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2015-2016高中数学 2.2.3圆与圆的位置关系学案 苏教版必修2



2.2.3

圆与圆的位置关系

“??把你的心、我的心串一串,串一株幸运草,串一个同心圆??”这是风靡一时 的小虎队在一首歌中唱到的. 那么你知道数学上是怎样理解同心圆的吗?两个同心圆是什么 位置关系?

设⊙O1 的半径为 r1,⊙O2 的半径为 r2,两圆的圆心距为 d. 1.(1)当|r1-r2|<d<r1+r2 时,两圆相交; (2)当 d=r1+r2 时,两圆外切; (3)当 d=|r1-r2|时,两圆内切; (4)当 d>r1+r2 时,两圆外离; (5)当 d<|r1-r2|时,两圆内含. 2.(1)若⊙O1 与⊙O2 外离,两圆的公切线有四条; (2)若⊙O1 与⊙O2 外切,两圆的公切线有三条; (3)若⊙O1 与⊙O2 内切,两圆的公切线有一条; (4)若⊙O1 与⊙O2 相交,两圆的公切线有二条. 3.若⊙O1 与⊙O2 相交,两圆的公共弦的垂直平分线方程就是直线 O1O2. 4.已知⊙O1 与⊙O2 无交点,P、Q 分别是⊙O1、⊙O2 上的两点,则 PQ 的最大值为 d+

r1+r2,PQ 的最小值为 d-(r1+r2).
5.已知⊙O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与⊙O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 是相交的 两圆,则⊙O1 与⊙O2 的公共弦的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.

一、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系有五种:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含. (2)判定圆 C1 和圆 C2 位置关系的主要方法.
1

方法一(代数方法):解两个圆的方程组成的方程组,若方程组有两组不同的实数解,则 两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若方程组无实数解,则两圆相离或 内含. 方法二(几何方法):依据圆心距 d 与半径 r1 和 r2 之间的关系判断. ①当 d>r1+r2 时,两圆外离; ②当 d=r1+r2 时,两圆外切; ③当|r1-r2|<d<r1+r2 时,两圆相交; ④当 d=|r1-r2|时,两圆内切; ⑤当 d<|r1-r2|时,两圆内含. 二、两圆位置关系的特征

位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

几何特征

代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解

d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r

知识点一 圆与圆的位置关系 1.(2014·湖南卷)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m= (C) A.21 B.19 C.8 D.-11

解析:将圆 C2 的方程化为标准方程,利用圆心距等于两圆半径之和求解. 圆 C2 的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-m. 又圆 C1:x2+y2=1,∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9.
2

2.已知 0<r<2 2,则两圆 x2+y2=r2 与(x-1)2+(y+1)2= 2 的位置关系是________. 解析:∵两圆的圆心距为 O1O2= 2,又 R= 2,0<

r<2 2,∴|R-r|<O1O2<|R+r|,故两圆相交.
答案:相交

3.若圆 C1:x2+y2+m=0 与圆 C2:x2+y2-6x+8y=0 没有公共点,则实数 m 的取值 范围是________. 解析:因为圆 C1 以原点为圆心,而圆 C2 过原点,所以两圆无公共点必有圆 C2 内含于 圆 C1,从而-m>100,即 m<-100. 答案:(-∞,-100)

4.已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A、B 两点,则直线 AB 的方 程是________. 解析:两圆相交其交点所在的直线方程为: (x-1)2+(y-3)2-20-x2-y2+10=0,即

x+3y=0.
答案:x+3y=0 知识点二 利用圆与圆的关系确定圆的方程 5.圆 x2+y2-2x-1=0 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程是________. 解析: 已知圆方程为(x-1)2+y2=2, 则该圆圆心关于直线 x-y+3=0 的对称点为(- 3,4),半径也是 2. 答案:(x+3)2+(y-4)2=2

6. 半径为 6 的圆与 x 轴相切, 且与圆 x2+(y-3)2=1 内切, 则此圆的方程是________. 解析:半径为 1 的圆内切于半径为 6 的圆. 答案:(x±4)2+(y-6)2=36

7.过两圆 x2+y2-x-y-2=0 与 x2+y2+4x-4y-8=0 的交点和点(3,1)的圆的方 程是________. 解析:求出两圆的交点后用待定系数法;或利用圆系方程:设所求圆方程为(x2+y2-x 2 -y-2)+λ (x2+y2+4x-4y-8)=0,又过点(3,1)代入求出 λ =- . 5
3

13 答案:x2+y2- x+y+2=0 3

知识点三 两圆的公切线与公共弦 8.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公切线有________条. 解析:易判知两圆相外切,故有 3 条公切线. 答案:3

9.已知圆 C1:x2+y2+4x-4y-1=0 与圆 C2:x2+y2-2x+2y-7=0 相交于 A、B 两点,求公共弦 AB 的长. 解析:由方程?
?x2+y2+4x-4y-1=0, ? ?x2+y2-2x+2y-7=0, ?

消去二次项得 6x-6y+6=0,即 x-y+1=0

为所求的公共弦 AB 所在的直线的方程.圆 C1 即:(x+2)2+(y-2)2=9,∴C1(-2,2)到 直线 AB 的距离

d=

|-2-2+1| 3 = . 2 2 32 32- =3 2. 2

又圆 C1 半径 r=3,故弦长 AB=2

能 力 升 级 综合点一 与圆有关的最值问题 10. 若直线 mx+2ny-4=0 始终平分圆 x2+y2-4x-2y+4=0 的周长, 则 mn 的最大值 是________. 解析:由直线 mx+2ny-4=0 始终平分圆 x2+y2-4x-2y+4=0 的周长,知直线过圆 的圆心(2,1),∴2m+2n-4=0,m+n=2. ∴mn=m(2-m)=-(m-1)2+1≤1. 答案:1

11.一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射,到达圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上一 点的最短路程是________. 解析:圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 关于 x 轴的对称圆 C′:(x-2)2+(y+3)2=1. ∴A(-1,1)到 C′的圆心 C′(2,-3)的距离 AC′=5. ∴从 A 发出的光线经 x 轴反射到圆 C 上一点的最短距离等于 A 到圆 C′的圆心 C′的距

4

离减去半径长 1.即 dmin=5-1=4. 答案:4

12.过直线 x=2 上一点 M 向以 C 为圆心的圆(x+5)2+(y-1)2=1 作切线,切点分别 为 A,B,则四边形 MACB 的面积的最小值为________. 解析: 易知 SMACB=2S△MAC=MA·AC= MC2-1.显然 MC 的最小值为 7, 故四边形 MACB 的面积的最小值为 49-1=4 3. 答案:4 3

综合点二 圆的位置关系及其应用 13.求圆 C1:x2+y2+2kx+k2-1=0 与圆 C2:x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0 的圆心 距的最小值及相应的 k 值,并指出此时两圆的位置关系. 解析:两圆的圆心 C1(-k,0),C2(0,-k-1), ∴圆心距 C1C2= k2+(k+1)2= 2k2+2k+1, 1 2 当 k=- 时,C1C2 有最小值 . 2 2 2 ? 1? 此时,两圆的方程为 C1:?x- ? +y2=1, ? 2?

C2:x2+?y+ ? =1,由|r1-r2|<d<r1+r2,可知两圆相交. 2

? ?

1?2

?

14.已知集合 A={(x,y)|x2+y2=4},集合 B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,r >0}.若 A∩B 中有且仅有一个元素,求 r 的值. 解析:∵A∩B 中有且仅有一个元素,∴圆 C1:x2+y2=4 与圆 C2∶(x-3)2+(y-4)2 =r2 外切或内切.又∵圆心距 C1C2=5,∴r=3 或 7.

综合点三 轨迹与证明问题 15.已知两定圆 O1:(x-1)2+(y-1)2=1,圆 O2:(x+5)2+(y+3)2=4,动圆 P 恒 将两定圆的周长平分.试求动圆圆心 P 的轨迹方程. 解析:设动圆 P 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,即 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2 =0. 将此方程分别与圆 O1,圆 O2 的方程相减得公共弦所在的直线方程为:(2-2a)x+(2- 2b)y+a2+b2-r2-1=0.(10+2a)x+(6+2b)y+30-a2-b2+r2=0.由于圆 P 平分两定 圆的周长,所以公共弦分别过两圆圆心,从而有:
5

? ?-2a-2b+3+a2+b2=r2, ? ? ?10a+6b+a2+b2+38=r2.

消去 r2 得:12a+8b+35=0. 用(x,y)替换(a,b),得点 P 的轨迹方程为: 12x+8y+35=0.

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