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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第二章 函数 2.6 对数与对数函数课件 理 北师大版



2.6

对数与对数函数

-2-

考纲要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般 对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊 1 点,会画底数为2,10, 2 的对数函数的图像. 3.体会对数函数是一 类重要的函数模型.

4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.

-3-

1.对数 概 如果 ax=N(a>0,a≠1),那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对 念 数,记作 x=logaN.其中 a 叫作对数的底数,N 叫作真数 底数的限制:a>0,且 a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N?logaN=x 性 负数和零没有对数 质 1 的对数是零:loga1=0 底数的对数是 1:logaa=1 对数恒等式:aa =N

-4-

运 算 性 质 换 底 公 式

loga(M· N)=logaM+logaN loga N =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 公式:logbN=lo g (a,b>0,a,b≠1,N>0)


M

a>0,且 a≠1, M>0,N>0

lo g

推广:log bn= logab;logab=


1

lo g

-5-

2.对数函数的图像与性质 y=logax(a>0,且 a≠1) 函数 a>1 0<a<1

图像

定义域:(0,+∞) 值域:R 过定点(1,0) 性质 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0 在(0,+∞)上是增函数

当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0 在(0,+∞)上是减函数

-6-

3.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反 函数,它们的图像关于直线y=x对称.

-7-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√” ,错误的打“×”. (1)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN. ( × ) (2)logaM=
lg lg

=

ln .( √ ln

)
3

(3)函数 y=log2x 及 y=log1 3x 都是对数函数. ( × ) (4)若 M>N>0,则 logaM>logaN. ( × ) (5)对数函数 y=logax(a>0,且 a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点 (a,1),
1 ,-1

.( √ )

-8-

1 2 3 4 5

2.函数 f(x)=
A.(0,2)

1 log2-1

的定义域为(

)

B.(0,2]

C.(2,+∞)D.[2,+∞)

关闭

∵f(x)有意义, ∴ log2 -1 > 0,∴x>2,
> 0. C f(x)的定义域为(2,+∞). ∴
解析
关闭

答案

-9-

1 2 3 4 5

3.设a=log32,b=log52,c=log23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>aD.c>a>b

关闭

∵log25>log23>1, 1 1 ∴log23>1> lo g 3 > lo g 5>0,
2 2

即 log23>1>log32>log52>0, D c>a>b. ∴
解析

关闭

答案

-10-

1 2 3 4 5

4.lg 0.01+log216的值是

.

关闭

lg 0.01+log216=lg 10-2+log224=-2+4=2.
关闭

2 解析 答案

-11-

1 2 3 4 5

3 5.若 loga >1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是 4

.

关闭

当 a>1 时,loga >1=logaa,得 a∈? ;
4

3

当 0<a<1 时,loga >1=logaa, 故 <a<1.
3 ,1 所以实数 4
4 3 4

3

a 的取值范围是

3 4

关闭

,1 .
解析 答案

-12-

1 2 3 4 5

自测点评 1.应用对数的运算性质及换底公式时,一要熟记公式及公式成立 的条件,防止混用、错用,二要会公式的正用、逆用和变用. 2.对数值的大小比较的常用方法: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间值(0或1); (4)化同真数后利用图像比较. 3.判断对数函数的单调性、求对数函数的最值、求对数不等式 中的参数范围,都与底数a有关,解题时要注意按0<a<1和a>1分类 讨论,否则易出错.

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1对数式的化简与求值
5 1 -1 例1(1) lg +2lg 2= 2 2

.

关闭

根据对数的运算法则知,lg +2lg 22 2-2=lg 10-2=-1. -1

5

1 -1 2

=lg 5-lg 2+2lg 2- 2=lg 5+lg
关闭

解析

答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)计算: log2√2=
2

,2lo g2 3+lo g4 3 =

.

关闭

1 1 √2 2 log2 =log22 =- ; 2 2 lo g 2 3+log 43 lo g2 3

2
-

=2

× 2lo g 4 3=3×2lo g 2 √3 =3√3.

1 2

关闭

3√3
解析 答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:对数运算的一般思路如何? 解题心得:对数运算的一般思路: (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的 形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数 的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)(log29)· (log34)=(
1 A. 4 1 B. 2

)

C.2

D.4

关闭

(log29)· (log34)=
D

lg9 lg2

·

lg4 lg3

=

2lg3 lg2

·

2lg2 lg3

=4.
关闭

解析

答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)设 2 =5 A.√10

a

b

1 1 =m,且 + =2,则 m 等于(

) D.100

B.10

C.20

关闭

∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = lo g + lo g =logm 2+logm5=logm 10= 2.∴m= √10.
2 5

关闭

A
解析 答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2=

.

关闭

原式=lg 52+(1+lg 5)lg 2+(lg 2)2 =2lg 5+(lg 2+lg 5+1)lg 2 = 2 2lg 5+(1+1)lg 2=2(lg 2+lg 5)=2.
解析 答案
关闭

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2对数函数的图像及其应用 例2(1)函数f(x)=ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个 数为( ) 关闭 A.0 B.1 C.2 D.3 同一直角坐标系中作出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2 的图象, 如图所示 .

关闭

C 由图知 f(x)与 g(x)的图象的交点个数为 2,故选 C.
解析 答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)当0<x≤

1 2

时,4x<logax,则a的取值范围是(

)

A. 0,

√2

2

B.

√2

2

,1

C.(1,√2)

D.(√2,2)

关闭

设函数 f(x)=4 和 g(x)=logax,画出两个函数在 0, 上的图象 ,当 a>1
x

1 2

时不满足条件,当 0<a<1 时 ,可知 ,f
B的取值范围为 a
√2 ,1 2

1 2

<g

1 2

,即 2<loga ,则 a> ,所以
2
关闭

1

√2 2

.
解析 答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:应用对数型函数的图像主要解决哪些问题? 解题心得:应用对数型函数的图像可求解的问题: (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求 解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思 想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题, 利用数形结合法求解.

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 若不等式x2-logax<0对x∈ 值范围为 .

0, 恒成立,则实数a的取

1 2

答案:

1 16

,1
1 2

解析:由 x2-logax<0 得 x2<logax,设 f1(x)=x2,f 2(x)=logax, 要使 x∈ 0, 只需在 0,
2

时,不等式 x2<logax 恒成立,

1 2

上 f1(x)=x2 的图象在 f2(x)=logax 图象的下方即可.
1 2

当 a>1 时 ,显然不成立;当 0<a<1 时 ,如图所示 , 要使 x <logax 在 x∈ 0, 所以有
1 1 2 2 1 2

上恒成立,需 f1
1 16

1 2

≤f2

1 2

,

≤loga ,解得 a≥ ,
1 16

∴16≤a<1.
即实数 a 的取值范围是

,1 .

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3对数函数的性质及其应用(多维探究) 类型一 比较对数值的大小 例3设a=log2π,b=log 1 π ,c=π-2,则( ) 2 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>bD.c>b>a 思考:如何比较两个对数值的大小?

关闭

∵a=log2π>log22= 1,b=log π<log 1=0,c= π = π 2 ∈(0,1), ∴a>c>b.故选 C.
C
解析 答案
1 2 1 2
关闭

-

2

1

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 解简单的对数不等式 例4(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单 调递增.若实数a满足 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1) ,则a的取值范围是 2 ( )

A.[1,2]
2

B. 0,

1 2

C.

1 ,2 2

D.(0,2]
关闭

因为 log 1 a=-log2a,所以 f(log2a)+f(log 1 a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),
2

原不等式变为 2f(log2a)≤2f(1), 即 f(log2a)≤f(1). 又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,+∞)上递增 , 1 C |log2a|≤ 1,即 -1≤log2a≤ 1,解得 ≤a≤2,故选 C. 所以
2

关闭

解析

答案

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

log2 , > 0, (2)设函数 f(x)= log 1 (-), < 若 0f.(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 2 ( )
A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

思考:如何解对数不等式?
关闭

< 0, > 0, 由题意可得 或 log1 (-) > log (-), 2 log2 > -log2 , 2 解得 a>1 或-1<a<0. C
解析

关闭

答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型三 对数型函数的综合问题 例5已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; 解 :(1)由 ax-1>0,得 ax>1. (2)讨论函数f(x)的单调性. 当 a>1 时 ,x>0;当 0<a<1 时 ,x<0. ∴当 a>1 时 ,f(x)的定义域为 (0,+∞); 当 0<a<1 时 ,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时 ,设 0<x1<x2, 则 1< 1 < 2 ,故 0< 1 -1< 2 -1, ∴loga( 1 -1)<loga( 2 -1). ∴f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时 ,f(x)在 (0,+∞)上是增函数 . 类似地 ,当 0<a<1 时 ,f(x)在(-∞,0)上为增函数 .

关闭

答案

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:在判断与对数函数有关的复合函数的单调性时需要注意哪 些条件? 解题心得:1.对数的大小比较,同底数的可借助函数的单调性;底 数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可 借助中间值(0或1). 2.解简单对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意 底数a的分类讨论. 3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对增减 性的影响,以及真数必须为正的限制条件.

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 1 3 a=2 ,b=log2 ,c=log1

对点训练3 (1)已知
A.a>b>c

3

1 ,则( 3 2

)

B.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

关闭

∵0<a=2 <2 =1,b=log23<log21=0,c=log 3 >log 2 =1,∴c>a>b.故选
0

-

1 3

1

D.
D

1 2

1

1 2

1

关闭

解析

答案

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成 立,则实数a的取值范围为 .

关闭

当 a>1 时 ,f(x)=loga(8-ax)在 [1,2]上是减函数, 8 由 f(x)>1 恒成立,则 f(x)min=loga(8- 2a)>1,解得 1<a< . 若 0<a<1 时 ,f(x)在 x∈[1,2]上是增函数, 由 f(x)>1 恒成立,则 f(x)min=loga(8-a)>1,且 8-2a>0. ∴a>4,且 a<4,故不存在.
8 综上可知 ,实数 1, 3
3

a 的取值范围是 1,

8 3

关闭

.
解析 答案

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1. ①求f(x)的定义域; :① x))的奇偶性 =loga(x+1) -loga(1-x), ; ②解 判断 ff((x ,并予以证明 + 1 > 0, ③则 当a>1时,求使 f(x)> 0<x< 的x的取值范围 . 解得 -1 1. 1- > 0, 故所求函数的定义域为 {x|-1<x<1}. ②f(x)为奇函数 . 证明如下 :由 (1)知 f(x)的定义域为 {x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x). 故 f(x)为奇函数 . ③因为当 a>1 时 ,f(x)在定义域 {x|-1<x<1}上是增函数 , +1 由 f(x)>0,得 >1,解得 0<x<1.
1-

关闭

所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是 {x|0<x<1}.
答案

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线 y=1交点的横坐标进行判定. 2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入 手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和 0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图像来解决, 就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现. 3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等 问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数 式,然后根据单调性来解决.

-32考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意条件,当n∈N*,且n为 偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|. 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)定义域优先的原则; (2)要有分类讨论的意识.



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