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2011年高三数学复习(第8章 圆锥曲线):8.1 椭圆



2011 年高三数学复习(第 8 章 圆锥曲线) :8.1 椭 圆
一、选择题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 1. 分)已知椭圆 (5 A.9 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离为( B.7 C.5 D.3 ) )

2. 分)若椭圆的两个焦点是两条准线间距离的两个三等分点,则椭圆的长轴长与短轴长之比

是( (5 A.2 B. C. D.

3. 分)椭圆 (5 ( A. ) ±

=1 的焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是

B.

±

C.

±

D. ±

4. 分)a,b,c,p 分别表示椭圆的半长轴,半短轴,半焦距及焦点到相应准线的距离,则它们的关系是( (5 A. B. C. D.



5. 分)方程 x sinα+y cosα=1(0<α< (5 A. (0, ) B.

2

2

)表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是( C. ( , ) D. [ , ]



6. 分)椭圆 (5 A.2

上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 是椭圆中心,则|ON|的值是( B.4 C.8 D.



7. 分)若 F 是椭圆 (5 的最小值是( A.8+ )

的右焦点,M 是该椭圆上的点,A(﹣2,

)是该椭圆内一点,则|MA|+2|MF|

B.4+

C.10

D.8

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 8. 分)平面上点 P 到两个定点 A、B 的距离之和等于|AB|,则 P 点轨迹是 (4 _________ .

9. 分)已知对称轴为坐标轴,长轴长为 6,离心率为 的椭圆方程为 _________ . (4

10. 分)椭圆 (4

的离心率为

,则实数 m 的值为 _________ .

11. 分)若 M 为椭圆上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且∠ 1F2=2∠ 2F1=2α(α≠0) (4 MF MF ,则椭圆的离心离是 _________ . 三、解答题(共 10 小题,满分 0 分) 12.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A,上顶点 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离为 的离心率. |OB|,求椭圆

13.在椭圆 9x +25y =225 上求一点 P,使它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的两倍.

2

2

14.如图,AB 是过椭圆左焦点的一弦,C 是椭圆的右焦点,已知|AB|=|AC|=4,∠ BAC=90°,求椭圆方程.

15.已知 F1(﹣3,0) 2(3,0)分别是椭圆的左、右焦点,P 是该椭圆上的点,满足 PF2⊥ 1F2,∠ 1PF2 的平分 ,F F F 线交 F1F2 于 M(1,0) ,求椭圆方程.

16.已知椭圆 C 的长轴两端点为 A、B.若 C 上存在一点 Q,且∠ AQB=120°,求椭圆 C 的离心率的范围.

17.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 求这个椭圆方程.



18.已知椭圆 3x +4y =12 上的点 P 与左焦点的距离为 ,求点 P 到右准线的距离.

2

2

19. 已知椭圆

, 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M, 使它到左准线的距离为它到两焦点 F1,

F2 距离的等差中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由.

20.椭圆

(a>b>0)上一点 M 与两焦点 F1,F2 所成的角∠ 1MF2=a,求证△ 1MF2 的面积为 b tan . F F

2

21.在面积为 1 的△ PMN 中,tan∠ PMN= ,tan∠ MNP=﹣2.建立适当的坐标系,求以 M,N 为焦点且过点 P 的椭圆 方程.

2011 年高三数学复习(第 8 章 圆锥曲线) :8.1 椭 圆
参考答案与试题解析
一、选择题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 1. 分)已知椭圆 (5 A.9 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离为( B.7 C.5 D.3 )

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的定义。 专题: 综合题。 分析: 由椭圆方程找出 a 的值,根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数 2a,把 a 的值代入即 可求出常数的值得到 P 到两焦点的距离之和,由 P 到一个焦点的距离为 3,求出 P 到另一焦点的距离即可. 解答:
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解:由椭圆

,得 a=5,

则 2a=10,且点 P 到椭圆一焦点的距离为 3, 由定义得点 P 到另一焦点的距离为 2a﹣3=10﹣3=7. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质,是一道中档题. 2. 分)若椭圆的两个焦点是两条准线间距离的两个三等分点,则椭圆的长轴长与短轴长之比是( (5 A.2 B. C. D. )

考点: 椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先用 a 和 c 分别表示出焦点到准线的距离和准线间的距离, 两者相比为 , 可得等式化简整理即可求得答案.
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解答: 解:依题意可知, = = =

∴= 故选 B 点评: 本题主要考查了椭圆的性质.考查了椭圆中 a,b 和 c 的关系.

3. 分)椭圆 (5 ( )

=1 的焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是

A.

±

B.

±

C.

±

D. ±

考点: 椭圆的应用。 专题: 计算题。 分析: 设点 P 的坐标为(m,n) 根据椭圆方程求得焦点坐标,进而根据线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,推断 m+3=0 , 求得 m,代入椭圆方程求得 n,进而求得 M 的纵坐标. 解答: 解:设点 P 的坐标为(m,n) ,依题意可知 F1 坐标为(3,0) ∴ m+3=0
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∴ m=﹣3,代入椭圆方程求得 n=± ∴ 的纵坐标为± M 故选 A 点评: 本题主要考查了椭圆的应用.属基础题. 4. 分)a,b,c,p 分别表示椭圆的半长轴,半短轴,半焦距及焦点到相应准线的距离,则它们的关系是( (5 A. B. C. D. )

考点: 椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先表示出椭圆的准线方程,和焦点坐标,进而表示出焦点到准线的距离. 解答: 解:根据椭圆性质可知椭圆的准线方程为 x=± ,焦点坐标为(c,0) (﹣c,0) ,
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则 p=

=

=

故选 D 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质,属基础题.
2 2

5. 分)方程 x sinα+y cosα=1(0<α< (5 A. (0, ) B.

)表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是( C. ( , ) D. [ , ]



考点: 椭圆的标准方程;椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 先根据椭圆焦点在 y 轴上得出 出 α 的取值范围. 解答: 解:∵ 焦点在 y 轴上 ∴ <

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,然后使 cosα=sin(

)进而根据正弦函数的单调性求

∴ sinα>cosα,即 sinα>sin( ∵ 0<α<



∴ α> 故选 C 点评:

,即

本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.即对于椭圆标准方程 焦点在 y 轴上时,a<b.

,当焦点在 x 轴上时,a>b;当

6. 分)椭圆 (5 A.2

上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 是椭圆中心,则|ON|的值是( B.4 C.8 D.



考点: 椭圆的应用。 分析: |MF2|=10﹣2=8,ON 是△ 1F2 的中位线,由此能求出|ON|的值. MF 解答: 解:∵ 2|=10﹣2=8, |MF ON 是△ 1F2 的中位线, MF
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故选 B. 点评: 本题考查椭圆的写定义和三角形的中位线,作出草图数形结合效果更好.

7. 分)若 F 是椭圆 (5 的最小值是( A.8+ )

的右焦点,M 是该椭圆上的点,A(﹣2,

)是该椭圆内一点,则|MA|+2|MF|

B.4+

C.10

D.8

考点: 椭圆的应用;椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 先根据椭圆方程求得椭圆的离心率和右准线方程,进而作 M 垂直于椭圆的右准线交准线于 N,根据椭圆定 义可知 2|MF|=|MN|,|MA|+2|MF|的最小值是即是求|MA|+|MN|的最小值,很明显当 M,A,N 三点共线的时 候取最小值. 解答: 解:依题意可知 a=4,b=2 ,
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∴ c=

=2

∴ = ,右准线方程为 x=8 e= 作 M 垂直于椭圆的右准线交准线于 N,根据椭圆第二定义可知 2|MF|=|MN| ∴ |MA|+2|MF|=|MA|+|MN|,很明显当 M,A,N 三点共线的时候取最小值, 此时点 A 到右准线距离为 2+8=10 故选 C 点评: 本题主要考查了椭圆的应用.解题的关键是利用椭圆的第二定义. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 8. 分)平面上点 P 到两个定点 A、B 的距离之和等于|AB|,则 P 点轨迹是 (4 线段 AB .

考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的定义。 计算题。 P 在线段 AB 上时,|PA|+|PB|=|AB|,P 在其它点时,都有|PA|+|PB|>|AB|. 解:当且仅当 P 在线段 AB 上时,有|PA|+|PB|=|AB|,故 P 点轨迹是线段 AB 故答案为:线段 AB 点评: 本题考查椭圆的定义,属基本概念的考查.注意椭圆定义中的条件.
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9. 分)已知对称轴为坐标轴,长轴长为 6,离心率为 的椭圆方程为 (4

=1 或

=1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

椭圆的简单性质。 计算题。 先根据题意求得 a,进而根据离心率求得 c,则根据 a,b 和 c 的关系求得 b,则椭圆的方程可得. 解:依题意可知 2a=6,a=3
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∵= ∴ c=2 ∴ b= =

∴ 椭圆方程为

=1 或

=1

故答案为

=1 或

=1

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.在没有注明焦点的位置时,一定要分长轴在 x 轴和 y 轴两种情况.

10. 分)椭圆 (4

的离心率为

,则实数 m 的值为



考点: 椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 分当 m>5 和 m<5 时两种情况,根据 e= 求得 m.
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解答: 解:当 m>5 时, = ,解得 m= ,

当 m<5 时,

=

解得 m=3 符合题意,

故答案为: 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.要利用好椭圆标准方程中 a,b,c 的关系. 11. 分)若 M 为椭圆上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且∠ 1F2=2∠ 2F1=2α(α≠0) (4 MF MF ,则椭圆的离心离是 .

考点: 椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 应用正弦定理找出 MF1 和 MF2 的关系,利用椭圆定义及焦距的长,得到 2 个等式,把这 2 个等式相除便可 得到离心率的表达式,化简可求离心率. 解答: 解:设 MF1=m,MF2=n,由正弦定理得 = ∴ n=2mcosα,
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又由椭圆的定义知,m+2mcosα=2a,mcos2α+2mcosα?cosα=2c, ∴ = e= = = = ;

故答案为



点评: 本题考查椭圆的定义和性质,及三角形中的正弦定理的应用. 三、解答题(共 10 小题,满分 0 分) 12.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A,上顶点 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离为 的离心率. 考点: 椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 设 F1 到 AB 的垂足为 D,依题意可知,△ ADF1∽AOB 进而判断出 △
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|OB|,求椭圆

=

,进而表示出左焦点 F1 到直线

AB 的距离化简整理求得 a 和 c 的关系,则椭圆的离心率可得. 解答: 解:设 F1 到 AB 的垂足为 D,△ ADF1∽AOB △ ∴ ∴ =

=


2

=
2

化简得到 5a ﹣14ac+8c =0 解得 a=2c 或 a=4c/5 舍去, ∴ = e= 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.解题的关键是利用左焦点 F1 到直线 AB 的距离建立等式求得答案. 13.在椭圆 9x +25y =225 上求一点 P,使它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的两倍. 考点: 椭圆的应用。 专题: 计算题。 分析: 先把椭圆方程整理才标准方程,求得 a,进而根据椭圆定义及题意可求得|PF2|,根据 b 和 a 求得 c,进而求 2 得焦点坐标,设点 P 的坐标,代入|PF2| 和椭圆方程联立后求得 m 和 n,点 P 的坐标可得. 解答:
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2

2

解:整理椭圆方程得

∴ a=5 根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10 设 F1 是左焦点 所以|PF1|=2|PF2| 所以 2|PF2|+|PF2|=2a=10 |PF2|= c =a ﹣b =16 ∴ 2(4,0) F 设 P(m,n) ∴ 2| =(m﹣4) +n =( |PF ∴ ∴ =9﹣ n ∴ (m﹣4) +9﹣﹣
4 2 2 2 2 2 2 2

) ∵ 在椭圆上 P

2

=

整理得(12m﹣125) (12m﹣25)=0 解得 m= ,或 m=

因为 a=5,所以横坐标最大是 5 所以 m= 所以 P( ,n = , )或 P( ,﹣ )
2

点评: 本题主要考查了椭圆的应用.本题灵活利用了椭圆的第一定义,是解题的关键. 14.如图,AB 是过椭圆左焦点的一弦,C 是椭圆的右焦点,已知|AB|=|AC|=4,∠ BAC=90°,求椭圆方程.

考点: 椭圆的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 先设处椭圆标准方程,根据椭圆定义可知|BC|=4a﹣8 求得 a,进而根据椭圆定义求得|AF|,进而根据勾股定 理求得 2c,进而求得 b,则椭圆方程可得. 解答: 解:设椭圆方程为 (a>b>0)
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根据椭圆定义可知|BC|=4a﹣8=4 ∴ a=2+ ,|AF|=2a﹣4=2 2 2 2 ∴ c= ,b =a ﹣c =4 ∴ 椭圆方程为



点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程.对于椭圆的焦点弦问题常需借助椭圆的定义来解决.

15.已知 F1(﹣3,0) 2(3,0)分别是椭圆的左、右焦点,P 是该椭圆上的点,满足 PF2⊥ 1F2,∠ 1PF2 的平分 ,F F F 线交 F1F2 于 M(1,0) ,求椭圆方程. 考点: 椭圆的应用。 专题: 计算题。 分析:

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根据题意可知,P(3,

) ,则|PF1|:|PF2|=|F1M|:|F2M|,可得

,由此可以求出椭圆方程.

解答:

解:由题意可知,P(3,

) |PF1|:|PF2|=|F1M|:|F2M|, ,∵



,∴ =12a ,∴ ﹣9) =12a , b (a

4

2

2

2

2

解得 a =27 或 a =3(舍去) b =27﹣9=18. ,∴ ∴ 椭圆方程是 .

2

2

2

点评: 本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要能够灵活地运用恰当的公式. 16.已知椭圆 C 的长轴两端点为 A、B.若 C 上存在一点 Q,且∠ AQB=120°,求椭圆 C 的离心率的范围. 考点: 椭圆的应用;椭圆的简单性质。 专题: 计算题。 分析: 由对称性不防设 Q 在 x 轴上方,坐标为(x0,y0) ,进而可表示出 tan∠ AQB 整理出关于 x0 和 y0 的关系式, 同时把 Q 点代入椭圆方程,表示出 y0 进而根据 y0 的范围确定 a 和 c 的不等式关系,求得离心率的范围. 解答: 解:由对称性不防设 Q 在 x 轴上方,坐标为(x0,y0) ,
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则 tan∠ AQB=

=﹣

,即

整理得 ∵ 在椭圆上, Q ∴ ∵ 0≤b 0<y ∴ 0<

=﹣

,①

,代入① y0= 得



≤b,化简整理得 3e +4e ﹣4≥0,

4

2

解得

≤e<1

点评: 本题主要考查了椭圆的应用.涉及了直线的斜率和基本不等式等知识,难度不大但计算较繁琐,考查了学 生的运算能力. 17.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 求这个椭圆方程. 考点: 椭圆的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 根据根据短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,可知 a=2c,b= 的最短距离是 求得 a 和 b,则椭圆方程可得. 解答: 解:由题设条件可知 a=2c,b= c,又 a﹣c= , 2 2 解得 a =12,b =9.
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c,进而根据焦点到椭圆上的点

∴ 所求椭圆的方程是

+

=1 或

+

=1.

点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程.要特别注意椭圆的焦点在 x 轴还是在 y 轴. 18.已知椭圆 3x +4y =12 上的点 P 与左焦点的距离为 ,求点 P 到右准线的距离.
2 2

考点: 椭圆的定义。 专题: 计算题。 分析: 先把椭圆方程整理成标准方程,进而可得 a 和 b,求得 c,进而可求得离心率 e.根据椭圆的第一定义可求 得 P 与右焦点的距离,进而根据椭圆的第二定义求得点 P 到右准线的距离. 解答:
350129

解:椭圆方程整理得 ∴ a=2,b= ∴ = e= 根据椭圆的定义可知 P 与右焦点的距离为 4﹣ = ,c=

=1

根据椭圆的第二定义可知点 P 到右准线的距离为 =3 点评: 本题主要考查了椭圆的定义.灵活利用椭圆的第一和第二定义,有时能找到解决问题的捷径.

19. 已知椭圆

, 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M, 使它到左准线的距离为它到两焦点 F1,

F2 距离的等差中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由. 考点: 椭圆的应用。 专题: 计算题。 分析: 过点 M 作左准线的垂线 MA 交左准线于 A,由 M 点到左准线的距离为它到两焦点 F1,F2 距离的等差中项 知 2|MA|=|MF1|+|MF2|,此结合题设条件能够推导出|MA|=2,从而导出 M 点的坐标.
350129

解答: 解:在椭圆 位于 y 轴左侧的部分上有一点 M,它到左准线的距离为它到两焦点 F1,F2 距离的等

差中项. 过点 M 作左准线的垂线 MA 交左准线于 A,则 2|MA|=|MF1|+|MF2|. ∵ ,

∴ 2|MF1|=|MA|+2﹣|MF1|, ∴ 3|MF1|=|MA|+2, ∴ ∴ ∴ |MA|=2. ∵ A 在左准线 x=﹣4 上, 点 ∴ 点的横坐标 x0=﹣4+2=﹣2. M 把 x0=﹣2 代入椭圆 得 y0=0,∴ M(﹣2,0) . ,

故存在点 M,其坐标是 M(﹣2,0) . 点评: 本题考查椭圆的基础知识,解题时注意挖掘隐含条件.

20.椭圆

(a>b>0)上一点 M 与两焦点 F1,F2 所成的角∠ 1MF2=a,求证△ 1MF2 的面积为 b tan . F F

2

考点: 椭圆的简单性质。 专题: 证明题。 分析: 先设|MF1|=m,|MF2|=n,则根据椭圆的性质可知 m+n=2a,两边平方可得 mn 的表达式,再根据余弦定理求
350129

得 cosα,把 mn 代入,即可求得 mn= 得证.

,最后根据三角形面积公式求得△ 1MF2 的面积,化简后原式 F

解答: 解:设|MF1|=m,|MF2|=n,则 m+n=2a, 2 2 2, ∴ +n +2mn=4a 在△ F1MF2 中根据余弦定理可知 m △ cosα= = =

∴ mn=

=

=

∴F1MF2 的面积为 mnsinα= △

=b tan

2

点评: 本题主要考查了椭圆的基本性质及余弦定理的应用.属基础题.

21.在面积为 1 的△ PMN 中,tan∠ PMN= ,tan∠ MNP=﹣2.建立适当的坐标系,求以 M,N 为焦点且过点 P 的椭圆 方程.

考点: 椭圆的标准方程。 专题: 计算题。 分析: 以 MN 所在直线为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,设以 M,N 为焦点且过点 P 的椭圆方
350129

程和焦点坐标,根据 tanM= ,tanα=tg(π﹣∠ MNP)=2,得直线 PM 和 PN 的直线方程,将此二方程联立解 得 x 和 y, 可知点 P 的坐标, 根据, |MN|=2c, 上的高为点 P 的纵坐标, MN 根据三角形面积公式表示出出△ MNP 的面积求得 c,则点 P 的坐标可得.由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|,进而根据椭圆的定义求得 a,进 而求得 b,则椭圆方程可得. 解答: 解:如图,以 MN 所在直线为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系, 设以 M,N 为焦点且过点 P 的椭圆方程为 焦点为 M(﹣c,0) ,N(c,0) . 由 tgM= ,tanα=tg(π﹣∠ MNP)=2, 得直线 PM 和直线 PN 的方程分别为 y= (x+c)和 y=2(x﹣c) . 将此二方程联立,解得 x= c,y= c,即 P 点坐标为( c, c) . 在△ MNP 中,|MN|=2c,MN 上的高为点 P 的纵坐标,故 由题设条件 S△MNP=1,∴ c= ,即 P 点坐标为 . ,

由两点间的距离公式





得 又 b =a ﹣c =
2 2 2

. ,

故所求椭圆方程为



点评: 本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.



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