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2015广东高考文数(南海中学)考前交流卷



2015 届七校交流试题(南海中学)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , M ? ?3,4,5? , N ? ?1,3,6? ,则集合 ?2,7? 等于 A. 痧 UM I

?

? ?



U

N?

B. 痧 UM U

?

? ?

U

N?

C. M I N

D. M U N

2.已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 2i ,则 z ? A.第一象限 B.第二象限

z2 在复平面内所对应的点位于 z1
C.第三象限 D.第四象限

3.圆心在 y 轴上,半径为 1 ,且过点 ?1,2 ? 的圆的方程是 A. x2 ? ? y ? 2? ? 1
2

B. x2 ? ? y ? 2? ? 1
2

C. x2 ? ? y ? 3? ? 1
2

D. x2 ? ? y ? 3? ? 1
2

4.设 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 ( x ? R ) ,则在区间 ? ??, ?? 上随机取一个数 x ,使 f ? x ? ? 0 的概率为 A.

1 2

B.

1 4

C.

1 ?

D.

2 ?

5.对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是 A.若 a ? m , a ? n , m ? ? , n ? ? ,则 a ? ? B.若 a // b , b ? ? ,则 a // ? C.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ? D.若 ? // ? , ? I ? ? a , ? I ? ? b ,则 a // b 6.如图 1 ,函数 y ? f ? x ? 的图象是中心在原点,焦点在 x 轴上 的椭圆的两段弧,则不等式 f ? x ? ? f ? ? x ? ? x 的解集为 A. x ? 2 ? x ? 0或 2 ? x ? 2 C. ? x ? 2 ? x ? ?

?

?

B. x ? 2 ? x ? ? 2或 2 ? x ? 2 D. x ? 2 ? x ? 2且x ? 0

?

?

? ? ? ?

? 2 2 ? 或 ? x ? 2? 2 2 ? ?

?

?

?? ? ? 7.把函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原 4? 8 ?
来的

1 ,则所得图象的解析式为 2
?? ? B. y ? sin ? 4 x ? ? 8? ?
C. y ? sin 4x D. y ? sin x

3? ? ? A. y ? sin ? 4 x ? ? 8 ? ?

8.两个非零向量 a 、 b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 与 a 所成的角是 A. 150? B. 120? C. 60 ?
第 1 页(共 9 页)

D. 30 ?

9.如图 2 所示,阴影部分的面积 S 是 h 的函数( 0 ? h ? H ) ,则该函数的大致图象是(



10.已知数列 ?an ? ( n ? 1, 2,3, 4,5 )满足 a1 ? a5 ? 0 ,且当 2 ? k ? 5 时, ? ak ? ak ?1 ? ? 1 ,令
2

S ? ? ai ,则 S 不可能的值是
i ?1

5

A. 4

B. 0

C. 1

D. ?4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某校有学生 4500 人,其中高三学生 1500 人.为了解学生的身 体素质情况,采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取一个

300 人的样本,则样本中高三学生的人数为__________.
12.阅读算法框图(如图 3 ) ,输出的结果 S 的值为_________.

?2, x ? m 13.直线 y ? x 与函数 f ? x ? ? ? 2 的图象恰有三个 ? x ? 4 x ? 2, x ? m
公共点,则实数 m 的取值范围是________. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? cos? ?

1 与曲线 ? ? 2cos? 相交于 A 、 2

B 两点, O 为极点,则 ?AOB 的大小为________.
15.(几何证明选做题)如图 4 ,已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 4 ,
C 为圆上任意一点,过 C 点做圆的切线分别与过 A 、 B 两点的

切线交于 P 、 Q 点,则 CP ? CQ ? __________.

第 2 页(共 9 页)

三、解答题:本大题共 2 小题 16.(本小题满分 12 分)

? ?? ?? 已知向量 m ? ?sin ? A ? B? ,2cos A? , n ? ?1,cos ? ? B ? ? ,且 m ? n ? ? sin2 C ,其中 A、B、C 分别为 ?2 ?? ?
△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ? sin B ?

2 3 sin C ,且 S△ABC ? 4 3 ,求 c . 3

17. (本小题满分 12 分) 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名,高二年级学生有 460 名,高三年级学生有 500 名;为了解 学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务 满意度”与“价格满意度”都分为五个等级: 1 级(很不满意) ;2 级(不满意) ;3 级(一般) ;4 级(满 意) ;5 级(很满意) ,其统计结果如下表(服务满意度为 x ,价格满意度为 y ). 人数 x 服 务 满 意 度 1 2 3 4 5 y 1 1 2 3 1 0 2 1 1 7 4 1 价格满意度 3 2 3 8 6 2 4 2 4 8 4 3 5 0 1 4 1 1

(1)求高二年级共抽取学生人数; (2)求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价格满意度”数据的方差; (3)为提高食堂服务质量,现从 x ? 3 且 2 ? y ? 4 的所有学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一 人的“服务满意度”为 1 的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图(5) ,已知三棱柱 BCF-ADE 的侧面 CFED 与 ABFE 都是边长为 1 的正方形,M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上,且 AM=EN. C (1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE; (2)求证: MN//平面 BCF; (3)若点 N 为 EC 的中点,点 P 为 EF 上的动点,试求 PA+PN 的最小值. D N F B
M E 图 ( 5) A

第 3 页(共 9 页)

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ≠0. (Ⅰ)求证数列 {an } 是首项为 1 的等比数列; (Ⅱ)当 a2 =2 时,是否存在等差数列 {bn } ,使得 a1bn +a2bn?1 ? a3bn?2 ? N 都成立?若存在,求出 bn ;若不存在,说明理由.
*

+anb1 ? 2n?1 ? n ? 2 对一切 n∈

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的极小值; (2)若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,求 a 的取值范围; (3)设 g ( x) ?| f ( x) |, x ?[ ?1,1] ,求 g ( x) 的最大值 F ( a ) 的解析式. 21. (本小题满分 14 分) 如图 6 ,设抛物线 C1 : y 2 ? 4mx ( m ? 0 )的准线与 x 轴交 于 F1 ,焦点为 F2 ,以 F1 、 F2 为焦点,离心率 e ?

1 的椭圆 C2 与 2

抛物线 C1 在 x 轴上方的交点为 P ,延长 PF2 交抛物线于点 Q , M 是抛物线 C1 上一动点,且 M 在 P 与 Q 之间运动. (1)当 m ? 1 时,求椭圆 C2 的方程; (2)当△ PF1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数时,求△ MPQ 面积的最大值.

第 4 页(共 9 页)

2015 届七校交流试题(南海中学)答案
题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 D 6 A 7 C 8 D 9 C 10 C

?? 15. 4 3 ? ?? ?? 16.解:(1)因为 m ? ?sin ? A ? B? ,2cos A? , n ? ?1,cos ? ? B ? ? ,所以 ?2 ?? ?
11. 100 12.

3 2

13.

? ?1,2?

14.

?? ? m ? n ? sin ? A ? B ? ? 2cos A cos ? ? B ? ? sin ? A ? B ? ? ? sin 2C . ?2 ?
又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? ? sin 2C ? ?2sin C cos C . 因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos C ? ? , C ? (2)由 sin A ? sin B ?

??2 分 ??4 分

1 2

2? . 3

??6 分

2 3 2 3 sin C ,结合正弦定理得 a ? b ? c ?①. 3 3

??8 分

S△ABC ?

1 1 3 ab sin C ? ab ? ? 4 3 ,得 ab ? 16 ?②. 2 2 2

??9 分 ??10 分 ??12 分

由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ?③. 由①②③,可得 c ? 4 3 . 17.解: (1)共有 1400 名学生,高二级抽取的人数为

460 ? 70 ? 23 (人)????3 分 1400 3? 7 ?8?8? 4 ? 6 ,?????4 分 (2) “服务满意度为 3”时的 5 个数据的平均数为 5
所以方差 s
2

?3 ? 6? ? ? 7 ? 6? ?
2

2

? 2 ?8 ? 6 ? ? ? 4 ? 6 ? ? 4.4 ??????7 分 5
2 2

(3)符合条件的所有学生共 7 人,其中“服务满意度为 2”的 4 人记为 a, b, c, d “服务满意度为 1”的 3 人记为 x, y, z . ????????8 分 在这 7 人中抽取 2 人有如下情况: ? a, b? , ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, x ? , ? a, y ? , ? a, z ?

?b, c? , ?b, d ? , ?b, x ? , ?b, y ? , ?b, z ? ?c, d ? , ?c, x? , ?c, y ? , ?c, z ? ? d , x ? , ? d , y ? , ? d , z ? ? x, y ? , ? x, z ? , ? y, z ? 共 21 种情况.
????????10 分

其中至少有一人的“服务满意度为 1”的情况有 15 种. ????????11 分 所以至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率为 p ?

15 5 ? ????????12 分 21 7

18. 解: (1)∵四边形 CFED 与 ABFE 都是正方形 ∴ EF ? DE, EF ? AE, 又 DE EA ? E , ∴ EF ? 平面 ADE ,---------------2 分
第 5 页(共 9 页)

又∵ EF / / AB ,∴ AB ? 平面 ADE ∵ AB ? 平面 ABCD,∴平面 ABCD ? 平面 ADE-------------------------4 分 (2)证法一:过点 M 作 MM1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M1 N1 ,------------5 分 D ∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1
N

C

N1 F M E A M1 B

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? 又∵ AB FA CE EF

∴ MM1 ? NN1 --------------------------------7 分

∴四边形 MNN1M1 为平行四边形,--------------------------------------------------------8 分

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF . --------------------10 分
C

CN FM FG ? ? , [法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则 NE MA GE D ? NG / / CF --------------------------------------------------------------6 分

N

F M

B

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ,------------7 分
E

G A

同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF-------------9 分 ? MN // 面BCF .----------------------------------------------------10 分] ∵MN ? 平面 MNG, (3)如图将平面 EFCD 绕 EF 旋转到与 ABFE 在同一平面内,则当点 A、P、N 在同一直线上时,PA+PN 最小,------------------------------------11 分 C 在△AEN 中,∵ ?AEN ? 135 , AE ? 1, NE ?
2 2 2

F

B

2 2
D

N

P E A

由余弦定理得 AN ? AE ? EN ? 2 AE ? EN cos135 ,------13 分 ∴ AN ?

10 10 ,即 ( PA ? PN )min ? .---------------------------------------------------------14 分 2 2
(1 分)

19. (Ⅰ)证明:∵ S1 ? a1 ,∴ S2 ? a1 ? a2 ? a2 ? a1 ? a1 得: a2 ? a2 ? a1 ∵ a2 ≠0 ∴ a1 =1 (2 分)

由 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 有: Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 ,减去前式,有

an?2 ? a2 ? an?1


(4 分)

an? 2 ? a2 ? 0 an?1 a2 a2 (5 分) ? ? a2 也符合, a1 1



第 6 页(共 9 页)



an ?1 (6 分) ? a2 对 n ? N * 恒成立,数列 {an } 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 an
∴ an ? 2n?1 (7 分)

(Ⅱ) a2 =2=q, a1 =1

设存在等差数列 {bn } 。则有: a1b1 ? 22 ?1 ? 2 ①

a1b2 ? a2b1 ? 23 ? 2 ? 2 ②(8 分)
将 a1 =1 代入①, b1 =1 再结合 a2 =2 代入②, b2 =2 (9 分) 故等差数列 {bn } 若存在,由 b1 =1、 b2 =2 必有 bn ? n 。 (10 分) 下面证明数列 {bn } 满足题意。 设 Tn = a1bn +a2bn?1 ? a3bn?2 +...+anb1 =1×n+2×(n-1)+ 2 ×(n-2)+?+ 2
2 n?2

? 2 + 2 n ?1 ×1③

则 2 Tn =2×n+ 2 ×(n-1)+ 2 ×(n-2)+?+ 2 ④-③有: Tn =-n+2+ 2 +? 2 = 2
2 n

2

3

n ?1

? 2 + 2n ×1④(12 分)

n ?1

? n ? 2 (13 分)
n ?1

所以存在等差数列 {bn } ,bn =n 使得 a1bn +a2bn?1 ? a3bn?2 +...+anb1 ? 2 分)

? n ? 2 对一切 n∈N 都成立(14

*

20. 解: (1)?当a ? 1 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3, 令f ' ( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1????1 分 当 x ? (?1,1) 时, f ' ( x) ? 0,当x ? (??,?1] ? [1,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,

? f ( x)在(?1,1)上单调递减 , 在(??,?1],[1,??)上单调递增
? f ( x) 的极小值是 f (1) ? ?2

????2 分

???????3 分

(2)法 1: f / ( x) ? 3 x2 ? 3a ,直线 x ? y ? m ? 0 即 y ? ? x ? m ,
/ 2 依题意,切线斜率 k ? f ( x) ? 3x ? 3a ? ?1 ,即 3 x ? 3a ? 1 ? 0 无解?????4 分
2

?? ? 0 ? 4 ? 3(?3a ? 1) ? 0
?a ? 1 3
/

??????6 分
2

法 2: f ( x) ? 3 x ? 3a ? ?3a ,?????4 分 要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,当且仅当 ?1 ? ?3a 时成立,
第 7 页(共 9 页)

?a ?

1 3

??????6 分

(3)因 g ( x) ?| f ( x) |?| x 3 ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数 , 故只要求在 [0,1] 上的最大值. ????7 分

①当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且 f (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x)

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.
②当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )(x ? a ), (ⅰ)当 a ? 1,即a ? 1

???????9 分

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x), ? f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,此时 F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1 ???????10 分
(ⅱ)当 0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减 , 在 [ a ,1] 单调递增;
1 ? a ? 1 时, 3

1°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增 , 在[ a ,1]上单调递减 , F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a ;
2°当 f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即0 ? a ?

1 3

1 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 1 1 (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3
(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a, 即0 ? a ?

??13 分

综上

1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, ( a ? 1) ? ?

??????14 分

21. (1)当 m ? 1 时, y 2 ? 4 x ,则 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0 ? ,设椭圆方程为 又e ?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,则 c ? 1 , a2 b2

x2 y2 c 1 ? 1. ? ,所以 a ? 2 , b2 ? 3 .所以椭圆 C2 方程为 ? 4 3 a 2
??4 分

(2)因为 c ? m , e ?

x2 y2 c 1 ? ,则 a ? 2 m , b2 ? 3m2 ,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 . 4m 3m a 2
??5 分
第 8 页(共 9 页)

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 由 ? 4m ,得 3x 2 ? 16mx ? 12m2 ? 0 ,即 ? x ? 6m?? 3x ? 2m? ? 0 . 3m ? y 2 ? 4mx ?
得 xP ?

??6 分

? 2m 2 6m ? 2 6 2m m ,即 P ? ,代入抛物线方程得 yP ? . ? 3 , 3 ? ? 3 3 ? ?

??7 分

PF2 ? xP ? m ?

5m 5m 7m 6m , PF1 ? 2a ? PF2 ? 4m ? , F1F2 ? 2m ? . ??9 分 ? 3 3 3 3

因为△ PF1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数, 所以 m ? 3 , 此时抛物线方程为 y 2 ? 12 x ,P 2, 2 6 ,

?

?

? ? y ? ?2 6 ? x ? 3 ? 直线 PQ 方程为 y ? ?2 6 ? x ? 3? .联立 ? ,得 2 x 2 ? 13x ? 18 ? 0 ,即 ? x ? 2?? 2 x ? 9? ? 0 , 2 ? ? y ? 12 x
所以 xQ ?

9 . 2

??10 分

? t2 ? 25 ?9 ? 3 6 ?, 代入抛物线方程得 yQ ? ?3 6 , 即Q? ,? 所以 PQ ? .设 M ? , t ? 到直线 PQ 的距离为 d , 2 ?2 ? ? 12 ?
6 2 t ?t ?6 6 6 5 ? 6 ? 75 t ? . ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?
2

t ? ?3 6, 2 6 ,则 d ?

?

?

6 ? 30

当t ? ?

6 6 75 5 6 1 25 5 6 125 6 ? ? ? 时, d max ? ,即△ MPQ 面积的最大值为 ? ? . ?14 分 2 30 2 4 2 2 4 16

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