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函数y=sin(wx)的图象 新教材


函数

y ? Asin( ωx ? ? )

的图象

曾令荣

(1)函数 y ? A sin x 与 y ? sin x 图象的联系

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2
分析:五点作图法的方法步骤 一、先求函数的周期

二、列表、描点
三、连线

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2



列表:

x
sinx
2sinx 1 sin x 2

0 0 0 0

? 2
1

?
0 0 0

3? 2

2? 0 0 0

?1

2

?2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
y
2 1
O
?1 ?2
y ? 2 sin x( x ? [0,2? ])

x
sinx
2sinx 1 sin x 2

0 0 0 0

? 2
1

?
0 0 0

3? 2

2?

?1

0
0 0

2

?2

1 2

?1 2

y ? sin x( x ? [0,2? ])

? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x( x ? [0,2? ]) 2

上述三条曲线之间的关系 想一想?

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

y
2 1
O
?1 ?2

y ? 2 sin x( x ? [0,2? ]) y ? sin x( x ? [0,2? ])

? 2

?

3? 2

2?

x

观察分析思考:

1 y ? sin x( x ? [0,2? ]) 2

同一横坐标 x 0所对应的纵坐标 y 0 有何关系??

探索:y=2sinx与 y=sinx 的图象之间的关系
y
2 1
O
?1 ?2

? 2

?

3? 2

2? x

y=2sinx 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)。

1 探索:y= 2 sinx与 y=sinx 的图象之间的关系
y
2 1
O
?1 ?2

? 2

?

3? 2

2? x

1 y ? sin x 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上 2 1 所有点的纵坐标缩短到原来的 2 倍

一、函数y=Asinx(A>0)的图象
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或 缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到 的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最大值 为A, 最小值为-A.

思考:函数y ? f ( x )与函数y ? Af ( x )的图象有何关系?

练习:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:
3 ( 1 ) y ? sin x 2 1 ( 2 ) y ? sin x 3

练习答案:
y
2 1
O
?1 ?2

3 y ? sin x( x ? [0,2? ]) 2

? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x( x ? [0,2? ]) 3

(2)函数 y ? sin? x 与 y ? sin x 图象的联系

1 例2 作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin x 的图象。 2

1. 列表:
x

0 0 0

? 4

π 2

3? 4

?


2x sin2 x

π 2

π

3? 2

1

0

?1

0

2. 描点、作图:

x
y ? sin 2 x

0

? 4

π 2

3? 4

?
0

0
0

1

0

?1

x

?
1

2?
0

3?
?1

4?
0

y
1
O
?1

1 y ? sin x 2

0

?
y ? sin 2 x

2?
y ? sin x



4π x
1 y ? sin x 2

上述三条曲线之间的关系 想一想?

探索:y= sin2x与 y=sinx 的图象之间的关系
y
1
O
?1

?
x0 x 0 2

2? x

观察分析:

x0 在函数 y ? sin2 x( x ? [0, ? ]) 的图象上,横坐标为 2

的纵坐标同 y ? sin x上横坐标为 x 0 的点的纵坐标有什么 关系 相等

探索:y= sin2x与 y=sinx 的图象之间的关系
y
1
O
?1

?

2? x

y=sin 2x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上
1 所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。 2

1 探索:y=sin 2 x与 y=sinx 的图象之间的关系
y
1
O
?1

?

2?

x

1 y=sin x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所 2

有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)。

二、函数y=sin?x(?>0)图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作是把

y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长
(当0<?<1时) 到原来的
1 倍(纵坐标不变) 而得到的 ω

思考:函数y ? f ( x)与函数y ? f ( k x )的图象有何关系?

练习:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:
(1) y ? sin4 x (2) 1 y ? sin x 3

课时小结
y ? A sin x 或 y ? sin? x 1、用“五点法”作 的简图时,先要将周期

T T 3T 四等分,找出五个关键点: 0 、 、 、 、 T 然后列表描点连线 4 2 4

2、y ? A sin x 的图象可以看做是把正弦曲线 y ? sin x 图象经过 振幅变换而得到. 3、y ? sin?x 的图象可以看做是把正弦曲线 y ? sin x 的图象实 施周期变换而得到

课时作业:

教材 P67 练习 1. (1) (3)



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