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平面向量练习题2



平面向量练习题二
一、选择题 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③ ? a ? 0 ( ? 为实数),则 ? 必为零. 其中错误命题的个数为( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4 ) ④ ? , ? 为实数,若 ? a ? ?b ,则 a 与 b 共线.

2. (

2014 年济南模拟)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ? , | a |? 2, | b |? 1 ,则 | a ? 2b |? ( A.

3

B. 2 3 )

C. 4

D. 10

3.下列说法中正确的是(

A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 C.长度相等的两个向量是相等向量 4. D 是 ?ABC 的边 BA 上的中点,则向量 CD 等于( A. ? BC ?
1 BA 2

B.零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 )
1 BA 2

B. ? BC ?

1 BA 2

C. BC ? )

D. BC ?

1 BA 2

5.设 a, b 是两个非零向量,则下列选项正确的是( A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a, b 共线 6. (2014 年马鞍山期末)如图 1 所示,已知

B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | D.若 a, b 平行,则 | a ? b |?| a | ? | b |

AB ? 2BC, OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则下列
等式中成立的是( A. c ?
3 1 b? a 2 2

) B. c ? 2b ? a D. c ?
3 1 a? b 2 2

C. c ? 2a ? b

图1

1 7.(2014 年开封模拟)在 ?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB , CD ? CA ? ? CB , 3

则? ?( A. ?
1 3

) B. ?
2 3

C.

1 3

D.

2 3

8. (2014 年海滨一模)如图 2,正方形 ABCD 中, 点 E , F 分别是 DC, BC 的中点,那么 EF ? ( A.
1 1 AB ? AD 2 2
1 1 AB ? AD 2 2

)

B. ? D.

1 1 AB ? AD 2 2

C. ?

1 1 AB ? AD 2 2

图2 )

9.已知平面内有一点 P 及一个 ?ABC ,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则( A.点 P 在 ?ABC 外部 C.点 P 在线段 BC 上 B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AC 上

3 1 10.(2014 年孝感统考)设向量 a ? ( , cos ? ), b ? (sin ? , ) , 2 3

且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 60 ? B. 30 ?

) C. 75 ? D. 45 ?

11. 如图 3,在圆 O 中,若弦 AB ? 3, AC ? 5 , 则 AO ? BC 的值是( A. ? 8 ) C. 1 D. 8 图3

B. ? 1

12.(2013 年高考湖北卷)已知点 A(?1,1), B(1,2), C (?2,?1), D(3,4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的 投影为( A.
3 2 2 3 2 2

) B.
3 15 2 3 15 2

C. ?

D. ?

13. 如图 4,在平面四边形 ABCD 中,若 AB ? 2, CD ? 1 , 则 ( AC ? DB) ? ( AB ? CD) ? ( A. ? 5 C. 3 ) B. 0 D. 5 图4
1 NC , P 是 BN 上一点,若 3

14.(2014 年延边质检)在 ?ABC 中, N 为边 AC 上一点,且 AN ?
AP ? m AB ? 2 AC ,则实数 m 的值为( 11

) C.
4 11

A.

9 11

B.

5 11

D.

3 11

15. 如图 5 所示,在 ?ABC 中, BD ? 若 AB ? a, AC ? b ,则 BE 等于( A. C.
1 1 a? b 3 3 1 1 a? b 2 4

1 DC , AE ? 3ED , 2

)

1 1 B. ? a ? b 2 4 1 1 D. ? a ? b 3 3

图5

16.(2014 年郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a ? (1,2),b ? (m,3m ? 2) ,且平面内 的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c ? ? a ? ?b(?, ? 为实数),则 m 的取值范围是( A. (??,2) B. (2,??) C. (??,??) )

D. (??,2) ? (2,??)

17. (2014 年合肥模拟)如图 6, ?ABC 中, ?A ? 60?, ?A 的平 分线交 BC 于 D ,若 AB ? 4 ,且 AD ? 则 AD 的长为( A. 2 3 C. 4 3 ) B. 3 3 D. 5 3 图6 )
1 AC ? ? AB (? ? R ) , 4

18. (2013 年高考辽宁卷)已知点 A(1,3), B(4,?1) ,则与向量 AB 同方向的单位向量为(
3 4 A. ( ,? ) 5 5 4 3 B. ( ,? ) 5 5 3 4 C. (? , ) 5 5 4 3 D. (? , ) 5 5

19.在 ?ABC 中, B, C 点的坐标分别为 B(?1,2), C (3,4), 且 AB ? 2BC ? (?1,3) ,则 A 点的坐标为 A. (0,0) B. (?4,5) C. (?3,?6) ) D. (3,2) ) D. (?8,?5)

20. 若向量 MN ? (?1,3), NP ? (3, t ) ,且 MN // NP ,则 MP ? ( A. (1,3) B. (2,?6) C. (?3,2)

21. (2014 年惠州调研)设向量 a ? (2, x ?1),b ? ( x ?1,4) ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

22.(2014 年广州模拟)已知向量 a ? (2,1),b ? ( x,?2) ,若 a // b ,则 a ? b 等于( A. (?2,?1) B. (2,1) C. (3,?1)

D. (?3,?1)

23.(2014 年武汉模拟)已知向量 a, b ,满足 | a |? 3, | b |? 2 3 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角 为( )

A.

? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D. )

5? 6

24.已知向量 a 与 b 的夹角为 120?, | a |? 1, | b |? 3 ,则 | a ? b |? ( A.

13

B. 2 3

C.

15

D. 4 )
5? 6

25.若向量 a, b 满足 | a |? 1, | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( A.

? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

26. (2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为 A.

5

B. 2 5

C. 5

D. 10

二、填空题 1. 在平行四边形 ABCD 中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC, M 为 BC 的中点, 则 MN ? .(用

a, b 表示)
2.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 2a ? b 共线,则 ? ? 3.(2014 年湖州模拟)给出下列命题: ①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则点 A, B, C, D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为 . .

4. (2013 年高考四川卷)如图 7,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO , 则? ? . 图7

5.下列四个命题:①若 | a |? 0 ,则 a 为零向量;②若 | a |?| b | ,则 a ? b 或 a ? ?b ;③若 a // b , 则 | a |?| b | ;④若 a ? 0 ,则 ? a ? 0 .其中正确个数有________个. 6.设 a, b 是两个不共线的非零向量,若 8a ? k b 与 k a ? 2b 共线,则实数 k ? ________. 7 . (2014 年 淮 阴 模 拟 ) 已 知 ?ABC 和 点 M 满 足 MA ? MB ? MC ? 0 . 若 存 在 实 数 m 使 得

AB ? AC ? m AM 成立,则 m ? _______.

8.已知直线 x ? y ? a 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,其中 O 为坐 标原点,则实数 a 的值为________. 9. (2014 年淮北模拟)如图 8,在平行四边形
ABCD 中, E 和 F 分别在边 CD 和 BC 上,

且 DC ? 3DE, BC ? 3BF ,若 AC ? m AE ? n AF , 其中 m, n ? R ,则 m ? n ? . 图8

10.若平面向量 a, b 满足 | a ? b |? 1, a ? b 平行于 y 轴, a ? (2,?1) ,则 b ? ________. 11.已知向量 a ? (1,2),b ? ( x,1),u ? a ? 2b, v ? 2a ? b ,且 u // v ,则实数 x 的值为________. 12. (2013 年高考全国新课标卷Ⅱ ) 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则

AE ? BD ? ________.
13. (2013 年高考江西卷)设 e1 , e2 为单位向量,且 e1 , e2 的夹角为 则向量 a 在 b 方向上的投影为________. 14.(2014 年汕尾模拟)在 ?ABC 中,若 ?A ? 120?, AB ? AC ? ?1 ∠A=120°,则 | BC | 的最小值 是________. 三、解答题 1 . 已 知 P 为 ?ABC 内 一 点 , 且 3AP ? 4BP ? 5CP ? 0 . 延 长 AP 交 BC 于 点 D , 若

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 , 3

AB ? a, AC ? b ,用 a, b 表示向量 AP, AD .
2. (2013 年高考江苏卷)已知向量 a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ),0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

3.设向量 a ? (4 cos? , sin ? ),b ? (sin ? ,4 cos? ), c ? (cos? ,?4 sin ? ) .

? ? ? ) 的值; (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(
(3)若 tan? tan ? ? 16 ,求证: a // b .

(2)求 | b ? c | 的最大值;

4. 如图 9,设点 O 在 ?ABC 内部,且有 4OA ? OB ? OC ? 0 , 求 ?ABC 的面积与 ?OBC 的面积之比.

图9



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