质可得: 解得 a5, 再利用 S9= 可得出. 【解答】解:由等差数列的性质可得:a1+a4+a10=27=3a5,解得 a5=9, ∴S9= =9a5=81.

=9a5. 即

故答案分别为:9;81. 11.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于 4 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥 P﹣ABCD,其中:侧面 PAB⊥底面 BACD,底 面为矩形 ABCD. 【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥 P﹣ABCD, 其中:侧面 PAB⊥底面 BACD,底面为矩形 ABCD. ∴该几何体的体积 V= 故答案为:4. =4,

12.已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数,函数 的大小关系为 g(2)<g(﹣3)<g(4) . 【考点】指数函数单调性的应用. 【分析】由已知中函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数,我们根据复合函数的单 调性,可求出 a 与 1 的关系,进而判断出函数 的奇偶性及单调区间,再根据

偶函数函数值大小的判断方法,即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数, 令 u=|x|,则 y=logau, 由 u=|x|在(﹣∞,0)上是减函数,及复合函数同增异减的原则
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可得外函数 y=logau 为增函数,即 a>1 又∵函数 为偶函数

且函数在[0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0]上单调递减 且|2|<|﹣3|<|4| ∴g(2)<g(﹣3)<g(4) 故答案为:g(2)<g(﹣3)<g(4)

13.设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为

35,则 a+b 的最小值为 8 . 【考点】简单线性规划. 【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

,画出满足约束条件的可行域,再根据目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的

最大值为 35,求出 a,b 的关系式,再利用基本不等式求出 a+b 的最小值.

【解答】解:满足约束条件

的区域是一个四边形,如图

4 个顶点是(0,0) , (0,1) , ( ,0) , (2,3) , 由图易得目标函数在(2,3)取最大值 35, 即 35=2ab+3∴ab=16, =8,在 a=b=4 时是等号成立, ∴a+b≥2 a b ∴ + 的最小值为 8. 故答案为:8

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14.已知 F1、F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在右支上存在

点 A,使得点 F2 到直线 AF1 的距离为 2a,则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设 A 点坐标为(m,n) ,则直线 AF1 的方程为 (m+c)y﹣n(x+c)=0,求出右焦 点 F2(c,0)到该直线的距离,可得直线 AF1 的方程为 ax﹣by+ac=0,根据 A 是双曲线上 的点,可得 b4﹣a4>0,即可求出双曲线的离心率的取值范围. 【解答】解:设 A 点坐标为(m,n) ,则直线 AF1 的方程为 (m+c)y﹣n(x+c)=0, 右焦点 F2(c,0)到该直线的距离 所以 n= (m+c) , 所以直线 AF1 的方程为 ax﹣by+ac=0, 与 ﹣ =1 联立可得(b4﹣a4)x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0, =2a,

因为 A 在右支上,所以 b4﹣a4>0, 所以 b2﹣a2>0, 所以 c2﹣2a2>0, 即 e> . 故答案为: . 15.边长为 2 的正三角形 ABC 内(包括三边)有点 P, [3﹣2 ,5﹣ ] . ? =1,求 ? 的取值范围

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】先建立坐标系,根据 ? =1,得到点 P 在(x﹣1)2+y2=2 的半圆上,根据向量 的数量积得到 ? =﹣x﹣ y+4, 设 x+ y=t, 根据直线和圆的位置关系额判断 t 的范围, 即可求出 ? 的取值范围. 【解答】解:以 B 为原点,BC 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的坐标系, ∵正三角形 ABC 边长为 2, ∴B(0,0) ,A(1, ) ,C(2,0) , 设 P 的坐标为(x,y) , (0≤x≤2,0≤y≤ ) , ∴ =(﹣x,﹣y) , =(2﹣x,﹣y) , 2 ∴ ? =x(x﹣2)+y =1, 即点 P 在(x﹣1)2+y2=2 的半圆上, ∵ =(﹣1,﹣ ) ∴ ? =﹣x﹣ y+4, 设 x+ y=t, 则直线 x+ y﹣t=0 与圆交点, ∴d= ≤ ,
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解得 0≤t≤2 +1, 当直线 x+ y﹣t=0 过点 D( ﹣1,0)时开始有交点, ∴ ﹣1=t, 即 t≥ ﹣1, ∴ ﹣1≤t≤2 +1, ∴3﹣2 ≤4﹣t≤5﹣ , 故 ? 的取值范围为[3﹣2 ,5﹣ ]. 故答案为:[3﹣2 ,5﹣ ].

三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2cos(B﹣C)=4sinB?sinC﹣1. (1)求 A; (2)若 a=3,sin = ,求 b. 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (1)由已知利用两角和的余弦公式展开整理,cos(B+C)=﹣ .可求 B+C,进而 可求 A (2)由 sin ,可求 cos = ,可求 b 【解答】解: (1)由 2cos(B﹣C)=4sinBsinC﹣1 得, 2(cosBcosC+sinBsinC)﹣4sinBsinC=﹣1,即 2(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1. 从而 2cos(B+C)=﹣1,得 cos(B+C)=﹣ . ∵0<B+C<π ∴B+C= ,故 A= . …6 分 …4 分 ,代入 sinB=2sin cos 可求 B,然后由正弦定理

(2)由题意可得,0<B< π

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∴ 由 sin

, ,得 cos = . , …10 分

∴sinB=2sin cos =

由正弦定理可得

,∴



解得 b=



…12 分.

17.数列{an}满足 a1=1,

(n∈N+) .

(1)证明:数列

是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (I)由已知中 (n∈N+) ,我们易变形得: ,即

,进而根据等差数列的定义,即可得到结论;

(II)由(I)的结论,我们可以先求出数列

的通项公式,进一步得到数列{an}的通项

公式 an; (Ⅲ)由(II)中数列{an}的通项公式,及 bn=n(n+1)an,我们易得到数列{bn}的通项公式, 由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到, 故利用错位相消法, 即可求出数 列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解答】解: (Ⅰ)证明:由已知可得 ,







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∴数列

是公差为 1 的等差数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)知



∴ (Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn=n?2n Sn=1?2+2?22+3?23++n?2n 2Sn=1?22+2?23+…+(n﹣1)?2n+n?2n+1 相减得: ∴Sn=(n﹣1)?2n+1+2 18.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正方形,点 C 在平面 AA1B1B 上的射影 H 恰好为 A1B 的中点,且 CH= ,设 D 为 CC1 中点, (Ⅰ)求证:CC1⊥平面 A1B1D; (Ⅱ)求 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值. =2n+1﹣2﹣n?2n+1

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】方法一:常规解法 (I)由已知中,棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正方形,易得 CC1⊥ A1B1, 取 A1B1 中点 E, 可证出 DE⊥CC1, 结合线面垂直的判定定理可得 CC1⊥平面 A1B1D; (II)取 AA1 中点 F,连 CF,作 HK⊥CF 于 K,结合(I)的结论,我们可得 DH 与平面 AA1C1C 所成角为∠HDK,解 Rt△CFH 与 Rt△DHK,即可得到 DH 与平面 AA1C1C 所成角 的正弦值. 方法二:向量法 (I)以 H 为原点,建立空间直角坐标系,分别求出向量 的坐标,根据

坐标的数量积为 0,易得到 CC1⊥A1D,CC1⊥B1D,进而根据线面垂直的判定定理得到 CC1 ⊥平面 A1B1D; (II)求出直线 DH 的方向向量及平面 AA1C1C 的法向量,代入向量夹角公式,即可求出 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值. 【解答】证明:方法一: (Ⅰ)因为 CC1∥AA1 且正方形中 AA1⊥A1B1,所以 CC1⊥A1B1,

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取 A1B1 中点 E,则 HE∥BB1∥CC1 且 所以

,又 D 为 CC1 的中点,

,得平行四边形 HEDC, 因此 CH∥DE,又 CH⊥平面 AA1B1B, 得 CH⊥HE,DE⊥HE,所以 DE⊥CC1∴CC1⊥平面 A1B1D 解: (Ⅱ)取 AA1 中点 F,连 CF,作 HK⊥CF 于 K 因为 CH∥DE,CF∥A1D,所以平面 CFH∥平面 A1B1D,由(Ⅰ)得 CC1⊥平面 A1B1D, 所以 CC1⊥平面 CFH, 又 HK? 平面 CFH, 所以 HK⊥CC1, 又 HK⊥CF, 得 HK⊥平面 AA1C1C, 所以 DH 与平面 AA1C1C 所成角为∠HDK 在 Rt△CFH 中, ,

在 Rt△DHK 中,由于 DH=2,

方法二: (向量法) 证明: (Ⅰ)如图,以 H 为原点,建立空间直角坐标系, 则 C(0,0, ) ,C1( ) ,A1( 所以 ∴ , , ,

) ,B1(0, ,

, 0) ,

因此 CC1⊥平面 A1B1D; 解: (Ⅱ)设平面 AA1C1C 的法向量 ,由于

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则 得

, ,所以



,所以

19.已知抛物线 y2=2px,过焦点且垂直 x 轴的弦长为 6,抛物线上的两个动点 A(x1,y1) 和 B(x2,y2) ,其中 x1≠x2 且 x1+x2=4,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C. (1)求抛物线方程; (2)试证线段 AB 的垂直平分线经过定点,并求此定点; (3)求△ABC 面积的最大值. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)由题意,2p=6,即可得出抛物线方程为 y2=6x; (2)设线段 AB 的中点为 M(x0,y0) ,求出线段 AB 的垂直平分线的方程由此能求出直线 AB 的垂直平分线经过定点 C(5,0) . (3)直线 AB 的方程为 y﹣y0= (x﹣2) ,代入 y2=6x,由此利用两点间距离公式和点到

直线距离公式能求出△ABC 面积的表达式,利用均值定理能求出 ABC 面积的最大值. 【解答】 (1)解:由题意,2p=6,∴抛物线方程为 y2=6x.… (2)设线段 AB 的中点为 M(x0,y0) , 则 x0=2,y0= ,kAB= = .

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣y0=﹣

(x﹣2) ,①

由题意知 x=5,y=0 是①的一个解, 所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点, 且点 C 坐标为(5,0) . 所以直线 AB 的垂直平分线经过定点 C(5,0) .… (2)由①知直线 AB 的方程为 y﹣y0= (x﹣2) ,①

即 x=

(y﹣y0)+2,②

②代入 y2=6x 得 y2=2y0(y﹣y0)+12,即 y2﹣2y0y+2y02﹣12=0,③ 依题意,y1,y2 是方程③的两个实根,且 y1≠y2, 所以△>0,﹣2 <y0<2 . |AB|= =
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定点 C(5,0)到线段 AB 的距离 h=|CM|= ∴S△ABC= (3)由(2)知 S△ABC= = ? .… ?





,…

当且仅当 即 y0=

=24﹣2



所以,△ABC 面积的最大值为

.…

20.已知函数 f(x)=x|x﹣a|+bx (Ⅰ)当 a=2,且 f(x)是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)当 b=﹣2,且对任意 a∈(﹣2,4) ,关于 x 的程 f(x)=tf(a)有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围. 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数单调性的性质. 【分析】 (Ⅰ)去绝对值号得 递增等价于这两段函数分别递增,从而解得; (Ⅱ) 数的单调区间,从而求实数 t 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ) 因为 f(x)连续, 所以 f(x)在 R 上递增等价于这两段函数分别递增, , ,tf(a)=﹣2ta,讨论 a 以确定函 ,f(x)在 R 上

所以



解得,b≥2; (Ⅱ) ,tf(a)=﹣2ta,

当 2≤a≤4 时,



≤a,

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f(x)在(﹣∞, 所以 f 极大(x)=f(

)上递增,在( )= ﹣a+1,

,a)上递减,在(a,+∞)上递增,

f 极小(x)=f(a)=﹣2a,

所以

对 2≤a≤4 恒成立,

解得:0<t<1, 当﹣2<a<2 时, f(x)在(﹣∞, 所以 f 极大(x)=f( f 极小(x)=f( 所以﹣ )=﹣ <a< , , )上递减,在( ,+∞)上递增,

)上递增,在( )= ﹣a+1,

﹣a﹣1, ﹣a+1 对﹣2<a<2 恒成立,

﹣a﹣1<﹣2ta<

解得:0≤t≤1, 综上所述,0<t<1.

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2016 年 11 月 13 日

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